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151S2K
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) p
1^
COURS
D'ASTRONOMIE
-^ . • ■
V . .. /
PARIS. — IMPRIMKRIE DE GAUTHIER-VILLARS,
QUAI DES AUGUSTINS, 53.
COURS
D'ASTRONOMIE
DE
L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,
H. FAYE,
DEUXIÈME PARTIE.
A3TB0N0HIB 30UIBE. — THBOHIE DE LA LVNB. — NAVIGATION.
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE
r BtlHEAU DES LONGITUDES, DE L'ÉGOLE POLYTBCIIMQUE,
SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER,
Quïi des Aucustini, 55.
1883
AVERTISSEMENT.
■■••I
Ce Volume comprend la théorie du Soleil, celles des planètes et
des comètes, la précession, Tabcrration, les parallaxes, la théorie
de la Lune, l'application de l'Astronomie à la Navigation et aux
voyages d'exploration terrestre.
La partie historique se réduit à l'Introduction, à un exposé
rapide de la Géométrie céleste des Anciens et à un chapitre spécial
sur l'introduction de la Mécanique dans l'Astronomie, au cours
du XVII* siècle.
L'Astronomie physique est représentée par les notions les plus
essentielles sur la constitution du Soleil et des Comètes.
On s'est borné au strict nécessaire pour les éclipses et les occul-
tations. En revanche, on a cru devoir développer, un peu en
dehors du programme, l'importante question de la parallaxe du
Soleil, et, surtout le calcul des orbites des comètes ou des planètes
nouvellement découvertes. L'auteur a donné la méthode générale
de Laplace, et celle d'Olbers pour les orbites paraboliques, avec
un exemple numérique.
Les questions relatives aux perturbations sont du domaine
exclusif de la Mécanique céleste; elles ne pouvaient être qu'indi-
quées ici. Toutefois on n'a pas perdu une seule occasion de
signaler les grands résultats auxquels les Géomètres sont par-
venus. On a même tâché de donner une idée de la découverte
AVERTISSEMENT.
théorique de Neptune et de la détermination des niasses pertur-
batrices par le calcul des inégalités qu'elles produisent, en prenant
pour type Tin égalité mensuelle de la Terre.
Le dernier Livre contient les notions indispensables au Navi-
gateur et au Géographe. Si l'on rapproche le Livre VII de ce
Volume des Livres IV et V du précédent, l'ensemble des applica-
tions paraîtra assez complet.
On a placé, à la fin de ce Volume, le Tableau du système solaire,
comprenant un Catalogue nouveau de toutes les comètes qui ont été
observées jusqu'à ce jour, et les Tables numériques nécessaires au
calcul des orbites ( * ). On trouverait difficilement ailleurs la réunion
de ces documents. L'auteur ne saurait trop recommander aux
débutants de s'essayer à ces calculs : ils ont l'immense avantage
d'ofirir une application facile de théories élevées et de récom-
penser parfois un premier effort par quelque découverte intéres-
sante. Plus d'un Astronome en renom a débuté par là.
JJerrala des tomes I et II, placé à la fin de ce Volume, est dû
aux bons soins de M. Rozé, répétiteur à l'Ecole Polytechnique.
(*) l/auteur doit ce Catalogue, qui va de l'an— 373 à Tan 188a, à Tobligeanco
de son savant confrère M. Lœwy.
SYMBOLES ET CONVENTIONS.
Mesure du temps,
H, heure solaire moyenne du lieu. H*;, heure solaire vraie.
Hpj heure moyenne de Paris.
«, équation du temps.
t, date ou intervalle de temps exprimé en années ou en jours.
Dans le l*** Volume, H désigne constamment l'heure sidérale; dans le second, le
même symbole désigne constamment l'heure solaire moyenne, et l'on emploie H^
pour l'heure sidérale, dont il est rarement question.
Coordonnées écliptiques.
Ci), obliquité de l'écliptique.
Y, point vernal, origine commune des jR et des !..
L, longitude comptée du point y, dans le sens direct, de o* à 360".
p, distance au pôle de Técliptiquc, de o" à I8o^
O et R« coordonnées géocentriques du Soleil.
6, longitude héliocentriqùe de la Terre.
Coordonnées dans V orbite d^une planète.
•Ç^ r, longitude héliocentriqùe et rayon vecteur.
Vy anomalie vraie comptée du périhélie.
fi, anomalie excentrique comptée du périhélie,
m, anomalie moyenne comptée du périhélie.
Éléments de l'orbite d'une planète.
a, demi-grand axe.
e, excentricité exprimée en parties du demi-grand axe.
C7, longitude du périhélie.
4^0, longitude moyenne de l'époque.
Q, nœud ascendant, point où l'astre traverse l'écliptique en passant de Thémi-
sphcre sud dans l'hémisphère nord.
N, longitude du nœud ascendant Û.
VIII SYMBOLES ET CONVENTIONS.
I, inclinaison romplée de o" à 90* à partir de l'écliptique.
0, date du dernier passage de l'aslre au périhélie.
Ces longitudes sont comptées dans l'orbite, à partir d'un point y' tel que
n, moyen mourement diurne,
m, masse d'une planète.
•X, constante du système solaire =/ M, / étant l'attraction de l'unité de masse à
l'unité de distance et M la masse du Soleil.
Dimensions et parallaxes,
(p), rayon équatorial de la Terre en mètres.
p, rayon terrestre à la station de l'observateur exprimé en parties de {$>).
V, rayon de l'astre considéré.
A, diamètre angulaire.
P, parallaxe horizontale équatoriale de la Lune.
r, paralla&e horizontale équatoriale du Soleil.
Pf parallaxe de hauteur.
Miivi^fition,
\\ angle de route compté, comme les azimuts, du point S dans le sens S.-O.-N.-K.
êj arc de loxodromic.
6, déclinaison de l'aiguille aimantée.
D, déviation de l'aiguille duc aux fers du navire.
M, azimut magnétique.
Do u blés emplo is.
py rayon terrestre; distance d'un astre à la Terre projetée sur l'écliptique.
^, équation du temps: excentricité.
6, distance angul&irc d'un astre au pùlc; déclinaison de l'aiguille aimantée.
V, vitesse linéaire d'un astre; angle de route.
9f >» Ç» ""i» coordonnées géocentriqucs d'un point de la surface de la Terre; ç, t„ coor-
données géocen triques du S<»leil.
■ •■•■
COURS
D'ASTRONOMIE
INTRODUCTION.
Bien que ce Livre n'ait nullement pour but de retracer Thistoire
de l'Astronomie, j'ai cru devoir en signaler les phases principales.
Ces notions succinctes du passé font mieux comprendre l'état actuel
de la Science. D'ailleurs les évolutions successives de l'Astronomie
ont été en rapport intime, chez presque tous les peuples, avoc celles
de l'esprit humain. L'idée que nous nous faisons de l'Univers
réagit en effet sur l'ensemble de nos conceptions et imprime par
là un cachet spécial à chaque âge historique. Lorsqu'on réduisait
rUnivers à ce que nos sens nous en montrent immédiatement, c'est-
à-dire à un disque plat, la Terre, recouvert d'une cloche solide,
le Ciel, l'activité intellectuelle de l'homme, étreint dans cette
création étroite, coudoyé par toutes les forces de la nature dont il
se faisait des génies ou des divinités, devait être singulièrement
réduite. C'était l'âge des sorciers et des magiciens. L'homme a com-
mencé à respirer plus librement lorsque son domaine lui est apparu
comme un globe isolé, réservé à lui seul pour la vie terrestre. Mais,
comme ce globe restait encore le centre du monde autour duquel
tout le reste de l'Univers tournait sous la direction d'intelligences
supérieures, l'homme a pu croire que les phénomènes célestes
devaient se rapporter à lui. Son sort lui semblait déterminé d'a-
vance; on pouvait le calculer d'après les aspects des planètes dé-
sormais hors de sa portée. Un lourd fatalisme se retrouvait ainsi au
fond des choses humaines : c'était l'âge de l'Astrologie. Aujour-
d'hui ces illusions ont disparu : la Terre n'est plus qu'une planète,
je dirais presque un projectile comme les autres, régi par les lois
INTRODUCTION.
de la Mécanique ordinaire. Le monde solaire dont elle fait partie
n'est lui-même qu'une Iraclion imperceptible de TUnivers. Maiscel
Univers, si démesurément agrandi, n'est plus qu'un ensemble de
corps inertes régi par des forces inconscientes, et l'homme, si ra-
baissé par là au point de vue matériel, se relève dans le sentiment de
son intelligence et de sa liberté morale : il doit viser bien plus haut.
Ces évolutions astronomiques devaient d'ailleurs commencer dès
la première ébauche de la vie sociale. Les premiers groupes, en se
civilisant, avaient besoin de régler les temps etdeconnaître les lieux.
L'institution capitale des calendriers, la nécessité continue d'une
orientation exacte, la navigation enfin ont sans cesse demandé de
nouveaux progrès à l'Astronomie. Celle-ci, par surcroît, a développé
peu à peu la conception, d'abord rudimentaire, de l'Univers. Nous
plaçons à la fin de cette Introduction le Tableau (p. xv) de ces
principales phases, avec l'indication des noms les plus illustres et
des livres qui ont fait époque.
Peut-être trouvera-t-on que j'ai trop insisté sur l'Astronomie
des Anciens. Le fait est que ces développements ne seraient guère
de mise dans un Cours, tel que celui que j'ai l'honneur de faire à
l'École Polytechnique ; mais ce que l'auditeur n'aurait pas le
temps de suivre peut trouver place dans un livre qu'on prend et
qu'on ferme à loisir. L'Astronomie des Anciens est trop souvent
considérée comme ime vieille erreur dont Copernic et Galilée
nous ont débarrassés. A titre de Géométrie céleste, elle est admi-
rable en bien des points et digne assurément des grands génies de
la Grèce, mère des sciences. Rien de plus intéressant d'ailleurs que
de voir la Mécani(|ue s'y introduire vers la fin du xvn*' siècle
et la transformer. Enfin, au point de vue tout philosophique de la
méthode, l'étude de ces phases nous montre comment une science,
la plus parfaite de toutes, parvient à se dégager de la recherche des
causes premières et des hypothèses sur la nature intime des choses.
Il y a pourtant, dans le langage même de cette Science, un
sujet de méprise qu'il importe d'écarter : je veux parler du mot
d\ittraciion. Bien des gens pensent encore aujourd'hui qu'en se
servant de ce terme les Astronomes attribuent à la matière une
vertu attractive qui lui permet d'agir, sans intermédiaire, sur les
corps les plus éloignés. C'est justement là ce qui a nui si long-
temps à la doctrine nevvtonienne auprès des plus illustres Géo-
INTRODUCTION. XI
mètres du continent. « J'estime fort, disait Huygens, les beaux
travaux de M. Newton sur les mouvements des corps célestes et
sur la force qui les régit; mais je regrette qu'il nous parle de cette
vertu attractive à distance dont il prétend doter chaque parttcule
de matière.» Il fallut que Newton protestât hautement contre cette
imputation; il Fa fait dans des ternies qui ne laissent place à
aucun doute :
« Que la gravité soit innée, inhérente et essentielle à la matière,
de sorte qu'un corps puisse agir sur un autre corps à distance, à
travers le vide et sans aucun intermédiaire qui transmette cette
action, c'est pour moi une absurdité si grande qu'il me semble
impossible qu'un homme capable de traiter de matières philoso-
phiques puisse y tomber. »
« Mais cet intermédiaire est-il matériel ou immatériel? C'est ce
que je laisse aux lecteurs à décider. »
Dans l'admirable scolie qu'il a consacré à l'idée de Dieu, à la fin
du Livre des Principes^ il fait la déclaration suivante :
a Je n'ai pu encore parvenir ù déduire des phénomènes la raison
de ces propriétés de la gravité, et je n'imagine point d'hypothèses;
car tout ce qui ne se déduit point des phénomènes est une hypo-
thèse, et les hypothèses, soit métaphysiques, soit physiques, soit
mécaniques, soit celles des qualités occultes, ne doivent pas être
reçues dans la philosophie expérimentale Il suffit que la gravité
existe, qu'elle agisse suivant les lois que nous avons exposées et
qu'elle puisse expliquer tous les mouvements des corps célestes
et ceux de la mer. »
Et il termine par ces lignes bien remarquables :
M Ce serait ici lieu d'ajouter quelque chose sur cette espèce
d'esprit très subtil qui pénètre à travers tous les corps solides et
qui est caché dans leur substance : c'est par la force et l'action de
cet esprit que les particules des corps s'attirent mutuellement aux
plus petites distances, et qu'elles cohérent lorsqu'elles sont con-
tiguës; c'est par lui que les corps électriques agissent à de plus
grandes distances tant pour attirer que pour repousser les corpus-
cules voisins, et c'est encore par le moyen de cet esprit que la
lumière émane, se réfléchit, s'infléchit, se réfracte et échauffe
les corps; toutes les sensations sont excitées et les membres des
animaux sont mus, quand leur volonté l'ordonne, par les vibrations
XII INTRODUCTION.
de celle subslancc spirilueuse qui se propage des organes extérieurs
des sens, par les filels solides des nerfs, jusqu'au cerveau, et ensuite
du cerveau dans les muscles. Mais ces choses ne peuvent s'expliquer
en pf u de mots ; et Ton n'a pas fait encore un nombre suffisant
d'expériences pour pouvoir déterminer exactement les lois selon
lesquelles agit cet esprit universel. »
Peut-élre est-ce dans cette voie hypothétique que Newton aura
cherché en vain. Il est donc naturel de se demander aujourd'hui si
les travaux ultérieurs des physiciens et des physiologistes sur l'éther
ont l'ait connaître ces lois et ouvert la voie à une explication satis-
faisante de la gravité. On se représente aujourd'hui cet élher comme
un milieu très subtil, éminemment élastique, impondérable, ré-
pandu dans l'espace infini ; ses vibrations se propagent rapidement
en produisant sur nos yeux l'impression de la lumière, de même
que celles de l'air, milieu plus grossier et pondérable, produisent
sur l'ouïe l'impression du son. Mais, de quelque manière que ces
vibrations s'exécutent, qu'elles procèdent par ondes sphériques
comme dans Tair, ou que les particules éthérées oscillent dans des
plans perpendiculaires à la direction où se propage la vibration,
on ne voit pas comment cette hypothèse s'appliquerait à la gravi-
tation. D'ailleurs les particules de cet éther doivent être tenues à
distance par des forces répulsives dont la conception est tout aussi
difficile que celle de Tattraction des molécules ordinaires.
Dans ces derniers temps, l'hypothèse de Téther a perdu du ter-
rain ; on a émis sur la constitution intime des corps une hypothèsi*
qui semble s'adapter beaucoup mieux à notre problème. Supposez
que la matière soit formée de corpuscules pesants, parfaitemeni
élastiques et animés dans tous les sens de mouvements rectilignes,
du moins en dehors de leurs sphères d'attraction mutuelle : on
aura constitué ainsi une sorte de gaz. Si ces corpuscules sont
renfermés, par exemple, dans une enceinte solide et fermée dr
toutes parts, ils iront en choquer les parois de manière à produin»
sur eux l'apparence d'une pression, et comme, en vertu de leur
élasticité, ils rebondissent aussitôt sans perle de vitesse, leurs
mouvements dureront toujours avec la même énergie, les pres-
sions exercées demeureront constantes. Cette hypothèse rt'iul
compte en même temps des phénomènes de la chaleur, si Ton
consent à identifier le calorique avec la force vive des molécules
INTRODUCTION. \lll
gazeuses, et si l^on admet que leurs trajectoires rectilignes, sans
cesse interrompues et entrecroisées par leurs chocs mutuels, ne
sauraient disparaître que par la suppression de cette même force
vive, c'est-à-dire par la réduction de la température au zéro absolu.
Il est bien évident que des corps quelconques, plongés dans ce
milieu et imperméables à ses molécules, éprouveraient en tous sens
la même pression que les parois et ne recevraient aucune impulsion
les uns vers les autres ; mais il est facile de modifier Thypothèse
de manière à produire cette impulsion.
Imaginez, en effet, que Tespacc soit rempli d'une sorte parti-
culière de particules matérielles élastiques, se mouvant en tous
sens, en ligne droite, avec une vitesse très grande, et qu'au lieu
d'être arrêtées, comme celles des gaz, à la surface des corps, elles
passent entre leurs atomes comme à travers un crible, parce qu'elles
sont incomparablement plus ténues que les interstices qui séparent
ceux-ci. Un corps ordinaire, étant plongé dans un tel milieu, re-
cevra à chaque instant, sur chacun de ses atomes relativement
grossiers, des impulsions égales dans tous les sens : il restera donc
immobile. Mais, si l'on place un autre corps, à une distance quel-
conque du premier, ces deux corps se feront mutuellement écran,
non parleurs surfaces extérieures, mais par leurs atomes. Les impul-
sions du milieu cesseront d'être égales en tous sens, et ces deux corps
seront sollicités l'un vers l'autre avec une énergie proportionnelle,
à peu près, au produit des nombres respectifs de leurs atomes, c'est-
à-dire de leurs masses, et en raison inverse du carré des distances.
A la vérité, les Astronomes, dans leurs calculs, admettent que
l'attraction est exactement en raison des masses et qu'elle n'est
affaiblie par l'interposition d'aucune épaisseur de matière. Mais,
au fond, la contradiction peut être levée, car cette loi n'est qu'ap-
proximativement établie parles faits. Laplace a montré queTattrac-
tion d'un point central de la Terre s'exerçant sur un point exté-
rieur, à travers 1600 lieues d'épaisseur d'une matière 5 à 6 fois plus
dense que l'eau, pourrait être affaiblie par cet écran d'un peu moins
d'un millionième. C'est du moins la marge que laisse la petite
incertitude des observations.
On voit avec quelle facilité les corpuscules gravifîques devraient
traverser cette épaisseur pour que l'action qu'ils produisent sur
une molécule ainsi protégée ne fût réduite que d'un millionième.
XIV INTRODUCTION.
De même cette conception s'écroulerait si l'attraction était in-
stantanée, ainsi que les Astronomes l'admettent dans leurs calculs,
car alors il faudrait attribuer aux corpuscules gravifiques une vi-
tesse infinie. Mais Laplace, ayant examiné à fond cette question, a
fait voir que les observations les plus délicates et les plus précises
ne seraient pas incompatibles avec une vitesse de propagation finie
delà gravité, pourvu que cette vitesse dépassât cent millions de fois
celle de la lumière. Il suffira donc, pour accommoder l'hypothèse
aux faits, d'admettre que les corpuscules de l'éther gravifique
viennent de l'infini, dans toutes les directions, avec une vitesse un
peu supérieure à -jGooo fois cent millions de lieues par seconde.
Enfin, comme les Astronomes ont prouvé que la gravité ou
l'attraction des corps est indépendante de leur état phvsique ou
chimique, il faudra admettre, si difficile que cela soit, que le grou-
pement de leurs atomes, l'élargissement ou le rétrécissement de
leurs intervalles moléculaires sont sans influence appréciable sur
leur perméabilité pour l'éther gravifique.
On ne saurait attribuer à un tel milieu la faculté de transmettre
les vibrations lumineuses. Il faudra donc que les Physiciens con-
servent leur élher, également infini, pénétrant également tous les
corps, mais immobile, élastique et impondérable malgré l'action
incessante du premi€*r.
Voilà de quelle manière et à quel prix on parvient à plier l'hypo-
thèse aux faits. Autant vaut dire que, en dépit du grand développe-
ment des sciences de tout ordre, la question ainsi posée n'a pas
fait un seul pas. Contenions-nous donc, avec tous les Géomètres,
tous les Astronomes sans exception, de la notion introduite par
Newton, puisqu'elle figure seule dans les é({uations fondamentales
de la Mécanique céleste et qu'elle suffît à notre Science, dont elle
résume les immenses progrès, tout en déclarant que par ce mot
A^atlraction, plus commode que celui de gravitation^ nous enten-
dons seulement la force, quelles qu'en soient la nature intime et la
cause véritable en vertu de la(|uelle les corps gravitent les uns vers
les autres, aussi bien sur notre sol que dans les rspaces célestes(* ).
(') Si le l«M'l«Mir veut approfondir cos discussions, nous le renverrons au l»cl Ou-
vr.iRC de M. Hirn intitulé: Conséquences piiHoxophif/ucs et metaj)hyxiques de la
Thermodynamique. Analyse élémentaire de VL'n'vcrs. Paris. iS'IS. Gauthier-
Villars.
INTRODUCTION.
\V
COXOOtTB DO GLOBE.
Vie nomade. Gran-
des migrations peu-
plant la Terre, sans
idée de retour au sol
natal.
Les populations se
fixent au sol : Chinois,
Chaldéens, Égyptiens.
De petits peuples ou
de simples tribus pra-
tiquent seuls le com-
merce et la navigation
côtiére.
ÉTAT DB L'AmONOmE.
iD<B DE l'u.^ITBRS.
Période antéhiitorique.
Première idée du mouvement
diurne des astres.
Orientation.
Phases hebdomadaires et
révolution mensuelle de la
Lune.
Calendriers lunaires.
Navigation hautu-
riére à ses débuts.
L'Asie et l'Afrique
sont ouvertes à la ci-
vilisation par les expé-
ditions des Grecs, puis
des Romains. On com-
mence à connaître les
180 premiers degrés
fie longitude.
A partir de Tan — 3000.
Institution officielle des ca-
lendriers solaires.
Collèges à la fois astrono-
miques et astrologiques en
Chine^ à Babylone, etc.
Division du zodiaque en
constellations.
Détermination fréquente de
la durée de l'année, des saisons.
Première éclipse observée en
Chine en — 2607.
Obliquité cle Técliptiquc
mesurée en Chine en — 1 100.
Éclipses observées avec pré-
cision à Babylone à partir de
— 620. Période chaldéenne
des éclipses.
Les astres s'éteignent au
Couchant et se rallument
à l'Orient.
La Terre est un disque
plat soutenant la voûte
solide du ciel.
De-400à-f-150.
Mouvements circulaires el
uniformes des astres.
Premier catalogue d'étoiles
d'Aristide et Timocharis,
— 3oo.
Observations d'Alexandrie,
— 280.
Eratosthènes mesure exac-
tement la Terre, — 220.
Théorie de l'excentrique et
découverte de la précession
par Hipparque, — i5o.
Réforme du calendrier par
Jules César, — 46-
Principales inégalités de la
Lune; théorie des planètes,
Ftolémée.
Almageste de Ptolémée,
-+■ i5o.
La voûte céleste s'agran-
dit : c'est la demeure des
astres et des dieux.
Les astres, conduits par
des divinités spéciales,
parcourent alternative-
ment le ciel et les régions
inférieures.
{Hésiode, Homère, récit
de Her. dans la Rép.
de Platon . )
La Terre n'est plus un
disque plat surmonte'
d'une cloche transparente
et bleue, mais un globe
entièrement isolé danii
l'espace.
Il y a plusieurs cieu>
sphériques et concentri-
(fues, un pour chaque pla-
nète. Au centre est placée
la Terre immobile.
La sphère qui porte les
('toiles renferme tout l'u-
nivers et tourne tout d'une
pièce, avec les astres
qu'elle contient, autour de
la Terre.
{Songe de Scipion.)
XVI
INTRODUCTION.
CONQCtTE DO GLO»B.
Invasion des Bar-
bares. Suppression des
communications avec
rOrient par le maho-
métisme. Les notions
géographiques s'obli-
tèrent.
Grande navigation
hauturiére.
Rétablissement des
communications avec
rextrèmc Orient par
le Gap, 1498.
Découverte de l'A-
mérique, 1492. Pre-
mier voyage autour
du monde, Magellan,
ÉTAT DE l'aSTROROMIB.
De + 400 à + 1500.
Quelques progrés de détail
par les Arabes sous l'inspira-
tion de VAtmageste.
Tables Alphonsines, i483.
IDÉE DB l'cNITEM.
Golonisation des
deux Amériques. Gon
quête des Indes orien-
tales. Toutes les ré-
gions du globe sont
explorées, sauf les
pôles et l'intérieur de
certains continents.
De 1500 à 1700.
Gopernic, De revolutionibus,
1543.
Observations de Tyclio, i58o.
Lois de Kepler et Tables Ru-
dolphincs, 1009-1627.
Galilée. Lois de la chute des
corps, 1603.
Découverte des lunettes,
1610.
Les lois du mouvement cur-
viligne, Huyeens. 1660.
Gréation de l Observatoire
de Paris, 1667, et de la Con-
naissance des temps, 1679.
Découverte de la gravitation
universelle.
Phil. nat.principia mathe-
matica, Newton, 1686.
Mêmes notions. Vers la
fin de cette période, on
commence à sentir la com-
plication croissante du
système des anciens.
{Mot célèbre du roi Al-
phonse, )
Renversement complet
des idées précédentes.
C'est la Terre qui tourne
et non l'univers; c'est le
Soleil qui occupe le centre
du monde.
La Terre, comme les
planètes, n'est plus qu'un
satellite du Soleil.
L'Astrologie judiciaire
disparaît.
Les étoiles sont des so-
leils comme le nôtre, dis-
séminés dans l'espace.
Distinction entre le
monde solaire et l'univers.
{Pluralité des mondes
deKontenelle).
XVIII* fiécle.
Elaboration de la doctrine
newtonienne par Euler, Glai-
raut, d'Alembert, Lagrange,
Laplace.
Premières Tables de la Lune
roprcs à la navigation,
. Mayer, 1755.
Mesure de la Terre par les
Académiciens français, 1747.
Mouvement de translation
du système solaire, Herschel,
1783.
Méccutique céleste de La-
place, >790.
Ç
L'Astronomie solaire
ramenée à un simple pro-
blème de Mécanique.
Stabilité du système so-
laire, et son indépendance
par rapport au reste de
l'univers.
Nébuleuses considérées
comme des mondes en
voie de formation.
{Exposition du système
du monde, de Laplace.)
INTRODUCTION.
XVII
COXQCÊTE DU CLOBB.
Prise de possession
du globe terrestre par
la navigation rapide
à vapeur. les chemins
de fer, le percement
des isthmes et la télé-
graphie électrique.
ttkJ DE l'astronomie.
IDIÎE DE L*UMVER8.
XIX* siècle.
Tables des planètes fondées
sur les théories de Laplace :
Bouvard et Lindenau, 1810,
Le Verrier, i8()o.
Tables de la Lune fondées
sur la seule théorie de la gra-
vitation : Damoiseau, 1830,
Delaunay, 1860.
Découverte de Neptune : Le
Verrier, Adams, 1840.
Grandes opérations géodé-
siques. Dimensions de la Terre
déterminées à 40*^ près.
Thermodynamique, R. Mayer
et Joule, 1840.
Analyse spectrale, KirchhofT,
i86a.
Incandescence du Soleil
et des étoiles enfin expli-
quée.
Identité chimique des
astres et des éléments ter-
restres.
' Cosmogonie du système
solaire servant de pro-
drome à l'histoire géolo-
gique de notre globe.
TBEORIE DU 80LEIL.
LIVRE PREMIER.
THEORIE DU SOLEIL.
Le jour sidéral, l'heure sidérale, la pendule sidérale dont nous
avons fait constamment usage dans le premier volume pour la
mesure du temps, ne servent quWx observations méridiennes; les
astronomes eux-mêmes ne les emploient pas dans leurs calculs. Con-
formément aux usages civils, qui doivent se plier à ralternative
des levers et des couchers du Soleil, ils se servent du jour solaire.
Mais nous avons dû éviter, dans la première Partie de ce Cours,
les complications qui en résulteraient. C'est qu'en effet la rotation
de la Terre, rapportée au point y? est une constante propre à servir
de mesure pour le temps, tandis que la même rotation estimée
par rapport au Soleil, c'est-à-dire l'intervalle de deux retours
<!onsécutifs du Soleil au méridien, n'est pas constante, parce que
l'ascension droite du Soleil ne varie pas d'une manière uniforme.
Ce sera l'objet d'un Chapitre spécial d'exposer les moyens par
lesquels les astronomes ont réussi à remplacer le Soleil vrai par
un Soleil Gctif dont le mouvement uniforme, combiné avec la rota-
lion terrestre, constitue un jour solaire moyen de durée constante.
Tâchons d'en donner dès à présent une idée. Comme le Soleil
fait sa révolution en sens direct, opposé au mouvement diurne,
et revient au point y après 366, 24^^ jours sidéraux, il a dû, dans
ce laps de temps, faire un tour de moins que le point y lui-même,
c'est-à-dire passer une fois de moins au méridien ( * ). Par consé-
quent
365,3433 jours solaires =: 866,2422 jours sidéraux.
(') C'est ce qui arrive à un navigateur faisant le tour de la Terre en sens opposé
I. 1
2 LIVRE PREMIER.
Le jour sidéral est donc plus court que la moyenne des jours
solaires d'environ j^, c'est-à-dire de 3" 56*.
Les astronomes n'employaient autrefois dans leurs obserxa-
toires que le jour et Theure solaire. Mais alors Theure marquée
par leur pendule, à l'instant où ils observaient le passage d'un
astre au méridien, ne donnait pas immédiatement son ascension
droite. Il fallait, pour l'obtenir, un calcul de parties proportion-
nelles basé sur cette différence de 3" 56* qu'on nommait assez
improprement accélération des fixes ^ parce qu'en supposant qu'à
un jour donné une étoile passât au méridien en même temps que
le Soleil, le lendemain elle y passait 3" 56* plus tôt. L'astronom<î
français Delisle eut Theureuse idée de supprimer ces réductions
continuelles en raccourcissant le pendule de son liorloge do
manière à lui faire battre 3^56'' de moins par jour. De cette façon
il lui suffisait d'un coup d'œil sur le cadran pour y lire l'ascension
droite (en temps) des astres qui passaient à cet instant au méri-
dien. Telle est l'origine de l'institution du jour ou du temps
sidéral, toujours en usage depuis cette époque dans les obscrxa-
loires. Il n'en est pas sorti, parce que l'Iiorloge ainsi réglée n'est
plus d'aucun usage dans la vie ordinaire qui se modèle sur la marche
diurne du Soleil. Si elle est d'accord aujourd'hui avec riieure so-
laire (cela arrive une fois seulement par année, >ers le ai mars),
demain l'écart sera de 3" 56"; dans un mois il sera de a** et au bout
d'un an il sera de ii^\ c'est-à-dire d'un jour entier.
Le jour solaire vrai en un lieu quelconque se réglait, malgré ses
petites inégalités, comme le jour sidéral, sauf que le Soleil rem-
plaçait le point V (*). Sa durée était partagée en if\ heures, <lont
la durée variait imperceptiblement d'un jour à l'autre; l'angle
horaire du Soleil, exprimé en temps, n'est autre chose que l'heure
solaire vraie. C'est ce jour solaire vrai, celle heure solaire vraie
'A >a rotation, c'est-à-dire de l'est à luuest. Lorsqu'il revient à son |M)int de dép«irt,
il a compté un jour de moins que ceux qui y sont restés; son li\re de bord se ln»u-
verait a l'arrivée en relard d'un jour entier, s'il n'avait eu la pn'caution d'augmenter
SCS dates d'une unité en passant au iHo" degré de longitude à partir de M»n
premier méridien.
(•) Le jour ri>il ne diffère du jour astronomique qu'en ce que le premier eom
mrnce à minuit, à l'instant où le Soleil passe au méridien inférieur, tandis que le
bccoad commence à mi<li, instant du passage au méridien sui>érieur.
THEORIE DU SOLEIL.
que nous remplacerons plus tard par le jour et Theurc solaire
moyens; c'est-à-dire ramenés à l'uniformité par la substitution
d'un Soleil fictif au Soleil vrai.
On voit que nous conserverons ici le langage des apparences
en parlant du mouvef/ient annuel et du mouvement diurne du
Soleil. Comme les mouvements apparents sont la traduction
géométrique des mouvements réels, il n'y a là aucun inconvénient.
*—*
LITBB PBBHIEB. — CB iPITftE I.
CHAPITRE ï.
PREMIÈRE IDÉE DU MOUVEMENT ANNUEL DU SOLEIL,
Quand on obser\e le Soleil jour par jour aux instruments
méridiens, on trouve qu*au bout d*un an son M a varié de o* à 3(>o*;
le Soleil a fait le tour entier du ciel en sens opposé du mouvement
diurne. Pendant ce temps, sa distance angulaire o au pùle a varié
entre les limites 90"* — aS^jel go^'-r a3*j, et en suivant ces variations
on constate que le Soleil a parcouru sur la voûte céleste un grand
cercle, Técliptique, incliné de 23" j sur Téquateur. Tous les ans les
mêmes phénomènes se reproduisent.
Il y a ici deux questions différentes à examiner : 1® le mouvement
annuel du Soleil sur Técliptique, indépendamment de toute con-
sidération locale; a** les effets de ce mouvement pour un obser-
vateur placé en un point déterminé du globe terrestre. La figure
suivante est relative à la première question.
Orbite annuelle du Soleil.
On a dessiné sur un globe céleste (Jig. i) la trajectoire appa-
rente du Soleil. Le grand cercle de lecliptique est déterminé par
sa trace vVet son inclinaison «o sur Téquateur. Des deux nœuds
V et y, l'ascendant est y (^* "7 P- ^4)' C'est lui qui a été pris
sur la sphère céleste pour origine des My et pour marquer en
un lieu donné, par son passage au méridien de ce lieu, Forigine
des heures sidérales. Lorsque le Soleil, parcourant lentement ce
grand cercle Y e y' ^' et obéissant en même temps chaque jour à la
rotation diurne du ciel, se trouve au point v, le parallèle qu'il
décrit sensiblement ce jour-là autour de l'axe PP'esl Téquateur EE'.
Alors le jour est égal à la nuit sur tous les horizons, quel que soit X.
PREMIERE IDEE DIT MOUVEMENT ANNUEL DU SOLEIL. 5
C'est Téquînoxe de printemps : de là le nom de point vernal
donné au point y* Même phénomène lorsque le Soleil se trouve,
six mois après, au point opposé y • c^est Téquinoxe d'automne.
Fig. I.
Le Soleil marche ensuite de y vers e, en se rapprochant peu à peu
du pôle. Les parallèles diurnes se rétrécissent. En e, 8 atteint sa
plus petite valeur; sa variation d'un jour à l'autre est insensible :
c'est l'époque du premier solstice, ainsi nommé parce que le So-
leil s'arrête là dans son mouvement ascensionnel vers le nord. A
partir de e, 8 commence à croître, le Soleil marche vers le ciel aus-
tral; six mois après, il atteint en e' la limite de son excursion vers
le sud : c'est le deuxième solstice. Alors, pour la seconde fois dans
l'année, 8 reste sensiblement invariable pendant un certain laps de
temps, et le Soleil décrit journellement un véritable parallèle, celui
du point e. Dans les positions intermédiaires, de e en e' ou de e' en e^
la variation de 8 en un jour est sensible; ce ne sont pas de vrais
parallèles que le Soleil décrit, mais des spires sphériques très
serrées. En y ou en y', surtout, cet effet est marqué pour l'astronome,
car alors 8 varie de a3',4 par jour.
Pour déterminer l'obliquité to, cause de ces changements, il
suffît de mesurer le 8 du Soleil aux époques du maximum et du
minimum, et de prendre la demi-différence des valeurs extrêmes.
Pour déterminer l'instant où le Soleil traverse l'équateur céleste
en Y> c'est-à-dire l'équinoxe de printemps, il faut l'observer
au méridien plusieurs jours de suite, vers cette époque, et déter-
miner, par interpolation entre les 8 observés, l'instant où cette
coordonnée a été juste de 90**.
O LIVRE PREMIER — CHAPITRE I.
Enfin on détermine la durée de la révolution du Soleil par
rînter\'alle de deux retours consécutifs de cet astre à un même
point de son orbite, par exemple au point v.
Vicissitudes locales des saisons et des jours.
Quel eflet ce lent mouvement annuel du Soleil produit-il sur
Fig. a.
riiorizon d'un lieu donné? CVst ce que nous montre la fig. i et la
formule de la page 5(), tome I,
cosw = rosX coso -h sinX sino cos Jf,
o désignant la distance polaire du Soleil et a la colatitude du lieu.
Lorsqu'on v fait 2 = yo**, pour exprimer que le centre du Soleil
efet à l'horizon, elle devient
ros.Il - - - col A cote.
Les deux valeurs de J! sont alors les angles horaires du Soleil àTinstant
de son coucher et de son lever. Ces angles horaires, exprimés en
temps à raison de i*" pour i5", font connaître le temps écoulé entre
le lever ou le coucher de l'astre et Tinstant de son passage au mé-
ridien. Les heures solaires étant comptées de midi et de minuit,
selon l'usage civil, A\ et AM — la*' seront les heures du coucher et
du lever, pour le jour où la distance |K)laire est 5. Par exemple,
sur le parallèle de Paris, par 4t**>o' de colatitude, .11 — 4>> quand
PREMlàRE IDÉE DU MOUVEMENT ANNUEL DU SOLEIL. 7
0 r= po° -h w, au solstice d'hiver, en sorte que, vers le 20 décembre,
le Soleil se couche à 4^ du soir et se lève à 8** du matin; la durée
du jour est de 8^ et celle de la nuit de 16**. M = S^ quand
8 = 90** — ci>, au solstice d'été, en sorte que le jour est alors de
16** et la nuit de 8^.
Il est aisé de suivre ces variations de climat en climat, c*est-à-
.dire lorsqu'on considère différentes valeurs de X. A l'équateur,
X = go°; la formule se réduit à co^M = o, quel que soit 0. De la
.-H z= go° ou 6**. Le jour est donc constamment de 1 2** à l'équateur,
tandis que, dans les autres climats, cette circonstance ne se pré-
sente que deux fois dans l'année, lorsque 2 = 90°, c'est-à dire
vers le 21 mars et le 21 septembre.
Si X = o), cos^îî devient 1 lorsque 0 = 90° — w. Ce jour-là le
Soleil rase l'horizon à minuit. C'est ce qui arrive au cap Nord, le
21 juin, au solstice d'été. Sur des parallèles encore plus voisins
du pôle, cosiH devient ]> i , et yïl imaginaire lorsque 0 <^ 90** — )..
Alors il n'y a, pendant quelque temps, ni lever ni coucher du
Soleil. Cet astre devient momentanément circompolaire. Il appa-
raît ou disparaît sur cet horizon suivant les variations annuelles
de 0, et non suivant les lois du mouvement diurne.
En réalité, le jour qui nous éclaire commence au lever du bord
supérieur du Soleil et non pas du centre. Sa durée est d'ailleurs
augmentée par la réfraction qui est d'environ 34' à l'horizon. Il
faut donc faire dans la formule précédente ^ =1 90° + 1 6' -f- 34'
pour tenir compte de ces influences, car le demi-diamètre angulaire
du Soleil est de 16' environ.
Quant au crépuscule qui allonge si notablement la durée de
Téclairement diurne du ciel dans les climats septentrionaux, il
cesse lorsque le Soleil est abaissé de 18** au-dessous de l'horizon.
Pour obtenir l'angle horaire correspondant, il faudrait faire z = 1 08^
dans la formule précédente.
La distance zénithale méridienne Zm exprime l'angle d'incidence
(par rapport à la verticale) des rayons solaires à midi; elle règle
donc l'intensité de la chaleur versée à cet instant sur un horizon
donné, et, comme elle est en relation directe avec l'angle pré-
cédent M, c'est-à-dire avec la durée du jour, on voit que ce simple
élément Zm règle et détermine la chaleur versée d'un bout à l'autre
de la journée. La température du jour variera d'une époque à
s LIVRE PREMIER. — CHAPITRE I. «
Tautre entre des limites dépendantes de z^y c^est-à-dire de
8 — w — X et 0 -h w — X,
qui répondent au premier et au deuxième solstice.
Cela posé, si le lieu considéré est sur Thémisphère boréal, X<^ go** ;
le premier angle est en général beaucoup moindre que le second, car
la différence 210 est de 47**- Le premier solstice, en e, époque des
plus longues journées et de l'incidence la plus favorable à Faction
des rayons solaires, sera le temps de la plus chaude saison. Le
second, en e'y marquera la saison du froid et des longues nuits. Au\
époques intermédiaires, quand le Soleil est en y ou y', le jour a sa
valeur moyenne, ainsi que Tincidence des rayons solaires à midi :
ce seront, à six mois d*intervalle, les saisons tempérées du printemps
et de l'automne. Tout cela est renversé pour ). >> 90"; sur Tautre
hémisphère le premier solstice e répond à l'hiver et le deuxième c
a l'été.
Période des saisons; année tropique. Institution du calendrier.
Quelle est la période qui ramène en chaque lieu ces phénomènes
si tranchés, si importants pour nous? C'est évidemment l'année
tropique ci-dessus définie, non pas la période des retours du Soleil
à un même point fixe du ciel tel qu'une étoile, c'est-à-dire la
durée de sa révolution sidérale, mais celle de ses retours au point y
ou à un solstice, bien que ces points se déplacent lentement, comme
nous le verrons plus tard, dans la suite des siècles. C'est dont*
aussi l'année tropique qui doit régler les travaux de l'agriculture
et en général les occupations journalières des populations fixées
au sol.
Cette liaison de la température moyenne de chaque jour de
l'année avec les mouvements du Soleil est si intime, qu'on peut la
calculer d'avance par la formule
6 -h A* ces 5,
0 étant la distance polaire du Soleil, 6 et A' des constantes relatives
à la localité, à la seule condition de prendre pour chaque jour, au
lieu du S actuel, le 0 qui répond à une date antérieure d'un
PREMIERE IDEE DU MOUVEMENT ANNUEL DU SOLEIL. 9
moisy à cause du retard qui se manifeste toujours dans Teffet
thermique des rayons solaires. A Paris, par exemple, 60= *o°>5,
A*==: ao^,8. Formez le Tableau suivant pour le milieu de chaque mois :
Températore mojrenne
20», 8 cos 0 - — ' Il ' ^1
6 da mois. (S dumoUpréeédenl). calcalee. observée.
e
W ^» ^r
Janvier m. 11 — ^»* 3,3 2,0
Février ioa.47 " 7ï5 3,o 4|0
Mars 91.52 — 4»6 5,9 7,0
Avril 80. o -h 0,7 9,8 10,7
Mai 70.59 -H ^,5 14,0 i4ïO
Juin 66.39 -*- 6,8 17,3 17,0
Juillet 68.33 -h 8,2 18,7 18,7
Août 76.8 -*- 7i6 18,1 18,2
Septembre.. 87.13 -^ 5,o i5,5 i5,8
Octobre 98.45 — '|0 îi|5 iIï5
Novembre.. 108.40 — 3,2 7,3 7,0
Décembre.. 113.19 — 6|7 3,8 3,9
et vous verrez jusqu^où va cette concordance entre les dates d'un
calendrier bien réglé et la marche annuelle de la température. Or
tout produit de la végétation dépend de la chaleur régnante et de la
somme de chaleur reçue par le sol depuis Tépoque de la germina-
tion. Il y a donc une date pour semer, une autre pour récolter,
et cela change d'une espèce végétale à Tautre. L'expérience seule,
accumulée pendant de longues années, peut faire connaître ces
dates qui servent de règle aux cultivateurs, et qui dirigent toute
l'économie de populations forcées de demander au sol leur
subsistance, tout en préparant leurs ressources pour les époques où
le sol chôme. De là les dictons qui expriment ces règles pour les
gens simples, tous fondés sur l'usage d'un bon calendrier.
Mais si la durée de l'année solaire a été mal déterminée, cette
concordance des dates d'un calendrier et des S du Soleil ne sau-
rait se maintenir pendant une longue suite d'années. L'histoire nous
apprend que les premières sociétés agricoles ont commencé par le
calendrier lunaire des nomades, basé sur la lunaisons de 354^.
Il a fallu bientôt y renoncer et consulter de plus près le Soleil. On a
ensuite porté l'année à 36o jours; mais Terreur de 5 jours, en
s'accumulant d'année en année, devenait de 3o jours ou d'un mois
en 6 ans. Alors le mois de mars, par exemple, cessait de répondre,
lO LIVRE PREMIER. — CHAPITRE I.
dans nos climats, à la température printanière de lo**, 7 pour tomber
à 7" en moyenne. Au bout de 18 ans, on se trouvait au cœur de
rhivêr lorsque le calendrier annonçait le printemps. Pour cor-
riger cet état de choses qui a duré jusqu'en Tan — 1784 en
Kgypte, et fixer la durée de Tannée à i jour près, plus lard à
oJ,oi près, comme le firent les Chinois il y a trois mille ans, on
ne pouvait se contenter de noter les levers ou couchers du Soleil;
il fallut instituer un ensemble d^observations astronomiques. Nous
en dirons quelques mots, car les procédés anciens étaient de tout
point comparables aux nôtres.
CHAPITRE 11. — ASTRONOMIE SOLAIRE DES ANCIENS. Il:
CHAPITRE II.
ASTRONOMIE SOLAIRE DES ANCIENS.
Elle était basée sur de véritables observations méridiennes. Le
gnomon {Jig- 3) remplaçait notre lunette méridienne et notre cerclr
mural; la clepsvdre remplaçait fort bien nos horloges.
Fig. 3.
^
z
X
X
1 ;
Le gnomon est un style de hauteur connue A, rendu bien ver-
tical à Taide du fil à plomb ; son ombre, portée sur un plan dressé
horizontalement à Taide de rigoles pleines d'eau, donne à tout
instant, par sa longueur l, la distance zénithale du Soleil au moyen
de la relation
 = '^"«-'
Si l'on trace sur le sol la direction de la méridienne par la méthode
des ombres égales (y?^. 4), identique à notre méthode des hauteurs
correspondantes (t. I, p. 124), on aura un vrai théodolite donnant
à volonté, par l'observation de l'ombre, le :; et TA du Soleil.
C'est aussi un instrument des passages donnantTinstant oùle Soleil
passe au méridien. A ce moment, l'ombre du style coïncide avec
la méridienne tracée sur le sol ; sa longueur donne z^ et par suite 5.
là LIVRE PREMIER. — CHAPITRE II.
Quant à la mesure du temps, la clepsydre y pourvoyait parfaile-
nient. C^était un réservoir à niveau constant, c*est-à-dire muni
d^un trop-plein, où Ton faisait arriver incessamment de Teau ; au
bas de ce réservoir, par un orifîce convenablement ménagé,
sortait une quantité d'eau un peu moindre que la quantité reçue ;
Fig. 4-
elle était mesurée par une jauge. Pour régler l'appareil, il suflisait
de noter Teau ainsi débitée, sous une pression constante, dans
rintervalle de deu\ retours consécutifs du Soleil au méridien, et
de la subdiviser en 24 parties égales. La hauteur de Teau dans la
jauge donnait riieure à tout instant du jour et de la nuit.
Ainsi Tobscrvateur était en étal de mesurer, jour par jour, le odu
Soleil au moyen de sa distance zénithale méridienne et, en ajoutant
12 heures à Tinstant de sa culmination, de noter à minuit précis
les étoiles écliptiques qui se trouvaient alors au méridien à i8o'
d'ascension droite par rapport au Soleil.
L'obliquité de Técliptique et la colatitude du lieu s'obtiennent
par l'observation des deux solstices :
Au solstice <rété ^m ' 9^" ^«^ - 'm
Au solstice <riiiver ^'/i -- 9^* ' ^ — ^»
1t «
ou
90" - ' -^ — - — '
- _1 -' -' _- -
(li 11".
A 'À
Vers Téquinoxe, la longueur de Tombre méridienne diffère peu
de h cotA; les distances polaires conclues d'un jour à l'autre sont
ASTEONOMIB SOLAIRE DES ANCIENS. l3
voisines de 90". On en déduit par Interpolation Tinslant où 8 a dû
se trouver exactement de 90**.
Les anciens. Chinois, Égyptiens, Grecs, Arabes, et les modernes
jusqu'au xvii* siècle nous ont légué des observations de ce genre
qui jouent, encore aujourd'hui, un rôle intéressant dans la Science.
Mais, pour en tirer parti, il faut leur appliquer une correction
fort sensible. SI Ton examine l'ombre portée par le style sur le
plan horizontal, on verra qu'elle est bordée d'une pénombre due
à ce que le disque du Soleil a des dimensions notables. L'extré-
mité noire de l'ombre, celle qu'on observait, répond évidemment,
non pas au centre du Soleil, mais à son bord supérieur, tandis que
l'extrémité de la pénombre, s'il était possible de la distinguer,
répondrait au bord Inférieur. Il faut donc, pour avoir les distances
zénithales du centre, ajouter à celles que nous venons d'obtenir,
c'est-à-dirç z^ et 5'^, le deml-dlaraètre angulaire du Soleil ^A,
environ 16' ( *). Les équations deviennent alors
-/«H-i^ =:90«— W— >,
-m-Hî^ --=i9O»+(0 — X.
La correction porte évidemment sur le X conclu, mais elle dis-
paraît dans le calcul de (o, à moins que, sous le .climat de l'obser-
vateur, le Soleil ne culmine pas, aux deux solstices, du même
côté de la verticale.
L'ombre de l'extrémité du style (il avait une longueur réglemen-
taire de 8 pieds chez les Chinois) étant mal terminée, les Arabes et
les modernes ont substitué, à cette extrémité, une plaque percée
d'un trou par lequel les rayons du Soleil allaient peindre sur le sol
une Image passable de cet astre. C'est ainsi qu'est construit le gno-
mon que CassinI établit à l'Observatoire de Paris, car cet antique
instrument était encore en usage en 1667. On en voit un pareil à
l'église de Saint-Sulpice.
C'est par ces procédés d'observation que les Chinois, et bien
plus lard les Egyptiens et les Grecs, ont réussi à fixer la longueur
de l'année, d'abord à 365 jours, puis à 365^, 24.
0) Naturellement, il faut aussi les corriger de la refraction dont les anciens ne
tenaient pas compte. Voir l'Obseryation d'Eratosthènes, t. T, p. 2^1.
14 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE 11.
Calendriers.
Le second calendrier égyptien comprenait 12 mois de 3o jours cl
5 jours complémentaires ou épagomènes. C'est l'année vague. LVr-
reur d'un quart du jour produisait une erreur de 6 mois, c'est-à-dire
un renversement complet des saisons en jSo ans. Le calendrier ro-
main était encore plus mal conçu. En ran4ti avant J.-C, Jules César,
alors pontife suprême, entreprit de le réformer. Sosigènes ,
astronome d'Alexandrie, qu'il chargea de cette opération, institua
une règle simple d'intercalation pour tenir compte de la fraction
de jour, ou du moins pour corriger Terreur dès qu'elle tendrait à
s'élever à un jour entier. Cette règle consiste à donner 365 jours
à trois années sur quatre et à faire la quatrième de 366 jours (•).
Cela suppose que l'année est de 365^,25. Comme elle est en réa-
lité de 36jJ,2422, l'erreur du calendrier était de 0^,0078. Celle
erreur ne pouvant atteindre un jour qu'au bout de 128 ans, elle fui
considérée comme négligeable.
Le calendrier julien a été adopté par Téglise catholique en 325.
\ celte époque, Téquinoxe du printemps tpmbait le 21 mars, et,
dans la supposition qu'il en serait toujours ainsi, on avait réglé
sur celte date la célébration de la fête de Pâques. En 1 582, 1 257 ans
après, Terreur du calendrier julien devait être de iq jours environ;.
Téquinaxe de printemps répondait eflectivemeiit au 11 mars. Pour
corriger celle erreur de 10 jours, le pape Grégoii*e XIll décida que
le 5 octobre 1 582 compterait pour le i5 octobre : c'est ce qu'on a
appelé ]aL suppression des 10 jours. Et pour parer à l'avenir, c'est-
à-dire pour que Té(|uinoxe de printemps tombât toujours du ic) au
21 mars, il fut décidé qu'on supprimerait 3 bissextiles sur 100 (*•*).
De la sorte, notre année civile a pour durée
f\<>0 X 3()5 4-07 or-i / -
400
(*) Tuute annt^e dont le millésime c«it divisible par ^ est bissextile.
(•) Toute annre st'-rulaire dont le millésime n'est pas divisible par |»>o reste année
ronimune. Les Husses ont maintenu le calendrier julien. La discordance avec le
nAtre est aujourd'liui de douze jours. Le i5 mars chez eux ré|>ond à notre 27 mars.
ASTRONOMIE SOLAIRE DES ANCIENS.
i5
L'erreur, ainsi réduite à o^,ooo3, est réellement négligeable.
Les mois, alternativement de 3i et de 3o jours, sauf février qui
en a 28 ou 29, n'ont plus aucun rapport avec les lunaisons.
En 1793, on établit un nouveau calendrier, dit calendrier répu-
blicain. L'année se composait de la mois de 3o jours divisés en
3 décades. Il y avait 5 jours complémentaires, parfois 6. Mais
rintercalation fut supprimée ; on décida que Tannée commencerait
par le jour dans le cours duquel tomberait Téquinoxe d'automne.
On ajoutait un sixième jour complémentaire quand il le fallait
pour isuivre, à moins d'un jour près, les mouvements du Soleil,
en sorte que l'intervalle des années de 366 jours n'était pas
toujours dé 4 ans, mais parfois de 5 (par exemple, de la quinzième
à la vingtième année de l'ère nouvelle).
\oici la concordance des deux calendriers pour la i^*'''^ année.
Nouveaux mois.
Ancien style.
Konveaux mois.
Ancien shie.
1* Vendém, .
22 septembre
:793.
1* Germinal. ...
21 mars 1794
i*^ Brumaire.
22 octobre
»
1* Floréal . ....
20 avril »
!• Frimaire .
21 novembre
»
!• Prairial ....
20 mai »
!"■ Nivôse. . .
21 décembre
»
1* Messidor . . . .
19 juin )>
I*' Pluviôse .
20 janvier 1
'794.
■ • Thermidor .
19 juillet ' M
1* Ventôse . .
19 février
M
I* Fructidor . . .
18 août »
ioun comp
lémentalres.
17
septem
bre 1794.
18
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.)>
1
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21
»
»
Ce calendrier si simple n'a pas eu le sort de la réforme des poids
et mesures qui fut entreprise à la même époque: celle-ci répondait
â un besoin sérieux et a fini par être universellement adoptée. On
remarquera d'ailleurs que les noms trop significatifs des mois étaient
au rebours des saisons sur l'autre hémisphère.
Cadrana solaires.
Il restait encore à donner aux populations dépourvues de
■clepsydres un moyen commode d'avoir l'heure. Les anciens astro-
|6 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE II.
•
Domes inventèrent dans ce but les cadrans solaires, pareils à ceux
qu^on voit encore aujourd'hui sur quelques-uns de nos monu-
ments, mais dont personne ne fait usage.
Si le gnomon à style vertical est un véritable théodolite et au
besoin une lunette méridienne, les cadrans dont le style est incliné
parallèlement à l'axe de rotation du ciel sont de véritables équa-
toriaux.
Les anciens virent bien que l'intervalle de deux passages consé-
cutifs du Soleil au méridien est à peu près constant. Ils divi-
sèrent cet intervalle eu deux fois douze heures, dont la numération
devait aller d'un midi au minuit suivant et reprendre de ce minuit
au midi d'après. Si par un style incliné parallèlement à l'axe de la
rotation diurne on imagine vingt-quatre plans, le Soleil, en
vertu de cette rotation, passera successivement dans chacun de
ces plans et, lorsqu'il sera sur l'horizon, le style y portera son
ombre. Recevez cette ombre sur un mur quelconque auquel le
style aura été fî\é, et sur lequel vous aurez dessiné d'avance les
traces d'une dizaine de ces plans horaires espacés de i5^en i5® : ce
sera un cadran sur lequel vous lirez l'heure par la seule position
de l'ombre du style au milieu des lignes horaires.
Cadran équatorial.
On rencontre encore rà ou là des cadrans de ce genre^ le plus
simple de tous. Il se compose d'une feuille circulaire de métal di-
visée sur les deux faces en heures, c'est-à-dire de iS^'en i5**, etd*un
style perpendiculaire à la plaque. Ce style étant fixé dans la direc-
tion de l'axe du monde, on fait tourner la plaque jusqu'à ce que la
division de o** ou de XII** se trouve dans la direction du méridien.
L'ombre portée par le style marque les heures sur la face supé-
rieure pendant la période de mars à septembre, et sur la face infé-
rieure de septembre à mars, parce qu'alors le Soleil est au-dessous
de l'équateur.
Cadran polaire.
Le plan est parallèle à Taxe du monde ; les traces des plans ho-
raires sont parallèles au style. On les détermine en menant au st\le
ASTHONOHIE SOLAIRE DEB ANCIENS. 17
un plan perpendiculaire (parallèle à l'équateur) el en marquant
sur ce plan les lignes horaires dont on vient de parler. Celles du
cadran polaire passeront par les traces de ces dernières sur le plan
du cadran.
Cadran Tertical.
Le mur étant bien perpendiculaire au méridien du lieu, on v
trace avec soin une verticale qui sera la ligne horaire do midi.
Soient \ le point où le stj'le devra être implanté dans la muraille,
LTune horizonlalequelconque qu'on prendra pour ligne de terre.
On tracera l'épure suivante:
A", rabattement du point A sur le plan hori/.onlal, eu faisant
tourner \a autour du point a.
A' A', ligne menée par A' de manière à faire l'angle î, avec LT;
c'est le rabatiement du stvle implanté en A et dirigé dims le plan
méridien parallèlement à l'axe du monde.
Pa, perpendiculaire à A" A', rabatiement de la trace de l'équa-
teur sur le méridien AaA', l'équateur passant par la ligne de
terre I.T.
i8
LIVRE PREMIER. — CHAPITRE II.
P', raballement du point P sur le plan horizontal quand on a fait
tourner Téquateur autour de sa trace LT.
P'a, P'ft,P'c,. .., lignes horaires du cadran équino\ial rabattu ;
elles sont espacées de i5** en i5*» à partir de P'a.
.\rt, A 6, Ac, Arf, lignes horaires du cadran vertical.
Si le style était prolongé jusqu'au plan horizontal, A' a, \'h,
Vcj . .., seraient les lignes horaires d^un cadran horizontal ayant
même stvle.
Cadran vertical déclinant.
\a, verticale tracée sur le mur.
A, point d'insertion du style parallèle à Taxe du monde.
LT, ligne de terre.
aX'j méridienne, projection horizontale du style.
L'aï', perpendiculaire à la méridienne.
Par la construction précédente on obtient les lignes horaires ho
riiontales, c'est-à-dire les traces A'a, A'b, A'c, ... des plan:
horaires, et on les prolonge jusqu'à la ligne de terre LT qu'elle -
coupent en a, b\ c\ iW ....
ASTRONOMIE SOLAIRE DES ANCIENS.
»9
\a, Ab% Ae, Act, .... lignes horaires du cadran déclinant.
Au lieu de construire les épures, il est tout aussi simple de re-
courir aux formules de Trigonométrie sphérique et d'en calculer
les éléments.
Montre des bergers.
Dans le Midi p\Ténéen on voit parfois, entre les mains des ber-
gers, un petit cadran de poche basé sur des principes différents.
C'est un cylindre en bois sillonné de douze génératrices équidis-
tantes correspondant aux douze mois de Tannée, et de quatre ou
rinq courbes qui coupent ces génératrices aux heures XII, I, II, ... .
Fig. 7.
Pour se servir de ce cadran, on en fait sortir, comme une lame de
couteau, une languette de fer qu'on place, normalement au cy-
lindre, sur la ligne du mois actuel. Le cylindre étant bien verti-
cal (il est suspendu à -un fil), on le fait tourner jusqu'à ce que le
couteau se place dans le vertical du Soleil. L'ombre portée par le
couteau tombe alors sur la génératrice correspondant à la date
actuelle, et l'extrémitéde celte ombre indique l'heure au moyen des
courbes horaires.
Pour tracer ces courbes, on calcule de mois en mois les z cor-
respondant aux diverses heures du jour par la formule
cos-3 =: cosX coso -|- sin X sino cosyH,
(^ll'on obtient ensuite la graduation d'une génératrice par la
formule
longueur du couteau
lange
longueur de Tombre
'20 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE II.
Avant fait le même calcul pour les six généralrices d'une demi-an-
née, de mois en mois, on fail passer des courbes par les points
correspondant à chaque heure prise en particulier. Ce cadran
transportable ne peut servir que pour une colalitude déterminée.
Aujourd'hui les montres sont à vil prix; on trouve aux gares et
aux horloges publiques l'occasion de les régler fréquemment;
d'ailleurs l'heure solaire vraie que les cadrans fournissent a été
remplacée par l'heure solaire moyenne ; en sorte que l'art de con-
struire les cadrans est presque tombé en désuétude.
Projection gnomonique.
Disons ici (juelques mots d'un système de Cartes dont il a été
à peine question dans le premier Volume. Si Ton place le point de
vue au centre de la sphère et qu'on mette les détails de la surface
en perspective sur un plan langent en un lieu quelconque, c'est-à-
dire sur l'horizon de ce lieu, on aura une carte gnomonique où les
grands cercles de la sphère seront représentés par des droites. Par
exemple, les méridiens seront des droites di\ergeant du point de
rencontre de la ligne des pôles avec le plan du tableau; les paral-
lèles seront des sections coni<iues.
L'extrémité de l'ombre portée par un gnomon sur le plan
horizontal décrit, dans le cours d'une journée, lu trace d'un
cône ayant pour axe une parallèle à l'axe du inonde menée par le
bout du style. Les plans horaires menés par cet axe auront pour
traces des droites passant par son point de rencontre avec le plan
horizontal. L'ensemble de ces parallèles (ellipses ou hyperboles) et
de ces droites concourantes forme précisément le canoas d'une
projection gnomonique sur l'horizon du lieu (voir la jig, i5).
L'intérêt de ces Caries, dont les astronomes font quelquefois
usage, est dans leur propriété de représenter par des droites le>
arcs de grand cercle. M. E. de Beaumont, a\ant constaté qu'un
très grand nombre d'accidents géologiqut^s sont disposés sur
notre globe en arcs de grand cercle, formant certaines confi-
gurations géoinétri(|ues, a fail usage de celte projection. Mai>
comme on ne peut représenter ainsi sur un plan <|u'uiie portion
limitée de la sphère, [)our avoir une Mappemonde gnomonique
ASTRONOMIE SOLAIRE DES ANCIENS. 21
il faut projeter la sphère sur les faces d'un polyèdre circonscrit,
puis développer ce polyèdre, ce qui donne à la Mappemonde une
singulière discontinuitt^.
Mouvement du Soleil dans son orbite.
On a vu comment les plus anciens astronomes ont su détermi-
ner fort exactement la position de Técliptique et la durée de l'an-
née. Il restait à étudier le mouvement du Soleil sur l'écliptiquc,
mouvement qu'on supposait uniforme. Mais, comme cette recherche
étaitalors sans utilité pratique, ils ne s'en occupèrent pas. Les Grecs,
le seul peuple ancien qui ait étudié les Sciences pour elles-mêmes,
indépendamment de tout intérêt immédiat, ont donné cet indispen-
sable complément à l'Astronomie solaire. Au lieu de rapporter
ces mouvements à des coordonnées équatoriales, comme le faisaient
les Chinois, ce qui en compliquait singulièrement l'étude, ils
adoptèrent une coordonnée plus simple, à savoir Tare même de
récliptique compris entre le point y et la position actuelle du Soleil.
Si le mouvement du Soleil était réellement uniforme, comme on
l'avait cru de tout temps, sa théorie se réduirait à
L :=: Lo - H Ht,
L désignant la longitude à la date t, Lq la longitude à l'origine du
temps ty n la vitesse angulaire diurne donnée par
cît: 36o» ^
T 360,242217 ^
Il n'y a là qu'une inconnue L©, dite longitude de V époque. Sup-
posez qu'en une certaine année^ au i'** janvier, l'observation ait
donné
L--28o'»3o';
on posera Lo^= ao8**3o', et, à la condition de prendre le i*"" jan-
vier pour l'origine du temps, on aura la longitude, à une date
quelconque, par
L:^28o'»3o'-4-(59'8%3i)^
-Tk LfTBE rtCaiCB. — CHJIPITBC If.
\jis aâlronomes i^tpcs odI comparé cette théorie du mouTement
circulaire uni forme a\ec l'observa tîon. Voici cette comparaison
^^9\ïT le coor< d'une année :
JanTirr i 280.^ 280. 3o o. o
3i 3ii. 3 3io. i -- 0.59
Man 1 341.19 339.38 - 1.41
3i 11.9 9-'^ ~" ■ -^7
Avril 3o 40.29 38-47 -- 1-4^
Mai 3o 69.23 68.21 — I. 2
Juin 29 98. 2 97-^^ -- o. 7
Juillet 29 126.40 IÎ7.29 — o. î9
Aoûl 28 i55.3o 1S7. 3 — 1.33
^eplcmbrc 27 184.41 186.37 " "-^^
Octobre 27 21 1.21 216.11 — I . i3
.Novembre 26 214.39 2iS.i6 - 1. 7
Décembre 26 275.10 273.20 — o.io
l^s Grecs étaient parvenus, à l'époque d*Hipparque( i5o ans
avant J.-C.), à déterminer ces longitudes à | de degré près. Or les
écarts précédents dépassent notablement cette limile : de plus, ils
affectent une allure systématique. 11 fallait donc renoncer à Tbypo-
llièse du mouvement uniforme et cbercher la loi de ces écarts.
Prenons pour abscisse le temps ou, ce qui revient au même, la lon-
gitude calculée qui varie proportionnellement au temps, et les
Fig. 8.
écarts pour ordonnées. La courbe ainsi tracée est une sinusoïde
bien caractérisée. En relevant au compas les éléments de celle
courbe, on obtient pour la longitude observée l'expression
L =: 1^— nt - i«50'sin(Lo— nt - a8i«'J9').
(^omme celle loi se vérifiait cha(|ue année avec rexuctitude même
des obser>'ations de l'époque, on dul en admettre la réalité et s'in-
génier à lui trouver une explication géométrique.
ASTRONOMIE SOLAIRE DES ANCIENS.
23
Nous disons géométrique et non mécanique, car les anciens,
frappés de la perpétuité et de la régularité des mouvements cé-
lestes, étaient persuadés qu'ils étaient d'une tout autre nature que
les mouvements terrestres, lesquels ne tardent pas à s^épuiser. Ils en
concluaient que les astres étaient dirigés par des intelligences di-
vines. Or, à de tels êtres, on ne saurait attribuer des mouvements
imparfaits, c'est-à-dire autres que circulaires et uniformes ( ^ ). Hip-
parque parvint à tout concilier en supposant que la Terre ne se
trouve pas exactement au centre du cercle que le Soleil doit
parcourir d'un mouvement parfaitement uniforme.
Hypothèse de l'excentrique.
Soient
C le centre de l'orbite solaire ;
T la Terre ;
S le Soleil à la date t ;
Ty ou Cy la direction initiale (celle du point vernal) à partir de la-
quelle se comptent les longitudes, suivant qu'on les calcule pour
le centre de l'orbite ou pour la Terre.
La longitude du Soleil vu du centre C sera bien, à la date ^
yCS =i: Lo-f- nt\
(') « Quoniam, » dit Copernic iui-nu^me, « ab utroque abhorret intelieclus;
cssetque indigQum talc quiddam in illis existimari. » {De BevolutionibuSy etc.,
p. 3.)
aj LIVRE rtCaiER. — CBAriTRB II.
mais la longitude ^'ue de la Terre sera
7TS =: Lt — nt -*-p,
p étant un petit angle dépendant de rexcentrîcîté TC. Nommons
19 la longitude du ravon CTP sur lequel la Terre est placée^ a le
rayon CS, r le rayon vecteur variable TS, d Texcentricité TC. Les
formules de transformation des coordonnées pour le déplacement
d*originc de C en T donneront
rsiD/9=: </siD/7l.
r cosp ^=a — dcosm.
en appelant m Tangle PCS ^:= V^^ — ® = Lt -h nt — W| d'où, en
ri
posant e -- ~j
e sin m
tangi> — »
I — e cos M
r —
— t=z i I — 2crco>/#i - e^.
a
En développant en série, on pourra se borner au premier terme
parce que e est petit, et écrire
L -— L^— /!/ — e sin 171,
/•
- =r 1 — e cos l?l.
a
Dans le cas précédent, la valeur maximum de psin//i est de i^56'.
Telle est donc aussi la valeur de e. Si on Texprime en parties du
/•
rayon pour la faire figurer dans Fexpression de — « on devra écrire
1*56' 116 I , , ï r 1 j J
f'W '~^ V'ÎH ^^ ï^ * P^" près. Les iormules du mouvement du
Soleil seront donc
(i) L - L^r- /!/-*- 1*56' sin //i,
(-» ) - --: I — iVCOS/W.
A8TR0N0UIE SOLAIRE DES ANCIENS. >.^
Détermination de l'excentricité et de la longitude du périgée.
Le point P le plus voisin de la Terre porte le nom de périgée;
TC
le point A est Tapogée; le rapport pp est rcxcentricllé e. Ce sont
là deux nouveaux éléments introduits par la théorie de rexccntrique.
L'expression de la longitude dans cette hypothèse
L :rz Lo -+- /i^ -+- e sin (Lo -\- nt — m)
contient donc quatre constantes :
Lo, longitude moyenne à la date prise pour origine, cVst-à-dirc à
la date t — o{^)\
/i, moyen mouvement diurne, si t est exprimé en jours;
^, excentricité de l'orbite solaire;
T3T, longitude du périgée P.
Toutes ces longitudes se comptent à partir de Ty dans le sens
direct.
Nous avons déjà vu comment on détermine la durée T de la ré-
36o*
volution par rapport au point y. On en déduit n = -rrr-' H ne reste
donc plus à déterminer que les trois constantes Lq, e^ xa qui figurent
dans l'expression de la longitude du Soleil.
Cette théorie est au fond identique à celle que nous avons
exposée (t. I, p. 82), pour l'erreur d'excentricité dans les cercles
•divisés servant à la mesure des angles. En suivant les indications
de ce paragraphe, il est facile de voir qu'on éliminerait le terme en e
en prenant la moyenne de deux longitudes L, \J à deux dates /, l'
telles que n{t' — t)=^ 180". Cette moyenne est en effet
et elle fera connaître L©. On obtiendra m en cherchant dans une
série d'observations, s'étendant à l'année entière, deux longitudes
L et L-i-i8o®, dont les dates t et t' aient pour différence
Y T. La seule droite tirée par T, qui partage en parties égales l'or-
bite sur laquelle le Soleil est supposé se mouvoir d'un mouve-
ment uniforme, est en effet la droite PA. Alors l'une de ces deux
(•) La longitude Traie, à cette époque / = o, serait Lo-i- ^sin ( L, — n )
'Jt6 LIVRE PREMIER. ~ CHAPITRE 11.
longitudes sera celle du périgée, l'autre celle de l'apogée. Enfin les
observations faites vers l'époque où m, c'est-à-dire Lo-+-/i^ — weslpo*
ou 270**, seront très propres à faire connaître l'excentricité ex primét^
en arc.
Il est préférable de déterminer simultanément ces trois constantes,
en formant, avec un grand nombre de longitudes observées à des
époques quelconques t, t'y t"^ . . . , des équations de la forme
L — Lo -H nt -i a; co% nt -h y sin ntj
dans lesquelles
.r~esin(Lo — m), y- tfcos(Lo — w).
Après avoir résolu ces équations par la méthode des moindres
carrés, on déduira <? et Lq — rn des valeurs obtenues pour a: eij'.
Nous verrons une application de ce genre de calculs dans la
théorie du sextant.
ilipparque a trouvé, par un procédé quelconque,
T --. 365i,:2l67, w — 245«3o', e -- 2»a3' ^.
Les vraies valeurs à cette époque étaient
T. -365i,2423, ro--^. 246^25', e 2'»i',
Ce qui précède donne une idée fort exacte des habitudes de calcul
des astronomes. Pour représenter une variable qui ne procède pas
tout à fait proportionnellement au temps, ils la décomposent en
deux paris, Tune variant uniformément, l'autre généralement bien
moindre, mais périodique. Ainsi, pour égaler la partie uniforme
de la longitude, c'est-à-dire Lq -h "'> « la coordonnée réelle L, il
faut lui ajouter une petite quantité périodique e sin//i, qu*ils ap-
pellent éi/uation du centre; elle sVx|>rime en are, à la condition
convertir en arc le nombre abstrait e (en le multipliant par
iko6'i6y ou 3438'). Quand m ^ 90°, Téquation ducentre aUeinl
son maximum. C'est ainsi que i**5;V était et est encore désigné
sous le nom de plus grande équation du centre.
Les anciens voyai<'iit bien que, pour démontrer la réalité de leur
hypothèse, il ne suffisait pas d'établir que les longitudes observées
du Soleil étaient très approximativement représentées par la for-
ASTRONOMIE SOLAIRE DES ANCIENS. ^7
mule (*); il aurait fallu, en outre, qu'il en fût de même des ravons
vecteurs, c'est-à-dire que les variations de distance du Soleil à la
Terre répondissent à la formule (2), page 24. Mais, pour effectuer ce
contrôle, on aurait dû mesurer de jour en jour le diamètre apparent
du Soleil. On a, en effet, en représentant part le rayon du Soleil,
sin 1 A nz: - »
en sorte que les diamètres observés sont sensiblement réciproques
aux rayons vecteurs r; mais les anciens n'ont jamais pu effectuer
de telles mesures, qui exigent l'application des lunettes aux instru-
truments de mesure.
Le fait est que celte hypothèse de l'excentrique satisfait aux
longitudes du Soleil. Nous verrons bientôt que les anciens Tont
étendue à toutes les planètes et même à la Lune. Admettre cepen-
dant une excentricité quelconque dans l'orbite, c'était déroger
singulièrement à la règle qui ne permettait d'attribuer aux astres
que des mouvements parfaits. Pour répondre à ceux qui auraient
accepté difficilement ce défaut de centrage dans les mouvements
célestes, les Grecs faisaient remarquer que leur combinaison reve-
nait à faire circuler le Soleil uniformément et en seûs rétrograde
sur un petit cercle de rayon égal à TG, nommé épicycley tandis que
le centre de ce petit cercle parcourrait un cercle plus grand au-
tour de la Terre, dans le même temps, et en sens direct. L'épi-
cycloïde ainsi engendrée se réduit effectivement à un cercle avec
une excentricité égale au rayon de l'épicvcle (').
(') Faisons ici udc dislinctioa imporlantc. Les cpicycloïdes que nous avons con.
sidérées dans Tintroduction du tome I ont une autre génération. Le mobile se meut
sur l'épicycle avec une vitesse angulaire /?, mais ce cercle se transporte dans
l'espace sans tourner^ de manière que son centre parcourt le déférent avec la vi-
tesse angulaire /i', ces deux mouvements étant de même sens. Dans l'exposé ci-
dessus, nous avons adopté la définition des anciens. Ils supposaient Tépicycle fixé
matériellement à un rayon du déférent. Alors ce rayon, tournant avec la vitesse /i',
imprimait déjà à l'épicycle, sur lui-même, une rotation de même sens et de mcnic
vitesse. Mais le résultat sera le même si, comme le faisaient les anciens, on
inrprime au mobile, sur son épicycle, une vitesse angulaire égale non plus à /i,
mais à n — /i'. Dans le cas actuel, les anciens donnaient au Soleil une vitesse
— /i', égale et contraire par conséquent à celle du centre de son épicycle sur la
circonférence du déférent. Nous retrouverons cette distinction dans la théorie des
planètes.
98 LITRE PREMIER. — CHAPITRE III.
CHAPITRE m.
ÉTUDE DU MOUVEMENT ANNUEL DU SOLEIL
PAR LES MODERNES.
On observe chaque jour le Soleil à son passage au méridien, au
moven de la lunette méridienne et du cercle mural, absolument
comme une étoile ; seulement, comme il a un disque très considé-
rable, on n*observe que les bords. H étant Theure sidérale du pas-
sage du premier bord au méridien (moyenne des cinq iils) et H'
celle du passage du second bord, il est évident que
ii-^ir
.-Rcenli^e
Pendant que le centre passe au méridien, on mesure successive-
ment, au cercle mural, la distance zénithale du bord supérieur et
celle du Bord inférieur. Celles-ci étant dûment corrigées de laré-
Iraction, on a
d., «f»» ^« •»-*.*
isl. zfn. centre -. - —, o -^ a -:
2 'à
Diamètre apparent da Soleil.
Le demi-diamètre vertical se déduit immédiatement des mesures
précédentes; il est
■ - - •
Le demi -diamètre horizontal se déduit de la différence II' — H
ASTBONOMIE SOLAIRE DES MODERNES.
^9
des heures sidérales du passage de chaque bord par le méridien.
Soient PZ le méridien projeté sur Thorizon, S le centre du So-
Fig. 10.
Z
B -S
leily BS le rayon perpendiculaire au méridien, PS le cercle horaire
du point S; le triangle PSB, rectangle en B, donne
ou bien
SI 11 SB
— .— i^.- ou
sinF
sinjA
H— Il
=- sino
Slll
'A
i^
II'— H
• (S
Mais, pour réduire
n — H
en arc, on ne devra plus le multiplier
par i5, car le Soleil est animé d'un mouvement propre de sens con-
traire àccluiduciel; il ne décrit pas i5"en i* de temps sidéral, comme
les étoiles fixes, mais i5" — dJ^^ dJR. étant la petite variation de son
iR pour 1*. On devra donc multiplier le temps par i5 — OJ^
Il ^ j pour le réduire en arc.
ou la 1
Par exemple, le i**"^ janvier i88i , on a trouvé
, \V—U
'A
i"ii',oc);
la distance polaire était de 1 13"3'. Calculer le demi-diamètre ho-
rizontal qui résulte de cette observation.
3o LIVRE PREMIER. — CHAPITRE Ili.
Au i*'' ]din\ier y kmidiyla Connaissance des Temps donne i i%o3(* j
I 1 * 02 "C I *ï
pour la variation horaire de ^; à/R, est donc égal à — W~ ""»
f)A\ 3588.98
1 5 36oo
Iog7i*,o9 f,85i8i
logsino 9,96887 — 10
logi5' 1,17609
log3589 3,55497
C'Iog36oo 6,44370 — 10
',9904 i
lA = 978',a3 = i6'i8',5i3.
On trouve sensiblement le même nombre pour le diamètre ver-
tical, et, comme celte égalité se maintient toute Tannée, on en
conclut que le Soleil est spbérique.
Le demi-diamètre apparent est lié à la distance D du Soleil à la
Terre et au rayon v du Soleil par
sin } A r : - ou ^1 - '^06 '^65" =-;
il varie donc en raison inverse de la distance. Celle variation est
périodique. Fin juin on trouve A i^i^ 3 1 ' 28" ou 'ivt' — 32% (io dé-
cembre Sa'-r 32";par conséquent, la distance U varie elle-même
d'environ z!z ^*^, à peu près comme les nombres i — jtô ^^ * "^ ¥«•
Le Soleil est donc plus voisin de nous de jjjà peu près en hiver
qu'en élé.
Parallaxe du Soleil.
Les théories astronomiques se rapportent au centre de la Terre,
tandis que les observations se font en quelque point de la surface.
Pour passer dp l'un à Tautre il faut opérer ici une véritable trans-
formation de coordonnées par changement d\)rigine. Quand il
( ' ) La Connaissance des Temps donne i r,o5 pour i heure ilc temps muyen. Pour
I heure de temps sidéral ce sera ii%o5 a .^jr,. — -, — - ii',o3.
■^ 3o6.'i|3i
.iSTRONOXIE 80LAIRB DES MODERNES.
3i
s'agit d'observations méridiennes, le changement d'origine se fait,
de A, station de l'observateur, en C, centre de la Terre, sur la verti-
cale GAZ, dans le plan même du méridien. Ce déplacement affec-
tera donc la distance zénithale, mais il ne modifiera en rien l'heure
du passage au méridien, puisque ce dernier plan contient à la fois
ig. II.
la station A et le centre C de la Terre. C'est évidemment le cas in-
verse de celui qui a été traité à la page 5a. Désignons par :;i la
distance zénithale observée en A, par^ la distance zénithale corres-
pondante en C, par/? la différence ou la parallaxe de ces deux
directions; il faudra remplacer l'équation [(2) de la page 53 du
tome I par
D sin/? ru; p sine,,
D étant le rayon vecteur exprimé en mètres; on en conclut
p -—. 206265'' -■ sin-3,.
Si le Soleil était à l'horizon, on aurait Zs ^= 90** et la parallaxe
serait horizontale. En la désignant par tt, on aura
sinTUii::^ ou -ïl r^ 206 205" ir •
D
D
La parallaxe [horizontale du Soleil est ainsi l'angle sous lequel
on verrait, du Soleil, le demi-diamètre de la Terre. On trouvera
plus tard que tt = S'', 8i3. Par suite,
pz=^ 8'', 81 sine,.
On est donc en état de réduire au centre de la Terre la distance
Ji LIVRE PBEVIER. ~ CHAPITRE III.
Zénithale 2, observée en A, car
s, étunt ici la demi-somme des distances zénithales des deux Lords
supérieur et inférieur du Soleil, corrigées chacune de la réfraction.
Dès lors, chaque observation méridienne du Soleil fournira les
rh'ux coordonnées jR et 2 du centre de cet astre rapportées au
centre delà Terre, à savoir
M
11-^ |['
Nous avons considéré ici la Terre couune une sphère ; cela suilîl
pour le Soleil, à cause de sa très gnindc distance qui rend les cor-
rections de parallaxe fort petites. Nous tiendrons comptede l'apla-
tissement quand il s'agira d'astres plus voisins de nous, tels que la
Lune, Vénus et Mars;alors (^) désignera le rayon équatorîal dl-
la Terre exprimé en mclrcs.
GoordODDies éclipUques.
Puisque le Soleil se meut dans le plan de l'éclipliquc, il est na-
turel de le rapporter à un svstèmc de coordonnées avant pour axe
une normale à ce plan. Sur \a Ji(^. 12, I* est le pûle nord de l'é-
qualt-ur, li le pôlf voisin de l'éi
IVclipllquc sur l'Oquatcur (poin
ASTRONOMIE SOLAIRE DES MODERNES. 3'i
de la sphère céleste projetée sur le plan de la figure. Les coordon*
nées équatorîales de S seront
yPS=z/R,
PS u= a.
Les coordonnées écliptiques que nous voulons introduire seront
pareillement
^ESt^L, longitude,
ES 1= p, distance au pôle de Técliptique.
Les longitudes se comptent, comme les JR., de o^ à 36o^ dans h;
sens direct.
L'angle des axes de ces deux systèmes sera
arc PE =: 0), obliquité de récliplique.
Les formules de transformation s'obtiendraient en changeant,
dans celles du t. I, page 58, B, a^ A, b, c en L, ^, iîV, 8, oj, si les
angles dièdres L et JR, étaient comptés à partir du plan EP des
deux axes; mais, conformément aux usages établis parles Grecs,
on les compte à partir des plans perpendiculaires à PE, à savoir
Ey et Py, et cela parce qu'on a voulu prendre y pour origine des
JR et des L quand on remplace ces angles dièdres par des arcs de
l'ëquateur ou de l'écliptique qui leur servent de mesure. 11 faudra
donc mettre L — 90° et iîV — 90° à la place de B et de A. On a
ainsi
cos^rz: costocoso — sino) sin 0 sin ^^,
sin^sin L rzn sincocoso -i- costo sino sin^îî,
sin^cosL^i sinocos-^.
Pour la transformation inverse, il suffît de permuter les lettres
^ t, de remplacer (o par — co :
coso.^= coso) cosp -h sinto sin^ sinL,
sin 8 sin iR r= — sin lo cos p -f- cos co sin ^ sin L,
sinocosiR=^ sin ^ cos L.
Pour le Soleil qui se meut sur l'écliptique, [3 == 90". La première
II. 3
34 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE III.
relation devient
sin^ :— cottocolo;
les deux dernières donnent
lang.il -costolangL
et la quatrième se réduit à
coso - sinw sinL.
On trouverait directement ces trois dernières formules en consi-
dérant le triangle ySS', rectangle en S', dans lequel vS est la lon-
gitude du Soleil, yS' son ascension droite, SS' le complément
de sa distance polaire 6.
Détermination de l'obliquité cj.
Au solstice d'été, la distance polaire du Soleil atteint son mi-
nimum 90" — (o; elle ne varie pas, ce jour-là, d'une demi-seconde
en vingt-quatre heures. Par conséquent une observation méridienne
du Soleil, encore bien qu'elle ne soit pas faite, ce jour-là^ juste à
Tinstant du solstice, donnera pourtant tu avec une grande exacti-
tude.
Au solstice d'hiver, S -— 90** r <*) i la différence de ces deux dis-
tances polaires du Soleil, observées Tune vers le 21 juin, l'autre
v<Ts le 21 décembre, donnera donc le double de o). De plus, toute
erreur constante qui affecterait également les 0 ou les 5 (une erreur
sur la colatitude, par exemple) se trouverait éliminée, et n'aurait
aucune influence sur l'co conclu des observations faites aux deux
solstices à la fois.
(]ette remarque a son importance; presque tous les modes d'ob-
servation, la plupart des instruments, sont exposés à des erreurs
de cette nature. Tels sont surtout les instruments répétiteurs
(t. I, ]). 106). Nous venons de voir qu'il en est de même des gno-
mons qui donnaient, aux anciens observateurs, des z trop petits de
tout le demi-diamètre du Soleil, c'est-à-dire de 16', Cette erreur
disparaît dans la détermination de m,
11 est facile d'v faire concourir des observations voisines de Té-
ASTRONOMIE SOLAIRE DES MODERNES. 35
poque du solstice au moven de la formule
si n iî^ -- cot o) rot o ;
mais les JR du Soleil interviennent alors, et elles ne seront
exactement connues que lorsque nous aurons déterminé la position
du point y. Heureusement, près des solstices, VM du Soleil est
voisinedego^oude 270®; sin^Rvaricdonc alors fort peu, et une pelile
erreur sur cette coordonnée sera presque sans influence sur ci>.
Si Ton détermine ainsi (o pendant une suite d'années, on con-
state que cet élément n*est pas tout à fait constant. Il diminue peu
H peu à raison de 48'' par siècle, et présente en outre une petite
oscillation de zh 9'', fort lente en vérité puisque la période est
de 18 ^ ans. Cette dernière est un phénomène de nulation.
Détermination du point 7.
L'origine des JR étant inconnue, on en est réduit à régler la
pendule sidérale sur les passages au méridien de quelque brlle
étoile visible de jour et de nuit, de Procyon, par exemple, de sorle
qu'à cet instant la pendule marque o^'o'^o*. On n'observe ainsi
que des ascensions droites provisoires, comptées à partir du méri-
dien célesle de Procyon. Nous les désignerons par {M),
Si a représente l'ascension droite inconnue de Procyon (comptée
il partir du point y), au passage de Procyon la pendule sidérale de-
vrait manjuer aet non o**o"*o'. Ainsi, lorsque nous aurons déter-
miné une fois pour toutes celte inconnue a, il suffira de l'ajouter à
toutes les indications de la pendule pour avoir l'heure sidérale, ou
il toutes les (.R) provisoir(;s des astres observés pour en avoir h.'s
-fi. En d'autres termes,
JR (.f\) i a.
Or VM du Soleil peut s'obtenir, indépendamment de la lunette*
méridienne, de la pendule sidérale et de rinconnue a, par la simph»
mesure d'un 8 du Soleil, et cela au moyen de l'équation
( I ) slnM r- col co col 0,
'i6 LIVAE PREMIER. — CHAPITRE III.
dans laquelle co est désormais connu. Si donc, au moment où on
observe le passage du Soleil à la lunette méridienne pour en dé-
terminer y{M)f on mesure son 3 au cercle mural, on aura immé-
diatement a par
vij par suite, on aura les ascensions droites absolues de tous les
astres observés, en ajoutant cet a à leurs ascensions droites provi-
soires.
Le meilleur moyen de déterminer exactement celle importante
valeur de a c'est de choisir une époque de Tannée où une erreur
donnée sur o aitle moins d'influence surT^it conclue par (i). Celte
relation donne
(tA\ - cotto -.-..^ ;
îsin^o cos.-H
par conséquent Tépocjuc la plus favorable est celle des équinoxes.
Alors en effet sino - i , cos/R - .± i, et comme cot (o -- :i,3, une
erreur de i"sur o n'en produira qu'une de a", 3 ou deo^ijS sur a.
Remarquez que,sicelleerreureslpositiv«»à ré({uino\edepriii temps,
elle sera négative à réquinoxc (rautonine, à cause <lu eliangemenl
de signe de cos A\. 11 \ aui*a donc tout avantage à combiner des ob-
servations faites à deu\ écjuiiioxes oppo>(''s : la nio\eniie des valeurs
ainsi obtenues pour a sera exc^nple de toute errrur constante com-
mise sur les 0.
Ici encore on étendra les observations» au delà des époques le>
plus favorables, parce (pi'aux écpiinoxes /^/o \arie fort peu et que son
dénominateur diffère assez peu de sa valiMir maximum pendant un
mois entier.
Si Ton détermine ain>i <rannre en année la position du point "'
en le comparant, par rinterniédiaire du Soleil, à une même étoile
telle que IVocyon, on trouve ipu* a, as<*ension droite absolue de
Proevon, n'e^l pas invariable. VA\e îiugniente progressivement de
.V,'ji ou de 48'' par an. iVocvon étant une étoile lixe, il faut bien ad-
mettre que c'est le point y qui se déplace ainsi d'anné<» en année.
Nous verrons <'n effel, dans le chapitre delà |)récession, (pie la ligne
des pôles est animée d'un très lent mouvement conique autour de
Taxe de Téclipticpie, en vertu duquel la Iraee de Técpiateur mobile
surTécliplique fixe rétrograde de jo",2 [)ar an; mais nous n'en par-
ASTRONOMIE SOLAIRE DES MODERNES. 37
Ions ici que dans le but d'établir tout à Theure une distinction im-
portante entre la révolution du Soleil par rapport à un point fixe
tel que Procyon, et sa révolution par rapport au point mobile y.
Détermination simultanée de Tobliquité et du point vernal.
Le plan de l'écliptique n'est pas absolument fixe. La théorie des
perturbations planétaires permet d^en calculer les très lents dépla-
cements séculaires et de rapporter les coordonnées des astres à
Técliptique d'une certaine époque considérée comme fixe. Il reste
pourtant à examiner si, après avoir tenu compte de toutes les in-
fluences extérieures, le Soleil se meut dans le plan de cette éclip-
lique sans en dévier nulle part d'une manière sensible. Soient w'et
a' les données qui déterminent ce plan d'après les observations des
solstices et des équinoxes. Dans le cas où le Soleil s'en écarterait,
dans les positions intermédiaires, les petits écarts, vus de la Terre,
seront mesurés perpendiculairementà ce plan par le complément de
la coordonnée p. On les calculera donc par la formule
cos^-.sin (90° - - ?),
ou simplement 90® — ^3, c'est-à-dire par
cosw'cosS — sinco' sin 0 sin[(ifl) — a'].
Si la totalité de ces écarts était imputable à Terreur des éléments
adoptés iù' et a', ils auraient pour expression
— (sina)'cos8-i- cosa)'sin8 sin^){^h> -}-sinto'sin5 cos JR â%,
dco et ()a étant les corrections des éléments adoptés (o'eta'. En
comparant ces termes à ceux des formules précédentes de transfor-
mation, on voit que les équations de condition auront la forme
90® — 34- cosL(}tt) — sinii) sinLc^x ru- o.
On formerait un grand nombre d'équations de condition de ce
genre au moyen d'observations prises dans toutes les régions de
18 LITBE rBESICB. — CHtPITBE III.
Torbite solaire: en les traitant paria méthode de Legendre on ob-
tiendrait les valeurs les plus probables d<rs corrections dta et àx^
celles qui rédui««nt au minimum la somme des carrés des écarts
c'Stimés perpendiculairement au plan de l'êcliptique; puis, par
substitution dans ces équations mêmes, on aurait des résidus dont
Texamen |>ermettrait de décider la question. L'examen attentif de
ces résidus fpra voir que. sauf une légère oscillation mensuelle
d*nne seconde, de part et d'autre de Técliptique. dont la théorie de
la Lune nous donnera la raison et la loi, il n\ a que reflet ordi-
naire des erreurs fortuites d'observation. Et ici la méthode des
moindres carrés est pleinement applicable, les conclusions qu'on
en tire ont leur pleine |>ortée. parce que nous aurons tenu compte
de toutes les actions extérieures accessibles à la théorie et appré-
ciables par robser\'ation. Rien n'est donc mieux établi que cett<'
conclusion que nous formulerons dans le langage de la réalité :
l'orbite que la Terre décrit annuellement est plane et son plan
passe par le centre du Soleil. Nous avons du insister longuement
sur cette question, une des plus importantes et des plus délicate>
de TAstronomie.
Déterminatioii d'an éqitinoxe.
Supposons qu*on ait fait, à Paris, en i88a, les observations sui-
vantes du passage du Soleil au méridien :
ll««r« «Morale Difcrgf — DHiwce»
k ■ • • •
Mars 19... 23.5i.3'j yo.jsK.4 i.a ,, •
r o / ~ ^3.41,0
21... o. i,b'k 99.11.20.2 o / c ®»9
22... «». 6.3o ^J-^Z -^Sif'
23.4<».5
L'équinoxe aura eu lieu au moment où le o du Soleil a été juste
de 90^. \je 20 mars, il ne s'en fallait que de S'i^^S ou de 3oi*,8.
On obtiendra cet instant par interpolation. Comme les difl'érencen
secondes sont très petites, nous nous contenterons d'interpoler
par une simple règle de trois entre les observations du 20 et du ui.
L'intervalle est de i^3"38* ou de 86618*. Pendant ce temps
8 a varié de ^y/^i'^ô^ ou de i4ai',6. Cela donne 1' de variation
A8TB0N01IIE SOLAIRE DES MODERNES. S9
pour 60% 860 de temps écoulé. On aura donc pour 3oi",8,
SoiyS X 60% 86 = 5**6"*29* sidérales ou 5**5™49* de temps solaire
moyen. Or on verra plus tard que Tobservation du 20 a été faite à
o'*7™34' de temps moyen. En ajoutant Tintervalle ci-dessus, on a
S^ii'^ai* pour l'époque de Téquinoxe.
Avec quel degré d'exactitude peut-on compter sur ce résultat?
L'erreur probable d'une distance zénithale du Soleil observée au
méridien, par suite celle d'un 0 étant d'environ ±: 1", l'erreur pro-
bable de i'équinoxc sera de ±:6o%86 ou d'environ 1™. A l'époque
d'Hipparque ou de Ptoléniée, les observations relativement gros-
sières ne pouvaient donner la date d'un équinoxe qu'à quelques
heures près.
Année tropique.
Si l'on a déterminé, en deux années consécutives, les dates de
l'équinoxe de printemps, leur différence donnera la durée de la
révolution du Soleil par rapport au point y, c'est-à-dire la durée
de l'année tropique. L'erreur probable étant de 1™ pour chacune
decesdéterminations,celledeleurdilférenceserade i°*x ^2= i",4
ou de 84*' Du temps de Ptolémée, l'incertitude devait être de bien
près d'un quart de jour.
Il existe un moyen, analogue à la répétition, d'atténuer considé-
rablement l'erreur qui affecterait la durée de l'année tropique si
on la déterminait ainsi par deux équinoxes consécutifs : c'est de
comparer des équinoxes séparés par un grand nombre d'années.
En remontant aux observations de Lacaille et de Bradley, presque
aussi précises que les nôtres, on a i3o ans. L'erreur sera encore ici
de 84* sur cette durée totale, puisque les termes extrêiàes en sont
seuls affectés; mais pour en déduire la longueur de l'année il
faudra diviser cette durée totale par i3o; l'erreur, divisée aussi
par i3o, se réduira à o%6. On obtient encore mieux si l'on fait
intervenir dans ce calcul les équinoxes de deux groupes d'années.
Le tableau suivant montre avec quelle précision on a réussi, à di-
verses époques, à déterminer cet élément capital pour l'institution
du calendrier et pour toutes les sciences.
4o LITftE FftEaiKB. — CHAriTSK III.
I k ■ t
De temps immémorial en Chine 365.6. o. o
— i5o Hipparque 365.5.55. i4
- 880 Albalêgnias I arabe ; 363. 5. 46. 3o
i23o le roi Alphonse (de CastiUe > 365.5. 49. 16
160a Tycho Brahê 365.5.48.46
1758 Lacaille 365.5.48.49
i8a8 Bessel 365.5.48.48
i853 Han5en 365.5.48.46,1 5
i858 Le Verrier 365. 5. 48. 46,04s
Nous adopterons le dernier nombre, lequel donne 365^,24^217.
L^incertîtude ne porte que sur le dernier chiflre, et ne dépasse peut-
être pas une unité de cet ordre. Nous verrons plus loin qu'il a été
obtenu par un procédé bien préférable à celui que nous venons
d'indiquer
Jours solaires yrais et moyens.
On vient de voir que Tintervalle de deux retours consécutifs du
Soleil au méridien était, en mars, de si4^ 3"* 38* sidérales. Cette durée
n^est pas tout à fait constante, car, en répétant les mêmes obser\'ations
en décembre, on trouve 24''4'*27*. Elle varie un peu, entre ces lî-
mites-là, d'une année à Tautre. Mais ces petites variations,
fort importantes d'ailleurs, car elles tiennent en partie au défaut
d'uniformité du mouvement du Soleil dans son orbite, sont pério-
diques : elles se reproduisent chaque année. Elles n'en rendent pas
moins le jour solaire vrai impropre à la mesure exacte du temps. Il
v a donc lieu de le remplacer par un jour solaire nio\en. qui serait
la moyenne de tous les jours d'une même année. I^ durée exacte du
jour solaire moyen que nous prendrons pour unité sera donnée,
comme on Ta dit déjà, par la relation
3«»6,aiaai7 jours sidéraux - 365, xj 22 17 jours solaires moyens.
Par suite,
li sol. moy. - ai* 3" 56*, 555 de temps sidéral,
ij sidéral - 23*56* VyOgi de temps solaire moyen.
AinM, quand on a besoin d'introduire dans un calcul la durée de
ASTRONOMIB SOLAIRB DES MODERNES. 4l
la rotation de la Terre, exprimée avec Tunité courante, c'est-à-dire
en secondes de temps moj^en, il faut prendre 86 1 64% 091.
La durée de Tannée tropique n^est pas absolument constante.
Elle subit, par le fait des perturbations diverses, de petites fluctua-
tions dont Tamplitude varie entre les limites fort étroites de ±: 5o*.
Mais quand on détermine Tannée, comme nous venons de le dire,
par un laps de temps considérable, ces inégalités périodiques s^an-
nulent d^elles-mémes en passant plusieurs fois du positif au négatif;
la durée ainsi obtenue est donc exempte de ces irrégularités.
Cependant, comme le mouvement lentement rétrograde du
point Y est de la forme at + bt^^ b étant excessivement petit, mais
non pas nul, on ne peut pas le considérer comme absolument
uniforme. L'année tropique varie donc quelquepeu, dans la suite des
siècles. Nous verrons, au chapitre de la précession, qu'elle était, au
temps d'Hipparque, plus longue de 1 1" que de nos jours. La durée
du jour solaire moyen pris pour unité est constante, en supposant
du moins que la rotation lerreslre le soit elle-même.
Année sidérale.
Si Ton défalque, de Tannée tropique, Teffetdu petit mouvement
rétrograde du point y, on aura la durée véritable de la révolution
du Soleil; et comme c'est celle que Ton trouverait si Ton prenait une
étoile au lieu du point y pour origine des longitudes, on lui donne
le nom à! année stellaire ou sidérale y ce qui ne veut pas dire qu'elle
soit exprimée en jours sidéraux.
Un des plus importants caractères de noire s}'stème, c'est assuré-
ment la constance, Tinvariabilité absolue de la durée des révolu-
lions des planètes autour du Soleil ('). L'année sidérale, durée de
('; Cela ne veut pas dire que d'une année à l'autre il n'y ait pas de petites va-
riations dans cette durée. iMais ces variations sont purement périodiques et ne
contiennent dans leur expression aucun terme proportionnel au temps. Elles ne
vont donc pas en s'accumulant avec le temps; elles se compensent au bout d'un
nombre d'années restreint, en sorte que, si Ton déterminait cette durée par quelques
siècles d'observations faites il y a 5ooo ans, on trouverait exactement le même ré-
sultat qu'aujourd'hui. Autrement dit, l'année sidérale n'a pas d'inégalités séculaires,
mais de simples inégalités périodiques, qui alTectcnt aussi l'année tropique.
i'A LIVBE PBEUIER. — CHAPITRE III.
la révolution de la Terre, participe à cette invariabilité. Si Ton dé-
signe par p la vitesse diurne (rétrograde) du pointy, pir n la
vitesse (directe) du Soleil par rapport à ce point, n — p sera la
36o*
vitesse réelle de cet astre, et sera la durée de sa révolution
n-p
sidérale. On trouve ainsi, en faisant /> - - :t-
DO'' ,211
36.") . 2 |2
Hcvoluti(»n sidérale 565^2 •>f)36X.
Cette durée intentent dans la troisième loi de Kepler dont nou>
aurons à nous occuper au Livre II. Elle n*a aucun rapport avec les
saisons dont la période est Tannée tropique.
»•••<
LES DEUX PREMIÈRES LOIS DE KEPLER. 43
CHAPITRE IV.
LES DEUX PREMIÈRES LOIS DE KEPLER.
*—*
Étude du mouvement du Soleil dans son orbite.
Il est aisé, désormais, de transformer les coordonnéesifV du Soleil^
observées au méridien, en coordonnées écliptiquesL, et de comparer
les longitudes ainsi déterminées avec la théorie des anciens. On re-
connaît alors que leur formule, L = L© H-/i/ -+- 1 ° 36°sin (Lo -f- nt — m),
de la p. 24, basée sur Thypothèse de Texcentrique, s'accorde assez
bien avec Inobservation; mais il n'en est plus de même de la
seconde
r I ,_ , r I
— ^=1 — r-cos(Lo-f-ii^ -ro) ou - -^ I — Tr-C0S//l.
a 60 ^ a 60
Les passages du Soleil au méridien nous font connaître chaque
jour le diamètre apparent de cet astre et nous apprennent qu'il
varie, dans le cours de chaque année, entre les extrêmes
3i' 28" fin juin et 82' Sa" fin décembre.
La distance du Soleil à la Terre ou le rayon vecteur variant, à
très peu près, en raison inverse de ces diamètres apparents, les
rayons vecteurs restent compris entre les extrêmes
I ^!_ Pf I -4 . JL
' 60 *^' * ^ 60*
Cette variation de ^ n'est que la moitié de celle qu'exigerait la
théorie des anciens; celle-ci est donc fausse.
On concilierait tout, à ce qu'il semble, en écrivant
h— -ho -{- nt -\- 2e s'in m,
r
- —\ — ecos//?
a
44 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE IV.
et en faisant e = ^; mais alors la courbe décrite par le Soleil ne
serait plus un cercle : ce serait une sorte d'ovale, dans lequel la
Terre occuperait une position excentrique (').
Kepler, après une étude approfondie de ces discordances entre
la théorie ancienne et les meilleures observations de son temps,
celles du célèbre astronome danois Tvcho-Brahé, pensa que cette
courbe pourrait bien être une ellipse dont la Terre occuperaîl un
foyer. On aurait alors
r I — e'
a I -i- erosf
a étant le demi-grand axe (moyenne distance du Soleil à la Terre),
e Texcentricité, ç la longitude comptée à partir du périgée.
Les rayons extrêmes seraient encore i — e ei i -\- e, et, d'après
ce qui précède, e serait de '^^, L'angle v devant être nul lorsque le
rayon vecteur est i — e, cet angle serait L — tît, m désignant ici,
comme dans la théorie des anciens, la longitude du point de For-
bite le plus voisin de la Terre, c'est-à-dire du périgée.
Par cette seule supposition d'une orbite elliptique, Kepler rom-
pait hardiment avec les idées des Grecs, des Arabes, des Copcr-
niciens même, car tous étaient convaincus qu'un astre ne saurait
se mouvoir autrement que sur un cercle et d'un mouvement uni-
forme.
Mais cela ne suffisait pas; pour être en étal de vérifier cette
conjecluie, c'est-à-dire de suivre le Soleil sur celte ellipse et d'v
calculer son mouvement, il fallait encore une relation entre le
temps et l'une des coordonnées v ou /*. Cette relation, les an-
ciens la trouvaient dans l'hypothèse de l'uniformité; celle-ci
donnait immédiatement la longitude moxenne parLo-h/'^; ils
n'avaient plus qu'à déduire L de celte longitude moyenne par la
formuhî de l'excentrique. Kepler chercha donc dans le mouve-
ment elliptique quelque chose (runifornie, un élément qui variât
proportionnellement au temps. Ce n'était certes pas l'angle i*, car
aux deux époques où — ^ i - /' et . ^ i t- e, c'est-à-dire au pé-
(•) Ot cxix)S«; de la découvcrlo <h* la première loi de Kepler n'est que provisoire.
Nouh le rcrliricrons dans le livre II.
LES DEUX PREMIÈRES LOIS DE KEPLER. 4^
rigée et à Tapogée, Tobservalion donne :
Anfl« ptrconra
en un Jour.
Fin décembre 6i'> i4
Fin juin ^7', i8
Ce n^étaît pas non plus la vitesse linéaire, car, en la calculant
comme dans des cercles de rayons i — jô ^*^ ' + b^» ^" devrait
avoir
57,18 "" I — êV ^9'
ce qui est faux, car le premier rapport est i ,069; lesecondest i.o34.
Mais le simple aspect de ces deux nombres montre que le premier
est sensiblement le carré du second, car 0,069 est à peu près le
double de o,o34* S'il en était ainsi partout, r^à^* ou le double de
l'aire parcourue dans un très petit intervalle de temps (c'est ici un
jour) serait constant; autrement dit, les aires décrites danslVllipse
croitraientproportionnellement au temps. Voyons donc si cette con-
stance se vérifie ailleurs qu'aux deux bouts du grand axe. Nous pren-
di'ons pour cela les longitudes observées de jour en jour, et nous
formerons le Tableau de leurs variations pour un jour, d'un bout à
Taulrc de Tannée; puis nous mettrons en regard les rayons vecteurs
calculés par - --= > en faisant c -^ r^ cl i^ ^^h — w.
^ a I -r-6'COSt^ ""
AnKie parruiiru
Date*. en un jour. Ra}un v(>cl«ur. Aire décrite.
O f f
Janvier i i . i . 1 1 0,9833 0,00860
Mars 27. o.5g.27 0,9972 0,00860
Juin 20 0.57.14 1,0164 0,00860
Septembre 18 0.59. o 1,0012 0,00860
Octobre 18 0.59. jo 0,9916 0,00860
Novembre 18 i. o.|9 0,9862 0,00860
Ce calcul n'est pas tout à fait rigoureux, car nous avons traité
des aires elliptiques finies comme des secteurs circulaires; mais il
nnontre que dans le mouvement elliptique du Soleil on doit avoir
^C étant une constante qui exprime la surface décrite par le rayon
46 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE IV.
vecteur dans l'unité de temps. Sa valeur est évidemment
aire totale de l'ellipse T.à^\/i — e*
T ~ T '
ou, en introduisant Tantique notation -=- = ^h
{r^(fv - irt*y 1 - e^neit.
Telle est l'équation que Kepler a eue à intégrer à une époque où
le Calcul intégral n'existait pas.
Voici comment on le ferait aujourd'hui. De l'équation de IVUîpsc
on tire
, rrd — e^) rir
av - — . — - y
et comme
Miii-T^i, r' — I — - — -Il - — -\o^e^ — {a /• r,
Téquation différcnlielle se réduit à
a^ndt.
\ a^c- — {a — /•)*
i*our faire disparaître le radical ^ posons
d'où
/• f/r ( (t (te co< // ) ac >i n // du.
L'équation devient alors
(i ecosu)du ndty
ne sin// /i/.
dont l'intégrale e>t
la constante étant nulle si Ton compte le temps t à partir de Tépoquc
où le Soleil avait a — ac pour rayon vecteur (passage au pé-
rigée].
Kepler a obtenu cette intégrale géométriquement à Taidc des
propriétés drs coniques découvertes et démontrées par les géomèlr<»s
grecs.
LES DEUX PREMIBRES LOIS DE KEPLER.
47
Problème de Kepler.
A la date t, comptée du passage au périgée, troui^er les
coordonnées du Soleil.
On calcule d'abonl Faire ^a'^^ i ~ - e'^nt décrite par le rayon vec-
teur pendant le temps /, et le problème se trouve ramené à
celui-ci :
Étant donnée, dans U ellipse ci-jointe, Caire du secteur PTS,
en déduire C angle en T et le rayon TS.
Fig. i3.
Considérons Tellipse comme la projection d'un cercle décrit sur
le grand axe PA comme diamètre et ayant pour inclinaison sur le
plan de la figure un angle ç dont le cosinus = r- y/ 1 — e- ; puis
rabattons ce cercle sur le plan de la figure. En menant SS' perpen-
diculaire àPA, S' est le point du cercle dont la projection est S, cl
le secteur elliptique PTS, projection du secteur circulaire PÏS',
sera égal à PTS' y/i — e*-*. Or, en menant le rayon CS' et en nom-
mant u TanglePCS', on a
PTS' ^'^ PCS' - TCS' -:z, 1 a^ u --^{a^eûnu.
Donc le secteur elliptique PTS^=(^rt*/^ — \;a'^ e s\n u) \/ \ — e'^,
Egalant cette expression à la valeur déjà calculée de Taire, il
vient
(\à^u — |a'esinw)y/i — e^ — }«'v ' — ^*^^»
c'est-à-dire
u — e sin u r^ nt.
48 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE IV.
On en tire u, puis de u on déduit - par
r
-- ^= I — ecosi/,
a
et enfin de - on déduit v par Téquation de l'ellipse.
Ce dernier calcul se fera plus sûrement de la manière suivante.
Puisque
I — e'
on déduit de là
a i -\-e ces ('
e -+- cos (
=: I — ecosM,
cos u ^=z
I -h pcosr
Formez i — cosu, i -}- cosw, et divisez les deux expressions membre
il membre, il vient
I — c
tanj:*! // =1 tanc*ir,
«Toii Ton tirera v, La longitude s'en dédiiil par
L -= r H- Ts.
L'angle v porte le nom iïanonuiNe vraie.
L'angle u est Vanomalù* excentrique..
L'angle ni ^= ni est Wtnonialie moyenne ( ' ). Mais celle dernière
n'est pas représentée sur la figure par un angle. Son produit par
7i<i'^\ V — e'^ donne la surface du secteur a>ant r pour angle. Il
faut, à ce point de vue, exprimer n en parties du rayon, et, dans son
expression -7=-? remplacer o.t. par 6,a8... et non par 3^)0** ou
I Q^fiooo".
(^i<'sdeux premières lois de Kepler sont générales; elles doivent
rire énoncées ainsi :
i" Toute planète décrit autour du Soleil une ellipse dont ic
centre du Soleil occupe un foyer,
2" Dans cette ellipse les aires décrites par le rayon vecteur
croissent proportionnellement aux temps.
(') Si le lem|>» t est romploà partir de IVpoquc du passdge du Soleil au périgée;
autrenient il faudrait rrrirc m - I.# - nt - a.
LES DEUX PREMIERES LOIS DE KEPLER.
49
Elles ont été découvertes expérimentalement au commencement
du xvii*^ siècle; leur démonstration résulte de leur accord constant
avec les observations dans toute l'étendue du système solaire. Pour
le Soleil en particulier, elles représentent non seulement les lon-
gitudes observées, mais aussi les rayons vecteurs tels qu'ils résultent
des diamètres apparents. Il ne s'agit plus de pures hypothèses
comme l'excentrique des anciens : ce sont des lois de la nature.
Mais, pour Kepler, leur sens était purement géométrique; leur
interprétation mécanique, dont nous nous occuperons plus loin,
n'a été connue que bien des années après ce grand astronome.
Voici un exemple numérique : On demande les coordonnées
héliocentriques ^ et r de la comète de ^^ ans^ 9.00 jours après
son passage au périhélie.
Le demi-grand axe est 3,854, l'excentricité 0,549, '^ longitude
du périhélie 5o°49'? I21 durée de la révolution 7, 566 années.
Résolution de V équation
w — esina — m.
5-, 566 0,87887
6365,25 2,56260
«T hmî
»|2r 6,11261
*>Çn 2,67114
Voçîoo 2,60206
^Sw 5,27320
* 187670'
m = 5a» 8'
loK«-^ 9'7%57
u r-. 83»
M = 83»2l'
log 206265".. 5,.3i^'|3
logsini/.. .
y'99^75
9.997 'O
loge en sec. 5,o5|Oo
loge
5,o5^oo
5,05075
5,05^00
c- 113240"
5,o5iio
ou environ 3i»
Nombre. . .
112400'
*
I 1 2490
es\nu
3i«»i3'
3i»i5'
Valeur approchée
m
2" val. de a.
52. 8
52. 8
de a... 52»-i-3i'»r_ 83*
83.21
83.23
val.déûnit.
Calcul de r.
logcosc/ 9,o6i55
log^ 9 > 739^7
8,80113
Nombre o, 06326
r
a
Calcul de vit de i^.
log(i ' e)
log(i — e)
o, 1900J
0.65'|i8
0,53587
0,93674
iog£
9»97»^2
loga 0,58591
logr 0,55753
r 3, 610a
II.
^*^s^7^- 0,2679',
loglanglii. .. 9,94974
logtang^i' 0,21768
{^ 5847.5
V I I 7 . 35
o 5o.49
J^ 168. 2i
4
I
1
5o LIVRE PREMIER. — CHAPITRE IV.
Le calcul de u exige un tâtonnement. Le facteur e en secondes
étant de près de 3 1°, et l'angle m — e sîn w devant être peu éloigné
de 90", on prendra pour première valeur approchée 5a** -h 3 1** = 83".
Avec cette valeur on calcule e sin u ; la deuxième approximation est
m -\-eûi\Uy ou 52<»8'-i- 3i"i3' — 83"ai'.
Avec cette deuxième valeur bien plus approchée on recommence le
calcul et Ton obtient 83® 23'. Inutile d'aller plus loin, on retom-
berait sur le même résultat.
Il est aisé de se rendre compte de la rapide convergence de ces
approximations. En différentiant l'équation, on voit que
, dm
au r— ,
I — e ros//
ou à peu près du -- - dm si e cos;/ est très petit, comme c'est ici Ir
cas. Faire, dans le premier essai, //r-83", c'est attribuera m la \^''
leur 83° — Si'^iS'r-. 5i°47', au lieu de 52"8'. L'erreur dm éunl
de ai', il faut faire du^r^ ii' et essayer 83** -^21'.
Développement en série de la longitude et du rayon vecteur.
(^uand rexceniricité est petilo, comme elle Test réellement ilann
tontes les orbites planétaires, il est utile d'intégrer Téquation dif-
férentielle relative aux aires en série procédant suivant les puis-
sances croissante's de e, Heniplaçons /• par sa valeur dans celle
équation, eu écrivant L - - rj pour e et dL, pour ds^ :
(1) r/l. -.(1 — c') *[i Uf'cos(!.- BT) ^-t'»eos*(!. - nr)]/!^//.
Si l'on néglige Cy elle se réduit a d\j - - ndty dont l'intégrale est
L - Lo"i- ^^^ Lo désignant une constante arbitraire. C'est la for-
mule des premiers astronomes.
Pour la seconde approximation, portons cette valeur de L dans
(i), en tenant compte celte fois du terme en e :
r/L -[i -i- 2ecos(Lo — ni — w)] ndi,
LES DEUX PREMIÈRES LOIS DE KEPLER. 5l
dont rintégrale est
L =:: Lq-H «/ 4- ae sin(Lo-i- nt — m).
C'est la formule des astronomes grecs, sauf le facteur a. Portons
enfin cette deuxième valeur dans (i), développons (i — e^)' '^ et
effectuons les opérations en négligeant les ternies qui contien-
draient des puissances de ^supérieures à la deuxième. L*équation(i)
deviendra y en écrivant, pour abréger, -(^o -f- ^^^ — xs = m,
f/L r= [i -f- |e*-i- 2ecos(/w -\- 2esinm) -\- e* ces* (m -f- 2esïnm)]dm.
On peut y remplacer cos(2esinm) par i et sin(ae sinm) par
^esinm sans sortir des limites d'approximation ci-dessus (').
En outre, sin^m et cos^m devront être remplacés par ^ — ^ cos a//{
et ^ -7- ^cosam. On a ainsi
dL-—{i-\-2e cos m -h | e' ces 2 m ) dm ,
dont l'intégrale est
L =: Lo -i- /i/ 4- 2esinm h- f e* sin2//i.
Les calculs deviennent de plus en plus compliqués lorsqu'on tient
compte de e', puis de e*', .... On aurait ainsi
Lin Lo-f- w^ 4- Aisinm -i- As$iii2/72 - - AasinSm -h . . . ,
Voici les valeurs de ces coefficients :
e\* 29, / e^ '
2 ■
3 U
m
*•- 3o Va/ ■■■*
I03/£\»
6 [2
(») Car 3 e COS (aesin m), par exemple, est égal à 2c (i— }: 4«' sio' m -4- . . .); le
second terme du développement aurait donc pour facteur e*.
5!2 LIVftE PftEVIEft. — CHAPITBE 1T.
Sous cette forme, la longitude L du Soleil se compose de deux
parties, comme chez les anciens :
La Ion *!iiufle moyenne 1^ — /i/ croissant proportionnellement
au temps:
VS équation du centre A|sinm . . ., comprenant les termes pé-
riodiques.
En second li«'u, pour le dê>eloppement de - =i — <*cos//, u
étant donné |>ar u = m — e sinf/, nous appliquerons une méthode
due à Lagrange.
Soit, en général, à développer une fonction F(#/ ., a étant donné
en fonction de la variable indépendante m |>ar #/ =: m -r- cfi^u) ; on
aura
F 1 1/ ï ^^ F ^^ //i ^ — eV \ m \/\ m »
f/\ Fi ni • f^ ni I I <** //*| F* \ni^f\ m \\
#-*
I .»
(Ini \ ,'À.S iini'
Ici c'est co<#/ qu'il s'agit de dévelop|H^r: posons donc
F . m • -— cos m, V yni \^r — sin //i. f\ m \ -= sin m,
VdT conséquent.
. , . «* ^/>in'//i e' r/^ sin* /Il
co-^u — - t***<in — c *iii-/M — , i — -z — - —
1 . 2 dm \ ,1.6 am*
Or on sait que
2-iii'/?i— — co<2m —- I,
,//Mn» /Il
2- z =: — 3cos3/ll — OCOS/ll,
ttm
tP<in^m
lim-
f
2COS4/II — 3 CCS 3 /Il y
Par ces substitutions on obtiendra finalement
r e'
- — 1- B.cos/ii — B,cosa/ii — ...,
a 2
en posant
LE9 DEUX PREMIÈRES LOIS DE KEPLER. 53
u 3 « 4'^ -
B.-: iev
• •
»
B"— -e^—
I5i.2*
Correction des éléments de Torbite solaire.
Ces éléments sont connus depuis longtemps; la question se ré-
duit à déterminer les très petites corrections dont ils auraient besoin
pour représenter le mieux possible une longue suite d'obser-
vations récentes. Diflerentions l'expression précédente de la
longitude par rapport à /?, L©, e^ m, en remarquant que
/?ï = Lq-î- w^ — nj :
dLr=:z (i -h 2 6 cos/7i)(rfLo-f- td/i) -h 2 sîn mde — 2ecosmdm,
Nous considérerons rfL comme l'écart entre la longitude calculée
et la longitude observée, et, en désignant par d des variations très
petites dont les puissances supérieures sont négligeables, on écrira,
pour chaque observation comparée à la théorie, une équation de
condition de la forme
long. obs. — long. cale. = dL 1= ( i -f- 2 ^ ces ni){ ôLq -\- tdn)
-h 2esinnide — 2e cosmos.
L'excentricité étant très petite, toutes les observations auront à
peu près même valeur pour déterminer t^L©; quant à dn, il faut
employer les observations les plus distantes, celles où le coeffi-
cient t aura des valeurs très différentes; de est le mieux déterminé
lorsque m = 90" ou 270% dm quand m = a**ou 180®.
54 LlVftB PftEVIEft. — CHAPITftB IT.
Voici les délerminalions les plus récentes, celles de Le Verrier:
Époque : i'' janvier i85o, à midi, temps mojeD de Paris.
Lo - a8o* |6' 4 \\
w - 280*21' 2a',
e - 0,0167701,
n >9'8'.3ii3. . . d'où T — Î6>i, 2422 166.
Comme les données employées dans ces calculs sont comprises
entre 1760 et i858, n se trouve déterminé par un laps de temps de
plus d*un siècle et par près de 10 000 observations méridiennes
du Soleil. C*est de ce moven mouvement, et non de robser\*ation
de deux équinoxes, que Ton déduit Tannée tropique par la for-
36o»
mu
le T z_-
n
En comparant la valeur de ts en i85o avec celle qu'Hipparque
lui assignait 2000 ans auparavant, c*e$t-à-dire ^^i^Zo', on voit que
le périgée P de Torbite solaire n*est pas fixe; il a marché dans le
sens direct de i^^^Si'. La théorie de l'attraction et les obser\'ations
modernes montrent que ce mouvement est uniforme, et qu*il doit
être réduit pouraoooansà 33^56'. A ce compte la longitude du
périfrée doit être écrite ainsi, pour la date /,
m _ ^8o*2i 22' - 6i '.080 (/— 1800)
/ étant exprimé en années.
INSTITUTIO:<r DU TEMPS MOYEN. — TABLES DU SOLEIL. 5S
CHAPITRE V.
INSTITUTION DU TEMPS MOYEN. TABLES DU SOLEIL,
11 s'a^t de substituer au Soleil, dont les mouvements manquent
d*uniformitéy un soleil fictif qui s'en écarte le moins possible et dont
Tascension droite varie proportionnellement au temps. La rotation
du globe terrestre étant parfaitement uniforme, les passages suc-
cessifs au méridien d'un point pareil, débarrassé de toutes les pe-
tites inégalités de l'ascension droite du Soleil \Tai, s'opéreront à
des intervalles parfaitement égaux; ils constitueront donc une di-
vision régulière du temps différant fort peu de la division natu-
relle, mais inégale, que nous offre le Soleil vrai.
L'ascension droite du Soleil a pour expression
tangiR r- coso) tangL.
La différence JR, — L, développée en série par la formule de la
page 71 du tome I, sera
JR — L "- — tang^^wsinsL 4- Jtang^Jco sin4L — . . . .
C'est la réduction à l'équateur. D'autre part,
L i^ Lq -+- Ht H- A, sin m -h Aj sin 2 w 4- . . . ,
<*xpression dont les termes périodiques constituent, comme
nous venons de le voir, l'équation du centre; Lq + nt est la longi-
tude moyenne. Par conséquent ( ' ),
M =z longitude moyenne 4- équation du centre -f- réd. à Téquateur.
^^— ^ II— I ■■■■ ■ ■- ■ ■ ■ — — • — ■ - —I ■ a^^^.^»! ■ M
(') Pour compléter cette expression, il faudrait y joindre les très petits elTets
de la nutation et des perturbations dont nous faisons abstraction pour le moment.
Quant à la précession, elle est comprise dans la valeur de n.
56 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE T.
■
La longilude moyenne varie bien proporlîonnellement au temps^
mais non les deux autres parties : les jours solaires vrais ne sau-
raient donc être égaux et n'ont pu ser\'ir de mesure au temps qu'à
une époque où Ton sentait peu le prix de l'exactitude.
Mais, comme ces termes périodiques restent toujours compris
entre d'étroites limites, il n'y a qu'à les sacrifier, à réduire TA du
Soleil à la première partie, de beaucoupla plus considérable, L^ — w/,
pour avoir un mobile parfaitement propre à la mesure du temps.
Les termes périodiques élant tantôt positifs, tantôt négatifs el
repassant chaque année par les mêmes valeurs, la différence va-
riable entre le temps solaire vrai et le temps solaire fictif ou moyen
sera toujours très petite; elle s'annulera même quatre fois dans le
cours de chaque année.
D'après cela, le jour moyen sera l'intervalle constant de deux re-
tours consécutifs au méridien d'un Soleil ayant Lo -h nt pour
ascension droite, et les heures moyennes seront les angles horaire»
de ce Soleil fictif exprimés en temps, à raison de 24^ pour 36o*.
Ijà. correspondance entre le temps moyen, le temps vrai et le
temps sidéral résultera de ce que la pendule sidérale devra marquer :
\u passade méri<l. <hi St»Ieil moyen.. . . Lu - w'.
Au passage niêrid. du Soleil vrai L© - /i/ - - êq. centre - - réd. à l'cq.
De même, si nous prenons une pendule réglée sur le temps solaire
mo\en, elle devra mar<|uer :
Au passage môridion <lu Soleil mo\en.... o*'o"o%
Au pas>age méridien ilu Soleil vrai êq. du centre - - réd. à féquat.
La somme de ces deux termes est donc la différence des deux
heures, l'une vraie, l'autre moyenne. On la nomme équation du
temps, parce qu'elle représente la partie périodique qu'il faut
retrancher de l'heure moyenne pour l'égaler à l'heure vraie.
En voici les >aleurs, de 10 jours en 10 jours, pour 1882.
INSTITUTION DU TEMPS MOYEN. — TABLES DU SOLEIL. 5y
Dftie«. Éq. du temps. Data». Éq. du leibps.
m s
m ft
Janvier i
II
ai .
3i.
Février lo,
20
Mars
Avril
Mai
Juin
2.
12,
22.
] .
Il .
ai .
1
II
21 .
3]
10
70
3o.
3.53
8.ii
11.37
13.43
14.27
13.56
12.19
9.52
6.58
3.5i
I. I
1.22
3. 3
3.5o
3.39
2.36
0.53
1.14
3.20
Juillet
Août
Septembre
Octobre
Novembre
Décembre
10.
20.
3o.
9-
«9
^9-
8.
18.
28.
8.
18.
28.
7"
'7
27
«7
- 3.
32
6.
. 5
— I.
. 1 1
5.
17
3.
27
0.
17
- 2.
26
:- 5.
53
9-
22
12.
26
14.47
16.
■ 7
- 16.
II
- 14.
.52
12.
II
- 8.
"9
-'- 3.
.38
- I
.21
Ainsi la différence entre Theure vraie et l'heure moyenne ne
dépasse guère un quart d'heure et s'annule quatre fois l'an. Il n'y
a donc pas d'inconvénient appréciable, dans la vie civile, à substi-
tuer le temps moyen au temps vrai. Cette substitution a été faite,
en vertu d'une ordonnance royale, en 1820 (*).
La différence de durée du jour \Tai et du jour moyen est très
faible; c*est la variation de l'équation du temps d'un jour à l'autre.
Cette variation est à son maximum du 8 au 1 8 septembre ; elle va
à 3" 29" pour loJ ou 20% 9 par jour. A cette époque, le jour vrai est
plus long de 20% 9 que le jour moyen; il est plus court de 29^,9
du 17 au 27 décembre.
Cette différence entre le jour vrai variable et le jour moyen con-
stant se compose de termes périodiques dont la période est m, a/??,
3m et 2L, 4L, . . ., c'est-à-dire l'année, la moitié, le tiers, . . .
(') Autrefois, on réglait les montres ou les horloges publiques sur les indications
(le quelque cadran, et il fallait y retoucher fréquemment pour leur faire suivre la
marche irréguliére du Soleil vrai. Aujourd'hui, on les règle sur les passages méri-
diens du Soleil qui donnent le midi vrai, mais en tenant compte de l'équation du
temps, dont le Bureau des Longitudes publie chaque année la valeur pour chaque
jour de Tannée.
58 LIVBE PREMIER. — CHAPITRE V.
de l'année. Gomme la somme de ces termes, prise d'un bout à
l'autre de Tannée, est nulle, on peut dire que le jour moyen est
la moyenne des jours vrais de toute une année (*).
Nous avons vu qu'on appelle, en général, équation un terme
périodique à ajouter à une partie moyennCy c'est-à-dire propor-
tionnelle au temps, pour égaler cette partie moyenne à la quantité
observée ou vraie. Ainsi
-^O vraie r= J^Q moyenne 4- équation du temps.
Mais, quand il s'agit de l'heure, c'est l'inverse :
H vraie =i H moAenne — équation du temps.
C'est que ces heures, comme les angles horaires, se comptent en
sens inverse des ascensions droites. Ainsi l'on a, au même instant.
Or
donc
IIj. zn JI^ angle horaire du Soleil vrai,
II,„ -zi. JI,„ angle horaire du Soleil moyen.
if, = A\^ -h iRj, = M,„ 4- M,^^ ;
11^ =1 H,^ — [M^, — J^f„) --=1 U,„ — équation du temps.
Passage de l'heure moyenne à l'heure sidérale.
On demande l heure sidéra le le i ^ février \%ii à i8**45"*58*, i3,
temps moyen. On trouve dans la Connaissance des Temps, sous
le titre Temps sidéral à midi moveny l'A du 0 moyen à midi
de chaque jour. Par interpolation on en déduit la valeur pour
l'heure indiquée i4 février, et comme II, = M^ -f- iRm? il est aisé
d'obtenir l'heure sidérale.
Il m s
JRfn le 14 février à midi moyen ai. 37. 35, 43
Part. prop. pour i8''45™58', Table VII 3. 4,97
Mm à l'heure dite ai . {0.40,40
Mm 18. 45. 58, i3
Mm = H< 40. a6. 38, 53
Il en faudra relraiichcr >.{'', ce qui donne 16^ 26" 38*, 53.
(*) Les petites perturbations produites par les planètes exigeraient une légère
modification à cet énoncé.
INSTITUTION DU TEMPS MOYEN. ^ TABLES DU SOLEIL. Sq
Tracé d*ane méridienne de temps moyen sur an cadran.
Supposons d'abord que le cadran soit tracé sur un mur vertical,
perpendiculaire au méridien. Soient, en perspective {fig* i4)> A.C le
Fig. i4.
I
M
Si vie, AM la trace du méridien sur le mur. AM est la méridienne de
temps vrai, parce que l'ombre du style se projette sur cette droite
lorsque le Soleil passe au méridien, c'est-à-dire à midi vrai. Mais,
à midi moyen, l'ombre AO du style AC se projettera un peu à droite
ou à gauche de AM suivant la valeur de Téquation du temps à la
date considérée. La courbe qu'il s'agit de construire est le lieu de
l'extrémité C de l' ombre du style à midimoyen, d'un bout à l'autre
de l'année.
Rapportons cette courbe à un système de coordonnées polaires p
et to, p étant la longueur AC de l'ombre à midi moyen le jour ou
plutôt les deux jours où la distance polaire du Soleil est S; et co
l'angle de l'ombre AC avec la ligne AM. Si l'on considère, pour un
jour donné, le trièdre rectangle ayant pour arêtes AC, AM, AC,
ou le triangle sphérique CBD, dans lequel l'angle dièdre C est
l'équation du temps E au jour dit, on aura BC == X, BD = w,
CD = a', et par conséquent
tangbi = sinX tangE,
tangX' =z: tangX sécE.
Soient CS le rayon solaire qui passe par l'extrémité du style, 8Ia dis-
lance polaire ACS du Soleil au jour dit, s la longueur AC du style :
on aura ACC = o — V, et
sinS
^ sin(o — A)
6o
LIVRE PREMIER. — CHAPITRE V.
Il sera facile de calculer ainsi les coordonnées p et cj pour un cer-
tain nombre do jours. On trouvera une courbe en 8 qui cou-
pera la méridienne de temps vrai en quatre points. Lorsque la pointe
du gnomon portera l'extrémité de son ombre sur cette courbe, ce
sera Tinstant du midi moven.
Si le cadran est déclinant, il faudra substituer, aux équations
précédentes d'un triangle sphérique rectangle, celles d'un triangle
quelconque, Tangle dièdre B n'étant plus droit, mais égal à l'azimut
du mur. hajîg. 1 5 représente en partie un cadran du premier genre.
Fig. i5.
<ur lequel on a marqué, comme] sur une carte guomonique, l«>
i-iiurbe des ombres portées au même jour, à certaines dates, par Ir*
bout du style.
Première idée des Tables du Soleil.
I^s astronomes et les marins ont à chaque instant besoin de
connaître le> coordonnées écliptiques ou équatoriales L, R, ^il.o
ilu Soleil et Téquation du temps. Ils n*ont pas le temps de recourir
à la théorie, el d'e\écut«*r eux-mêmes ces longs calculs : il faut les
INSTITUTION DU TEMPS MOYEN. — TABLES DU SOLEIL. 6r
leur présenter tout faits, sous forme d'éphéméride contenant ces
coordonnées calculées d'avance de jour en jour, à une heure
déterminée, de manière à n'avoir plus à faire qu'une interpolation
simple pour obtenir ces mêmes coordonnées à une date et à une
heure quelconques. Le Bureau des Longitudes publie ces éphémé-
rides deux ou trois années d'avance dans la Connaissance des
Temps, pour midi, temps moyen de Paris. L'Amirauté anglaise en
publie de pareilles pour midi, temps moyen de Greenwich.
Afin de faciliter le calcul de ces éphémérides, les astronomes
construisent pour chaque astre des Tables servant aussi bien pour
le passé que pour l'avenir. Nous allons en donner une idée en né-
gligeant actuellement les petites corrections dues aux perturba-
tions.
Dans l'équation du centre
Al sinm -h A]Sin2m -4- . . . ,
on forme les coefficients A,, Aj, ... par les formules de la
page 3i, et avec l'excentricité
e^^ 0,01677;
puis on calcule cette équation elle-même pour différentes valeurs
équidistantes de m. On construit ainsi les deux premières co-
lonnes de la Table L
Disons ici, pour éviter toute méprise, qu'on désigne liabituel-
lement le rayon vecteur du Soleil par R et non par r. Quand on
applique les formules précédentes aux planètes ou aux comètes,
la longitude dans Vorbite est représentée par ^et non par L,
symbole affecté aux longitudes écliptiques.
62
LIVRE PREMIER. — CHAPITRE V.
TABLE I.
TABLE
IL
£OCJkT10!l DU CE!fTRB E ET RATON
ASCENSION DROITE A ST DISTANCE
VEC1KCR B.
POLAIRE
S.
M
<
Équation
do centre.
U.
e
1*
c
G
iJ
A.
90-- 0.
•
B ;
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A
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0
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36o
0
0. 0(-T- ri**)
-hO. 0 —
180
'}
O.IO
0,9833
355
5
0.18
1.59
i85
lO
o.ao
0,9835
35o
10
0.37
3.58
190
1 >
o.3o
0,9838
^•5
0.55
5.54
195
ao
0. je
0,98 Î3
340
no
1 14
7.5o
200
U)
o.5o
0,9849
335
25
1.33
9-4i
2o5
3<)
5.59
0,9855
33o
3o
1.52
II. 28
210 •
35
1- 7
0,980 i
3i)
35
2.11
|3.I2
2l5
'»o
1 . 1 >
o,î)«73
3'io
40
2.3o
14. 5o
220
4»
i.a3
0,9883
3i5
45
2.5o
16.21
225
5(»
1 .3o
0,988 i
3io
5o
3.10
17.45
23o
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21.58
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4.55
22.37
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23. 5
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1
—0. o-^
1
3tk>
L»»rM|Uo l'^iriîumcnt m ou L o>l pri> d^n* U colonne dr dn»ile. il faut appli-
t|u<*r Ji K ou Ji %|it*— 6 W ^içne de drx»ite. V}u«nd rarçurnent L e^t pris a droite,
il ûut aij»»uler 13^ à r.K obtenue.
INSTITUTION DU TEMPS MOYEN. — TABLES DU SOLEIL. 63
On opère de même pour le rayon vecteur, dont l'expression est
e»
R =:= I H Bi cos m — B, cos 2 /n — ....
2
L'argument de cette Table est m. Nous l'avons fait varier de
a" en 5** seulement, pour abréger.
La Table II donne A et 90° — 0. La première s'obtient par
le calcul de la réduction à l'équateur
— tang^^cusinaL -f-^tang*^iosin4L — . . ..
Quant à 5, on le tire de la formule trigonométrique
coso = sinw siiiL.
Ainsi l'argument de la seconde Table est L.
Formation de l'argument m pour une date donnée t, La for-
mule
m —.\,^-\- nt — T!T
se compose de deux termes
Lo 4- nt =: 28o<»46',7 h- 5cy, i385 (/ — i85o) ( ^ ),
où / — i85o représente un nombre de jours, et
Ts r=i 28o°2i' 4- i',oi8(": — i85o),
DUT — i85o est exprimé en années. La seule précaution à prendre,
c'est de tenir compte des bissextiles quand on transforme les
années en jours, et de retrancher de ce nombre de jours le plus
grand multiple de T = 365i,2422 qui y soit contenu, car, dans le
calcul de la longitude moyenne, on n'a pas à tenir compte d'un
nombre entier de circonférences. Voici du reste un exemple.
Calculer les coordonnées du Soleil pour le 1 1 mai 1882 à midi,
lemps moyen de Paris.
]85o
(il y a ^ou 8 bissextiles) 32"-M3oi = 32 x 365JH- 8J-~ i3o'
(«) n =z Sg'S'jSiiS = 69', i385.
64 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE V.
Retranchons 32 révolutions entières ou (365 -}- 0,2^^2)^2, nous
aurons pour reste
t — i85o = i3oJ,25, en néî;[ligeanl un multiple de T ;
puis on aura
nt = 59 ,i38 X 1 3(^,25 - 7702',8 =-- i28".T2',8
U~^-nt^- \og^ 9'»5= i9"9'i5
w = 280*21'-+- i',oi8 X 32,36 ::= 280.53
argument m — 128
Avec cette valeur de m, la Table I donne
Équation du centre i* 29', 4
d'où
L ^ 5o" 39'
La nii^me Table donne
R — ijOioS
\vec Targument L, la Table II donne
M- 3" 12™, 7
0 ^ 72*» 5'
Éq. du temps = 49*9', 'j — S'-ri"», 7 = 3*'i6™,6 — 3''i2™, 7 - - - 3"',9.
Mais ce n'est là qu'une première approximation représentant le
lieu du Soleil calculé, à la minute ronde, dans son orbite ellip-
tique, non troublée par les perturbations. En calculant avec plus de
rigueur, et en tenant compte de ces petites mais indispensables
corrections, on aurait trouvé, pour le 1 1 mai 1882,
L ■-■ 5o«38'38',4,
R -- 1,0106290,
M -^ 3»^ 12'» 48', 93,
8 -72*» 4' 35', 7,
Équation du temps — — 3"48'f I4.
Coordonnées rectilignes du Soleil.
On a besoin souvent des coordonnées du Soleil rapportées à
trois axes rectangulaires. Prenons le plan de l'écliptique pour le
INSTITUTION DU TEMPS MOYEN. — TABLES DU SOLEIL. 56
plan des xy^ dirigeons l'axe des x vers le point y» celui desjK vers
le point situé à 90° de là, dans le sens direct, et Taxe des -3 perpen-
diculairement à l'écliptique, vers le nord; nous aurons, en dési-
gnant par R et O les coordonnées polaires du Soleil,
5 3= o,
x^=. RcosO»
y == RsinO»
Quant aux variations dx^ dy que subissent les coordonnées en
fonction du temps, il faut partir des diflférentielles
dx = dR cos O — R sin O ^O»
dy=zdR sin O -H R cosQ^O.
Les lois du mouvement elliptique donneron t dK et dQ en fonction de
dt. On a en effet, par la loi des aires, en désignant par aie demi-
axe de l'ellipse solaire ou la moyenne des valeurs extrêmes de R,
li^dç = Cdt = na*^i — ehll,
et par 0= ^ 4- w>
dQ z=i dv.
Par conséquent
L'équation de l'ellipse
I 4- e cos ç
donne
, ail — e^) ^
d'où
^n — ^s'"^' / an
~~ ad — eM '^^ V * — e^dt=z e sin vdt,
^ ' ^i — e^
Portons ces valeur, dans l'expression de dx :
dx an
e sin (^ cos
Q-RsinQ^Vj-^^,
dt y/i — e* R»
En remplaçant R par sa valeur, il vient
dx an
de J
I — e
i
[e sin (^ cos 3 — (i-hecosi')sinO],
66 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE V.
el comme G — v = xay
de même.
djc an / . ^^ . .
-77 = T ^ (sinO-H ^ smw) ;
ai y/ 1 — gt
dy an
-^ = -T- (cosQ 4- e cosm).
ut ^/ I ^î
Coordonnées héliocentriqnes de la Terre.
La longitude ô de la Terre, vue du Soleil, diffère de 180® de la
longitude © du Soleil vu de la Terre. Il suffit donc d'ajouter ± i8o*
à celle dernière pour avoir celle de la Terre, ou de changer le
signe des coordonnées rectilignes du Soleil dont nous venons de
donner l'expression. Ainsi les coordonnées héliocentriques Ç el 7,
de la Terre seront
Ç = R ces ô = — R cos O,
T, =: R sin ô = — R sin ©.
De même, pour passer des éléments de l'orbite apparente do
Soleil à ceux de Torbite réelle que la Terre décrit autour de cel
astre, il faut ajouter ± 180® aux longitudes géocentriques L« elo.
On a ainsi
Lo^ 100- 46' 44 ). ...
\ héliocentriques,
ro -: 100^21' 22 )
les autres éléments restant les mêmes.
Si on veut représenter Torbite terrestre par une Ggure, on adop-
tera une disposition inverse de celle Acs fig. 9 et i3. On mettra S
au foyer au lieu de T, T au lieu de S, el, laissant Sv comme
origine des longitudes, on devra intervertir les lettres P cl A.
Mais, comme les éphémérides donnent © et non Ô , les astro-
nomes ont riiabitude d\ adapter toutes leurs formules.
LES PLANÈTES. 67
LIVRE II.
LES PLANÈTES
• mm>
Ce Livre comprend Tétude géométrique des planètes et des
satellites. Il s'arrête à la découverte de la troisième loi de Kepler,
qui a si heureusement complété la théorie du mouvement elliptique.
On s'est efforcé d'y donner une idée nette du système des anciens,
delà révolution que Copernic a opérée dans la Science par l'adop-
tion des belles idées pythagoriciennes, et surtout de la part qui
revient à Kepler dans les conceptions modernes. Ce Livre est donc,
comme le précédent, consacré à la Géométrie céleste de Ptolémée,
de Copernic et de Kepler; le Livre suivant le sera à la Méca-
nique céleste de Newton.
C8 LIVRE II. — CHAPITRE VI.
CHAPITUE VI.
MOUVEMENT DES PLANÈTES AUTOUR DU SOLEIL.
Nous avons vu, dans l'introduction au Tome I, que les pla-
nètes se meuvent, comme la Terre, autour du Soleil dans des
orbites peu excentriques, presque circulaires, dont les plans n^onl
qu'une inclinaison très faible sur Técliptique. En outre, les inter-
valles qui séparent ces orbites Tune de l'autre sont considérables.
Ce sont là des circonstances qui se prêtent merveilleusement à
l'emploi d'une méthode d'approximation successive, en négligeant
d'abord les excentricités et les inclinaisons pour déterminer d'autres
éléments plus caractérisés.
Si nous étions placés sur le Soleil autour duquel les planètes
circulent, l'étude de leurs mouvements ne différerait en rien de
celle de l'orbite apparente du Soleil, et l'on y emploie elFectixemenl
les mêmes formules pour exprimer la longitude et le rayon vec-
teur en fonction du temps, dans le plan de l'orbite. Mais l'ob-
servateur étant placé sur la Terre, pour passer des coordonnées L,
et p^ qu'il y observe aux coordonnées liéliocen triques L et ^3, ou
réciprocpiement, il faut effectuer une transformation de coordon-
nées par cliangement d'origine, ou opérer une réduction au centre
de la station, comme on dit en Géodésie, c'esl-à-dire résoudre uik
triangle STV {Jiff. i6) dont le Soleil, la Terre et la |)lanèle considén'e
forment les sommets, et dans lequel on ne connaît a priori qu
deux éléments, à savoir le rayon vecteur ST = R de la Terre, donn
par les Tables du Soleil pour l'instant de l'observation, et Tangle e
T, compris entre le Soleil et la planète.
Cet angle, on peut toujours le déterminer, car, en désignant pa
L, la longitude géocentri([ue vTP de la planète et par O la longi
MOUVEMENT DES PLANETES AUTOUR DU SOLEIL. 69
tude yTS du Soleil, on a T = Q — L,* Alors la réduction P au
centre de la station sera donnée par
sinP = sin(L^ — L)=: — sin(0 — L,),
L étant la longitude héliocentrique ySP de la planète. L'angle P
porte le nom àe parallaxe annuelle.
Ces deux données R et T ne suffisent pas pour résoudre ce
Fî(j. 16.
/
/
/ //— r; V -- ..." ^
\
/
\
/
/
triangle et obtenir les longitudes héliocentriques. Il y a donc là un
cercle vicieux; on en est sorti par la remarque suivante.
Oppositions et conjonctions.
Les vitesses angulaires des planètes étant en raison inverse de
leurs distances au Soleil, il arrivera de temps en temps, comme pour
les aiguilles d'une montre, que les deux mobiles T et P, circulant
autour de S, se trouveront en ligne droite avec ce dernier, c'est-
à-dire en conjonction ou en opposition avec le Soleil. Dans l'un et
l'autre cas, la réduction au centre de la station est o ou i8c®, et
l'observateur terrestre obtient immédiatement la longitude hélio-
centrique de la planète, comme s'il était placé sur le Soleil.
Ily a lieu de distinguer ici entre les planètes intérieures à l'orbite
terrestre et les planètes extérieures. La planète extérieure Mars, dont
l'orbite est tracée sur la Jiff, 17, est en opposition en M et en
conjonction en M', tandis que la planète intérieure Vénus, qui
ne peut être vue en opposition, présente deux sortes de conjonc-
tions, interne en V, externe en V.
LIVRE II. — CHAPITRE VI.
Le rayon STM est évidemment Taxe de Thémisphère céleste qui,
pour l'observateur terrestre, est actuellement plongé dans ht nuit;
c'est donc vers minuit, à peu près, qu'une planète passe au méri-
dien de Tobservateurlorsqu'elleesten opposition. Réciproquement,
si la planète avait des habitants, ils verraient à ce moment la Terre
se projeter comme un point noir sur le disque du Soleil.
C'est aussi là le phénomène que les planètes intérieures nous
présenteraient à chacune de leurs conjonctions internes, si leurs
orbites étaient réellement couchées sur le plan de l'écliptique,
comme nous l'avons supposé jusqu'ici.
Quand on tient compte de leur inclinaison, il faut une défini-
tion plus générale des aspects dont nous venons de parler. Une
planète est en opposition ou en conjonction lorsqu'elle se trouve,
avec le Soleil et la Terre, dans un même plan perpendiculaire à
celui de l'écliptique. Sa longitude héliocentrique est alors égale à
celle de la Terre (opposition, conjonction interne), ou à cette
même longitude augmentée de i8o" (conjonction externe).
Les planètes extérieui^es ont un trop faible éclat pour être visibles
près du Soleil, même avec les plus puissantes lunettes. Il ne faut
donc compter que sur leurs oppositions, mais celles-là suffisent. En
effet, les vitesses angulaires des différentes planètes étant, de fait,
incommensurables entre elles, leurs oppositions se répartissent assez
régulièrement sur toute l'orbite, en sorte qu'en suivant ainsi une
planète, d'opposition en opposition, on obtient une série de lon-
gitudes héliocentriques parfaitement disposées pour l'étude de ses
mouvements.
MOI^yEMENT DES PLANETES AUTOUR OU SOLEIL. 71
Voici des observations méridiennes de Jupiter supposées faites
vers l'opposition de 1882, à Paris :
M. «•
h m s o f if
Décembre 16 5.44.55,33 66.57.33,3
'7 44.19,94 37,6
18 43.44,56 4^,4
On en déduit les coordonnées écliptiques L,, p, et[^on place en re-
gard les valeurs correspondantes de O — 180**.
Temps moyen. L^. p,. O — i8o«.
• hms o , „ 0,9 o , „
Décembre 16.. .. 12. 2.52 86.3i.4i,8 90.21.58,6 84.59.58,0
17 11.58.21 23.33,7 5o,2 86. o.5i,8
18 ii.53.5o i5.25,4 4i,7 87» i'45,7
Une simple interpolation montre que le phénomène
L, = G— 180*
a eu lieu le 17, à 19*^50" 19*. Par conséquent, décembre 17, à
i9**5o™i9*, opposition de Jupiter :
Longitude hélioc. L = 86*» 20' 53^6.
Quant à la distance au pôle E, on trouve au même instant
P, = 9o<»2i'47%4.
Nous verrons plus loin comment on obtient la valeur correspon-
dante de p, c'est-à-dire de l'autre coordonnée héliocentrique.
On vient de voir, par ces observations, que Jupiter en opposi-
tion était animé, pour nous, d'un mouvement rétrograde de 8' 10''
par jour. Si on avait pu l'observer, cette année, à l'époque de la
conjonction, vers le 3o mai, on aurait constaté que son mouve-
ment apparent était alors direct et de i4'o" par jour (*).
Révolutions synodiques.
Il importe donc de connaître d'avance les périodes qui ramènent
les oppositions des planètes extérieures ou les conjonctions in-
(') Du 10 mars au 17 août, Jupiter, noyé dans la lumière du jour, a été inobser-
Table.
72 LIVRE II. — CHAPITRE VI.
ternes des planètes intérieures. T et T' étant les durées en jours
des révolutions de la planète et de la Terre, n et n' leurs movcDS
mouvements diurnes, si on néglige les excentricités des deux
orbites, les mouvements de la planète et du Soleil seront uniformes
et leur vitesse relative constante sera //' — n. L'intervalle d'une oppo-
35qo tt'
sition à l'autre sera donc ^7——=:=— -=7. C'est la durée de la révo-
lution synodique de la planète. On a calculé ainsi les nombres du
tableau suivant :
Koms RéTolntlons
et symbole*. syoodlqaes.
7 Mercure 1 1 5 , 8775
9 Vénus 583, 9214
o* Mars 779,9365
2r Jupiter 398,8006
ï) Saturne 378,0921
Mais, à cause des excentricités, ces périodes ne peuvent être con-
sidérées que comme des valeurs moyennes autour desquelles les
vraies périodes oscillent.
Révolutions sidérales.
Néanmoins ces périodes moyennes avaient autrefois une gr?.nde
importance; on les observait directement et on en déduisait immé
diatemcnt la durée T de la révolution de chaque planète. Pour
les obtenir, on comparait deux oppositions de dates très éloignées,
dans lesquelles la planète était revenue à peu près à la même
longitude, en sorte qu'elle avait fait dans l'intervalle plusieurs fois
le tour du ciel. Ces deux dates comprenant un nombre entier de
révolutions synodiqucs, affectées de petites inégalités, tantôt en
plus, tantôt en moins, il suffisait de diviser l'intervalle par
ce nombre entier pour avoir, avec une grande précision, la révo-
lution synodique moyenne, par suite n et T. C'est ainsi que ces
éléments ont été connus des anciens avec une très grande exac-
titude. Aujourd'hui on y pourrait employer 2000 ans d'obser\'a-'
lions.
Toutes ces révolutions se nomment tropiques et se rapportenC-
au |)oint vernal y» origine des longitudes. Ce point n'est pas abso-'
MOUVEMENT DES PLANÈTES AUTOUR DU SOLEIL. 78
liiment fixe; il rétrograde sur récliptique de do" par an (préces-
sion). Les durées obtenues comme nous venons de le dire ne me-
surent donc pas les révolutions véritables, celles qu'on trouverait
en rapportant les longitudes à un point réellement fixe, à une
étoile par exemple. De là le nom de révolution sidérale qu'on
applique à ces dernières (*). Voici le tableau de ces durées pour
les anciennes planètes, toutes exprimées en jours solaires moyens
ou en années.
RÉVOLUTIONS SIDÉRALES
eo Joars solaires moyens. en années.
Mercure 87,969258 0,2408
Vénus 224,700787 o,6i52
La Terre 365,25637» (') i
Mars 686,979646 1,881
Jupiter 4332,588171 11,863
Saturne 10759,236360 27,457
Il y a une autre manière de déterminer ces durées, en dehors
des oppositions : c'est de comparer deux dates, aussi éloignées que
possible, auxquelles la planète aura été vue dans l'écliplique.
Quelle que soit la position de la Terre, et, par suite, de l'ob-
servateur, si une planète est vue traversant l'écliptique, c'est
qu'elle passe réellement par ce plan. Ce procédé est d'ailleurs
celui que nous avons employé déjà dans la théorie du Soleil, pour
déterminer la durée de l'année tropique, en déduisant des obser-
vations ies instants où le Soleil traverse Téquateur,
Étude du mouvement héliocentrique.
Comme la planète Jupiter revient presque chaque année à l'op-
position, on obtient ainsi, pendant une révolution entière de la
planète, une dizaine de longitudes héliocentriques assez régulière-
ment distribuées sur toute Torbite. En les comparant avec Tex-
(') Ce nom a le tort de donner à croire aux coinincnçants que ces durées sont
exprimées en jours sidéraux.
(*) Rappelons que la durée de Tannée tropique est de 365^2^2217.
;4 LIVRB II. — CHAPITRE VI.
pression de la longitude
h ^=z Lfi -h ni -h éq. du centre (*),
dans laquelle n est déjà parfaitement connu, on déterminera aisé*
ment les constantes Lo, e, m. Dans Tantiquité et, à Tépoque mo-
derne, de Copernic à Kepler, Téquation du centre, déduite de la
théorie de l'excentrique, s'écrivait
esin(Lo-h ni — TiT)4-^e*sin2(Lo-+- ni — m)-|- . . . .
Depuis Kepler la théorie du mouvement elliptique a prévalu, et
on écrit ainsi Téquation du centre, en négligeant les puissances
de e supérieures à la deuxième :
2esin(Lo+ ni — ro)-h je*sîn2(Lo 4- /i^ — ro).
Ce qui nous importe actuellement, c'est de faire remarquer que
la connaissance des éléments ai, Lq, ^, nj donne le moyen de cal-
culer, pour une date quelconque l, la longitude héliocentrique L
de la planète. Nous serons donc en état de calculer aussi la paral-
laxe annuelle P, applicable à une observation faite en dehors des
oppositions, par
sinP = sin(L^ — L)= - sin(0 — L,),
formule dans laquelle nous ne connaissions jusqu'ici que les deux
éléments O — L^ et R. On en tire
R _ sin(L, — L)
/• ~ sin(0 — IV) *
La circonstance la plus avantageuse pour l'exacte détermination
de ce rapport est celle où © — L^ = 90" ou 270®. Alors la planète,
vue de la Terre, se trouve à 90° du Soleil à droite ou à gauche;
elle est dite en qua frafure. Ces observations-là se font le matin
ou le soir, non loin de G*'.
Ainsi on observe la planète dans ses oppositions pour étudie^
son mouvement autour du Soleil et déterminer les constantes d^
son orbite. On l'observe dans ses quadratures pour en déduire le-' ^
(' j L^ est la longitude moyenne à l'époque < = o, et non une valeur particulier**"^
de la longitude vraie désignée par L.
MOUVEMENT DBS PLANETES AUTOUR DU SOLEIL.
75
rayons vecteurs en parties du demi-grand axe de Torbite terrestre
pris pour unité. Il y a donc là, je veux dire dans les observa-
tions de quadrature, un contrôle pour la théorie du mouvement
héliocentrique fondée sur les oppositions, et, en même temps, un
moyen de déterminer les dimensions de Torbite.
Position du plan de Torbite.
Jusqu^ici nous avons négligé Tinclinaison du plan de Torbite
sur l'écliptique. Les distances polaires P, observées de la Terre ne
répondent pas aux distances ^ vues du Soleil, mais, à chaque oppo-
Fig. 18.
sition, les trois points S, T et Q, projection de la planète P sur
Técliptique, étant en ligne droite, on a, entre ces angles {fig* 18),
la relation
sin(p,-p)=5si„p,.
L'expression du rayon vecttur, en fonction de ^0» ^> ^> fait con-
naître les variations que subit r entre une quadrature et l'oppo-
sition. En appliquant cette formule, on déterminera ainsi autant
de valeurs de r que de L.
Soient donc en perspective sur la sphère céleste {Jig» 19), dont
76 LIVRE II. ~ CHAPICRB VI.
le Soleil occupe le centre, yûP'l'éclîplique, y'ûP Torbite de la pla-
nète, û le nœud ascendant, N sa longitude yû et i rinclînaison.
Convenons, de plus, de compter les longitudes dans Torbîte à partir
d'un point y' tel que 0^= ûy = N. La longitude de la planète dans
l'orbite étant désignée par ^, on aura, pour passer des coordon-
nées dans Torbite aux coordonnées éclipliques, en prenant pour
axes SE, Su, Sû -h 90°,
snzrcosp =:rsinisin(^ — N),
-5=irsinpcos(L — N)=rcos(^— N),
jmr sin3 sin(L — N)=: r cos«sin(^ — N),
ou tout simplement, par le triangle rectangle de la fig. ao,
Fig. 20.
cos^ =:sin« sin (^ — N),
tang(L--N) = cos£tang(4^ — N),
équations déjà employées dans la théorie du Soleil. La dernière»
réduite en série, donne
L — ^=: — iang*iisinQ(^ — N)h-
C'est la réduction à Técliplique.
LES PLANETES VUES DE LA TERRE. 77
CHAPITRE VII.
LES PLANÈTES VUES DE LA TERRE.
Parallaxe annuelle en tenant compte de Tinclinaison.
l\evenons maîntenanl en arrière et complétons l'expression de
la parallaxe annuelle où nous avions d'abord négligé l'inclinaison
de l'orbite sur Fécliptique. Rapportons la planète et la Terre à
trois axes Sy ou SX, SY, dirigés à 90° de là dans le sens direct,
Fig. 21.
t
s^
/ .1 "-^y y
<> /
' '' I
perpendiculaire au plan de IVcliptlque vers le nord [Jig> 21).
*^nt z^ Xj J^, Si \y \ les coordonnées héliocentriques de la pla-
^ I^ et de la Terre T. Il s'agit de transporter l'origine de S en T.
Coordonnées de P rapportées à ces nouveaux axes étant 5,
•^j^-'
Y on aura
z -=i z — Ç,
x' ^=z X — Ç,
78 LIVBE II. — CIIAPITBE VII.
et comme on a, en désignant par Ô la longitude héliocentrique
de la Terre,
7) =1 R sin 6 = — R sinQ»
Ç z= R cos Ô = — R cosQ,
ces formules exprimées en coordonnées sphériques seront, en
désignant SP par r, TP par r,,
/ r^cosp, 1= r cosp,
(i) ■ r,sinp, cosL, ^= r sin^cosL -4-RcosOj
( r sin ^f sin Lf^mr sin p sîn L -f- R sin O-
Elles ne supposent pas connus les rayons r et r , maïs seulement
leurs rapports à R. Pour avoir la parallaxe annuelle L, — L, il faut
considérer que l'origine des angles a été prise arbitrairement à Sy;
rien ne nous empêche donc de choisir une autre origine telle
que SP' projection de SP, ce qui revient à retrancher L de tous
les angles L, L« et ©• O*^ ^ alors
Ir, cosp, == r cosp,
r, sinp,cos(L, — L)=: rsinp 4- Rcos(0 — L),
' r, sinp^sin(L, — L) =i Rsin(0 — L)»
d*oii, en éliminant r,
- sin(0 — L)cosécp
(3) tang(L,-L)=— ^Ij^
1 H cos(0 — L)cosécp
C'est, comme on le voit, une formule de parallaxe; elle s'ap-
plique indistinctement aux planètes extérieures ou intérieures.
Il y a là néanmoins une distinction à faire entre les deux cas.
Si Ton suit sur la Jig, i6 les variations de l'angle P pour une
planète extérieure (R<^r), on voit qu'il atteint un maximum
pour T ou O — L,= 9o®. L'angle T,- au contraire, prend toutes
les valeurs possibles dans le cours d'une révolution synodique.
Celle valeur maximum de la parallaxe annuelle est la moitié de
l'angle sous lequel on verrait, de la planète extérieure, l'orbite
de la Terre.
S'il s'agit d'une planète intérieure, l'angle à la planète, c'est-à-dire
LES PLANETES VUES DE LA TERRE. 79
P = L, — L, prend toutes les valeurs possibles de o à 36o*», tandis
que l'angle à la Terre T = O — L, ne peut dépasser la moitié de
l'angle sous lequel on verrait, de la Terre, l'orbite de la planète
intérieure. Il en résulte qu'une planète de ce genre ne peut s'écar-
R
ter du Soleil au delà de l'angle dont le sinus est — • Cet angle se
nomme Vélon galion de la planète. Comme r et R varient légère-
ment par suite des excentricités des orbites, la plus grande élon-
gation de Vénus varie entre 4^^° et 45°; celle de Mercure entre
16 et 29° (Texcentricité de l'orbile de cette planète est très forte).
Il résulte de là qu'un astre quelconque, une comète par
exemple, qu'on voit àmoins dego^du Soleil, peut être en ce moment
à l'intérieur ou à l'extérieur d'une sphère décrite sur l'orbite ter-
restre. Mais si on le voit à 90° ou à plus de 90°, il est nécessaire-
ment plus loin du Soleil que la Terre ( * ). C'est ainsi que, la pointe de
la lumière zodiacale s'élevant à plus de 90® du Soleil disparu sous
l'horizon, on en conclut que la nébulosité quelconque qui pro-
duit cette apparence déborde l'orbite terrestre.
On parviendrait aux mêmes résultats en discutant la formule
(4) o=:r sinpsin(L — L,)4-Rsin(0 — L,),
<ju'on obtiendra en retranchant L, des angles du groupe (i).
Phases des Planètes.
\udi Jig, 11 montre que les planètes doivent présenter des phases
et que celles-ci dépendent de l'angle SPT ou P = L, — L.
Négligeant ici l'inclinaison des orbites, on voit que l'angle
SPT est égal à l'angle dièdre formé par deux plans passant
par P, et respectivement perpendiculaires aux lignes SP et
TP. Le premier coupe la planète supposée sphérique suivant le
cercle de séparation d'ombre et de lumière ; le second suivant le
cercle de contour apparent. La figure donne le rabattement du
disque vu de la Terre et la projection, sur ce disque, du demi-
cercle d'illumination. Celle-ci est une ellipse qui limite à droite
la partie éclairée de la planète. La figure montre que la planète
(') Car la perpendiculaire est plus courle que toute oblique.
8o
LIVRE II. — CHAPITRE VII.
vue en quadrature atteint la phase maximum. La partie manquante
est proportionnelle au sinus verse de l'angle L, — L. Cela n'est
sensible que pour Mars, qui paraît en effet gibbeux en quadrature.
Alors sinP== — ^,d'oii P==4i% angle dont le sinus verse est de
i du rayon. C'est ce qu'indique la figure. Pour Jupiter, la partie
Fii:. 22.
' \r'
i ■
8
nian({uanle se n'duit à 0,02 du rayon du disque apparent de la
planète. A la quadrature du 22 septembre 1882, le demi-dianiètrc
angulaire t'tait de k/'; la phase n'duisait donc ce demi-diamùtre
d'un tiers de seconde du coté opposé au Soleil. Pour Saturne, et k
plus forte raison pour Uranus et Neptune, les phases sont abso-
lument insensibles.
Il en est tout autrement des planètes intérieures. Pour celles-là
l'angle Pn'a pas de limite et varie de o** à 36o°. Les phases vont
donc de la complète illumination du disque à la complète invisi-
bilité. Vénus, par exemple, en conjonction interne, tourne vers
nous sa face obscure et devient invisible, ou, si elle se projette sur
le Soleil, Vénus nous apparaît comme une tache noire parfaitement
LES PLANETES VUES DE LA TERRE. 8l
ronde. Alors sa distance à la Terre est R — r =; o,a8. En conjonc-
tion externe, elle est au delà du Soleil à la distance R + r = i ,79 ;
son disque est plein, entièrement éclairé, mais six fois plus petit
{fis- ^^}' ^ ^^ p'<'3 grande élongation elle ressemble à la Lune
^'
4|ijand celle-ci est au premier ou au deuxième quartier. Dans le»
positions intermédiaires elle est gibbeuse et très petite, ou en
«croissant délié et très grande. Dans ce dernier cas, c'est un des plus
L>eaux objets que les lunettes nous aient faire voir dans le ciel,
IVfémes phénomènes, moins frappants, pour Mercure,
Distances des Planètes au Soleil.
Les formules (3) ou (4 ) des pages 78 el 79, dans lesquelles L et
m^me ^ sont désormais connus, peruiellent de calculer le rap-
JX^rt variable — des rayons vecteurs, et par suite a, distance
moyenne du Soleil à la planète.
Une observation de Jupiter en quadrature, du 22 septembre 1SS2
à i'j''53"ai', a donné pour la longitude gtocentrique
Les éléments de l'orbite obtenus prc^cédemment par les opposi-
*- ■ «DUS fournissent les coordonnées hé li oc en tri que s
L = 78'>55'i7*,i, ^ — go" -if 21', G.
8jt LIVRE II. — CHAPITRE VII.
Collos du Soleil soiil au nu^nie moment
v_' So^o'-i-.!*",! j lo{;R — 0,001241 4-
\ oioi le calcul de /*par la formule (4) •
It^îï sin 1 1- 1 9.a9iCi6o7
I«»^' sin 'i 9 .9999^13
<'/Ioj;vin,0 !.. o.oooCKia6
1'^? -j. 9»29^*'49>
loijU.. o.ooiajW
!•>};/' 0,7005919
Lc> éléments de Torhite donnent à cet instant
l'»i; -^ 9»9<)o5-i
\o'^ n ' G, 716*2 i
On aura (h>ne .^aooS pt>ur la distance moyenne de Jupili-r i-
SoltMl, en parties d<* la tlistanci* mo>enne du Soleil à la Terre* Jrmî-
grand a\<' tle l\>rl)it<* terrestre^ prise pour unité.
Ainsi rol>s(M'vali<Mi «Pun»' planète «extérieure en quadratun*. <«i.
celle d'une planète intérieure à sa plus grande élon^alion, n«»u?
iail connaît H', pour chacune d\'lK»s, la valeur du rapport — qm
fij^ure dans l'expression dt* la parallaxe annuelle, et par suite loul»>
les distances des planètes au St>leil.
Il importe d<* noter ici (pie ces tliét)ries et ces formules élaitMil
|)arfaitrin<'nt connu(*s des \n( icns, ainsi (pie la valeur numériqur
du rapport - pour clia<pie planète, ('.es formules restent en elTrî
les mêmes si on prend les mouxenuMits apparents pour de
mouvements réeK, et si, plaçant la Terre au centre du svsténie.
on fait man^lier les planètes dans des é|>icvcles de ra\on II, porter
par de*i cendes déf'rents de ra\on /*. Seulenu'iit, pour les Ancien*.
|a TcrnM'tait réell(*ment immobile; iln\ avait donc aucune raison
(Pattrihuer aux épicvcles le même ravon. Il dexenait arbitrain»: il
en était de même diT, car, seulje i*apporl est délini par les tibser-
vations.
'«
«
LES PLANÈTES VUES DE LA TERRE. 83
Montrons d'abord que les apparences ne sont nullement chan-
gées quand on donne à ces rayons R et r des valeurs arbitraires,
pourvu qu'on conserve leur rapport.
Soient (y7^. a4) «/^Torbite de la planète, R lerayondeTorbite delà
Terre et aussi de Tépicycle véritable de la planète, S le Soleil; p la
Fig. 24.
p'V ' ' '
> I
I
/
' 't '
position actuelle du centre de Tépicycle sur le déférent ap. Pour
avoir le lieu P de la planète vue de la Terre, on mènera />P parallèle à
TS. Il est évident que la direction TPne sera pas changée si Ton
prend pour rayon du déférent la ligne T/?', à la condition de
prendre pour le rayon de Tépicycle P'/?' tel que ~-r = ?fr- =t (*)•
Les Anciens avaient trouvé, pour le rapport — > les fractions sui-
vantes, que j'ai réduites au même numérateur loo :
100
Mercure -rrrr
00
,r, 100
Venus
100
l5'2
Mars
, . 100
Jupiter - —
Saturne —
(') Cependant l'angle à la planète SPT qui règle les phases ne restera plus le
84 LIVRE II. — CHAPITRE Vil.
C^est avec ces valeurs qu'ils calculaient la formule
sin(L, — L)m — sin(0 — L, )cosécp
pour suivre la planète sur son épicycloïde.
Copernic, en adoptant les idées des Pythagoriciens, de Philolaiis
( — 45o), d'AristarquedeSamos ( — 280), etc., n'a eu qu'à prendre
l'inverse de ces rapports pour obtenir les distances des planètes au
Soleil. Voici les distances de Copernic :
Mercure o , 36
Vénus 0,72
La Terre i
Mars I , Sa
Jupiter 5,aa
Saturne 9, ai
Cette dernière est un peu trop pelite; elle doit être 9,54- Pour
tout le reste, Copernic conserva les artifices des anciens Astro-
nomes; il faisait circuler les planètes d'un mouvement uniforme
dans des cercles dont le centre était écarté du Soleil, et il adopta
les valeurs que l'on avait appliquées à ces diverses excentricités.
•
Sur les stations et rétrogradations des planètes.
En calculant, avec les distances et les durées des révolutions, les
\itesses linéaires des planètes dans leurs orbites, on trouve que les
vitesses linéaires sont d'autant plus petites que la planète considérée
est plus loin du Soleil. De là le phénomène de la rétrogradation
des planètes extérieures en opposition, ou des planètes intérieures
en conjonction interne. Une simple figure, sur laquelle les inter-
valles V< Va, V2V3 (^fig* 20), parcourus en temps égaux par une
planète intérieure, sont plus grands que les espaces T,T2,TjTj
parcourus par la Terre dans le même temps, et ces derniers plus
grands que les espaces J4 J2, J2J3 parcourus par une planète exté-
même; il devient SP'T, en sorte que le système des Anciens, qui représente pas-
sablement les mouvements des planètes, est complètement en erreur pour leurs
phases.
LES PLANÈTES VUES DE LA TERRE. 85
rîeure, met la chose en évidence, car il suffit de transporter les
lignes visuelles T^JoTaJa,... parallèlement à elles-mêmes en un
Fig. 25.
JiiîJi . Jï.
I
\
jT
I
V,
S
même point quelconque T,'pour voir que les planètes V et J paraî-
tront, en T, se mouvoir dans le sens rétrograde. C'est ce que donne
aussi la formule de la parallaxe annuelle. On a en effet [groupe (i)]
rsinL-f-Rsin©
tang L, = = rr ,
^ ' rcosL-hRcosO
en négligeant Tinclinaison de l'orbite. Si on néglige aussi les
excentricités, on aura
V V
dhz^ndt — -dt, dQ—^dt—-r'dty
71, N étant les moyens mouvements, i' et V les vitesses linéaires.
Différentions l'expression précédente, il viendra, toutes réductions
iaites, et en remarquant (p. yS) que r,cosL^= rcosL -f- R cosQ,
dL, rp 4- RV -4-(R (^ -f- Vr)cos(0 — ^^
dt r
t
A l'opposition ('), O — L^iSo**; le numérateur se réduit à
^r — R) (^' — V). Cette dérivée est négative, puisque r — R et
«» — V sont de signes contraires pour les planètes extérieures
comme pour les intérieures ; par conséquent, L, va en décroissant
SI cette époque, autrement dit la planète rétrograde.
(*) Ou à la conjonction interne pour les planètes intérieures.
86 LIVRE II. — CHAPITRE VII.
^ La planète est stationnaîrc quand cette dérivée est nulle, c'est-
à-dire lorsque
cos(G — L)— — -.
La condition de réalité
(R — /Oi'XR — r)V
est évidemment satisfaite dans les deux cas que nous examinons.
Pour Mars, par exemple, les époques des stations seront déter-
minées par
ces ( 3— L) — — 0,9575, d'où Q— L — i63°i5' et iqG^/iS'.
L'arc compris, égal à (N — n) tj donne t -r- j^J pour la durée de
la rétrogradation. En portant les valeurs de (j — LdansTexpression
de tang (L, — L), on aura Tare de rétrogradation vu de la Terre,
lequel est d'une quinzaine de degrés pour Mars, de 10® pour
Jupiter, de 7" pour Saturne. Pour la solution complète de ques-
tions de ce genre, il faudrait tenir compte de l'excenlricilé, mais
ce que nous venons d'en dire suffit amplement.
Nous verrons un peu plus loin qu'il résulte du tableau des
vitesses et des durées des révolutions que V^r = const. dans le
système solaire. Si au lieu de cela on avait V = const. il n'y aurait
pas de rétrogradation, mais seulement station au moment de Top-
. . . . . \
position. Si Ton avait — ^^ const., une planète vue de la Terre en
op|>osition y resterait perpétuellement, etc.
THÉORIE ET TABLES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE. 87
CHAPITRE VIII.
THÉORIE ET TABLES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE.
>—*
Véritable marche suivie par Kepler.
Maintenant nous sommes en étal de corriger ce qui a été dit,
dans la théorie du Soleil, au sujet des deux premières lois de
Kepler. Il y avait intérêt, pour la suite des idées et pour n'être pas
obligé de scinder en deux parts la théorie du Soleil, à y ratta-
cher cette découverte. Mais il nous a falhi en cela commettre deux
inexactitudes historiques.
En prenàier lieu, Kepler aurait eu besoin des rayons vecteurs pour
reconnaître la vraie forme de l'orbite du Soleil. Nous avons
supposé qu'il les avait déduits de la mesure des diamètres appa-
rents du Soleil, chose impossible sans le secours des lunettes et
qui, en fait, n'a été réalisée qu'un demi-siècle après Kepler. Au-
jourd'hui encore, ce serait un procédé fort insuffisant. En second
lieu, l'orbite apparente du Soleil est trop peu excentrique pour
faire apprécier Terreur que les Anciens commettaient dans le calcul
de Téquation du centre que l'on peut écrire, dans l'hypothèse des
Anciens (p. 24)> en faisant TC = s,
'i sin m -+- iz' sin 2 m h- . . . ,
tandis qu'elle doit être, par la théorie elliptique (p. 5i ),
2 es'inm -+- je- sin 2 m
En effet, si l'on s'en tient au premier terme et qu'on détermine
£ par des observations convenables, vers m = 90**, et m = 270°, on
trouve £ r= o,o33d. Or, e n'est que la moitié de cette valeur. La
différence de ces deux théories, en posant £ = 2e*, a pour exprès-
88 LIVRE II. — CHAPITRE VIII.
sîon jC^sin^im. L'écart maximum a donc lieu pour les valeurs
45*^,135",... de m, et se réduit, dans la théorie du Soleil,
à 43'',5, c'est-à-dire à une quantité presque insensible à l'œil nu.
Ainsi, pour éprouver la théorie de l'excentrique des Anciens,
il fallait choisir une planète dont l'orbite fût beaucoup plus
excentrique que celle de la Terre. Ce fut à Mars que Kepler
s'adressa; mais, de quelque manière qu'il tentât d'accommoder
l'hypothèse des Anciens aux belles observations de Tycho sur les-
quelles il travaillait, en faisant varier les constantes e, ^o et m
(p. 24)) il ne parvint pas à réduire les écarts du calcul au-dessous
de 8', erreur incompatible avec la précision bien connue de ces
observations. Il en conclut que l'orbite de Mars ne pouvait être
un cercle excentrique.
Quelle était donc la nature de cette orbite ? Pour l'étudier, il
fallait en déterminer les rayons vecteurs au moyen de la formule
de la parallaxe annuelle (p. 79)
r sin? sin(L, — L) = Rsin (© — L,),
appliquée aux quadratures observées, et c'est môme pour Mars que
ces rayons vecteurs seront le mieux déterminés par Tobservation.
Kepler calcula donc ces rayons en corrigeant autant que possible
les L, obtenues à l'aide de la théorie de l'excentrique, des erreurs
désormais connues de celle théorie, et se trouva ainsi en pos-
session des coordonnées complètes L et r sin^, et par suite ^
et r(p. 76), de points régulièrement répartis sur toute l'orbite.
Cette seconde épreuve montra, comme la première, que Torbite
n'était nullement circulaire. Elle apprit en outre qu'elle était
légèrement aplatie dans le sens perpendiculaire à la ligne des
apsides, sur laquelle les Anciens plaçaient la Terre et le centre de
rexcenlricjue : c'était une sorte dovale. Kepler essaya la plus
simple de ces courbes, rdlipse. Mais ses tonlalives seraient rest^'^es
vaines s'il n'avait, en même temps, cherché et trouvé une relation
entre le temps et les coordonnées du mobile. C'est surtout dans
cette complication d'un problème ou il faut à la fois chercher
la forme de la fonction de r et de -C, qui re|)résente l'orbite, et
celle de la fonction de r, ^ et / qui la relie au temps, que con-
sistait la difficulté. Ce grand astronome Ta résolue par ces deux
lois, que rien ne faisait sou ronner avant lui : Les aires par^
THÉORIE ET TABLES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE. 89
■
courues par le rayon vecteur sont proportionnelles aux temps;
la trajectoire est une ellipse dont le Soleil occupe un foyer.
Troisième loi de Kepler.
Nous verrons bientôt que les planètes peuvent être assimilées à
des projectiles qui auraient été amenés à diverses- distances du
Soleil, à peu près dans le même plan, et qu'on aurait lancés ensuite
avec des vitesses déterminées par les distances, de manière à leur
laîre décrire autour du Soleil des orbites presque circulaires. Ainsi
** peut, il doit même exister une relation entre ces distances et ces
vitesses, autrement dit entre ces distances et les durées des révolu-
tions. Mais le choix des distances elles-mêmes reste arbitraire, du
***oins c'est là une question d'origine qui tient au mode de forma-
^*on du système solaire. Elle était bien prématurée au temps de
■^^pler : elle est aujourd'hui encore peu accessible, malgré la con-
^^ption cosmogonique de Laplace.
I3c là deux voies, l'une stérile, l'autre scientifique. La première
Consiste à chercher une loi entre les distances des planètes et les
^^rnbres entiers qui expriment leurs rangs à partir du Soleil; la
^^Uxième, à chercher une relation entre ces mêmes distances et
^^ vitesses ou les durées des révolutions.
K^epler passa une partie de sa vie à chercher la première. Frappé
^'«^*^s sa jeunesse de la perfection des cieux, idée antique alors
^^^i»iinantc, et de la perfection analogue des cinq corps réguliers
^*^ I3 Géométrie, il avait cherché là une loi. Il trouva, en employant
^s distances de Copernic,
0,39, 0,72, I, 1,52, 5,20, 9,22,
^^ entre les sphères idéales, autrefois cristallines, de Mercure etde
^ ^rtus on pouvait placer un octaèdre circonscrit à la première et in-
^o m dans laseconde. Il plaça de même l'icosaèdre entre les sphères
^ ^énus et de la Terre, le dodécaèdre entre la Terre et Mars, la
Py^mide entre les sphères démesurément distantes de Mars et de
^Pïler, enfin le cube entre Jupiter et Saturne. Et comme la
^^^'ïïétrie ne fournit que cinq corps réguliers, il était naturel,
'sait^il^ qu'on ne trouvât au ciel que six planètes.
90 LIVBE II. — CBAPITRE VIII.
Les modernes ont aussi suivi cette voie stérile, témoin la loi de
Bode qui a joué un certain rôle dans la découverte de Neptune
en fournissant une mauvaise hypothèse à MM. Adains et Le Ver-
rier. Désignant par D la distance d'une planète au Soleil et par n
son rang d'ordre à partir du Soleil, on aurait par cette loi
D -10,4 -H 0,3 X -i" *.
Si Ton admet que les planéticules qui circulent entre les orbites de
Mars et de Jupiter tiennent lieu d'une planète ayant le cinquième
rang, cette prétendue loi donnait 38,8 pour la distance de la
planète cherchée par ces deux habiles astronomes. La découverte
une fois faite en dépit de la loi, il se trouva que la planète n'était qu'à
la distance 3o. L'erreur allait à 8 ou 9 fois la distance de la Terre
au Soleil.
Lorsque Kepler eut découvert les deux, premières lois, il comprit
enfin, bien vaguement il est vrai, qu'il y avait là une question de
Mécanique; que le Soleil devait exercer une force s'étendant jus-
qu'aux j)lanètes les plus éloignées pour en régler les mouvements.
La seconde voie se présenta alors à son esprit et il se mit à chercher
une relation entre les périodes et les dislances. Après bien de-^
tâtonnements, il s'avisa de comparer les temps des révolutions aux
puissances successives des distances. Les [)remières puissances
simples ne réussirent pas :
Plan^ick. T. a. n}.
a
Mercure 0,241 0,89 0,1 5
Vénus o,0i3 0,7^ o,52
La Terre i i 1
Mars 1,881 1,32 2,3a
Jupiter n,8G{ 3, 20 27,07
Salurnr '^9,457 \),'i\ U<>,<J9
Il essaya donc yne puissance intermédiaire entre 1 et 2, c'est-à-ilire
I ^ ou jj et il trouva :
PlanfiM. T. a*.
Mercure 0,2 ji 0,241
Vénus o,Gi3 o,Gi3
La Terre i 1
Mars 1,881 1,874
Jupilei 11,863 11,86
Saturne '^î),457 '29,46
•
Ainsi T =r !■/ > , (jnand
'e de mi -grand asr dr r«lHk'
l'nt)a(l*i|Uc di
rVsl-4-dire les carrés àe»
comme lex cultes dfj
cation iiiùcani(|af dr
mais non la cODcJuâJuD ■sb
celte loi est vniie, ^Vr di
temcnt connus, un
parfait que la
durres dps r^voIutitBj» *
une pri.-cîsîon loajn
donnent les dîstanen. d^
y\wti, le sont mnia*
Saturne,
9^ LIVRE II. — CHAPITRE VIII.
Par conséquent,
a! -= 5,2oi2 (*).
C'est ainsi que Kepler a opéré; les nombres contenus dans le
tableau suivant et tirés des Tables toutes récentes de Le Verrier
ont été obtenus de la même manière.
Nom^s Durées DUttnret
des des rnTolulions moyennes
planètes. sidérales. au Soleil.
Mercure 87,969^58 0,3870987
Vénus 2a4j7oo787 o,7a333aa
La Terre 365,256474 > ,0000000
Mars 686,979646 1,5^36913
Jupiter 4^32,588171 5,202400
Saturne 10759,236360 9,53886i
Uranus 3o688, 39036 19,18329
Neptune 60181,1 i3i6 3o,o55o3
Tables et éphémérides des planètes.
Les Tables de chaque planète sont de même forme que celles du
Soleil, dont nous avons déjà donné une idée au Chapitre V.
Elles comprennent uneTable destinée à faciliterle calcul de la longi-
tude moyenne K^çi-\-nt pour les siècles passés et futurs ; une Tablede
l'équation du centre dont l'argument est m =:= ^0 -+- ^^ — ^î ""^
Table des rayons vecteurs ayant même argument : ces deux dernières
répondent aux développements
K^'~ -d'» "- ''^ ^ ^1 sinm -H A,sin2//i -h . . . ,
r
— -: .\ -\-\é^ — B. CCS ni — B, ces 2 m — ... ;
a
puis la Table de la réduction à Técliptique, déduite de la formule
tang(L— N)=:cosi tang(^— N)
et mise sous la forme
L ir.^^— lang«lisin2(4;^-N)4-;tang*JisinN..(^— N)...,
dont l'argument est !^ — N; enfin uneTable pour la coordonnée
écliplique p. Par ces Tables, qui réduisent le calcul à de simples
(*) Nous reviendrons plus tard sur ce résultat, qui a besoin d'une correctioo
d'environ âTy-J^,,-
THÉORIE ET TABLES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE. 93
additions, on obtient, pour une date^, les coordonnées écliptiques
de la planète L, p, r. Quant aux coordonnées géocentriques, on
les calcule par les formules de la page 78.
Lorsqu'il s'agit d'une éphémeride, comme celles*de la Connais^
sancedes Temps, donnant les coordonnées L, p, r, L,, p„ r, pour
tous les jours de l'année à midi moyen, on calcule ces positions de
10 jours en 10 jours à l'aide des Tables, puis on interpole pour les
jours intermédiaires, en tenant compte des différences premières,
deuxièmes, etc.
Quant aux planètes nouvellement découvertes et aux comètes,
on ne saurait recourir à des Tables pour le calcul des coordonnées
héliocentriques. On applique alors les formules de Kepler, qui
n'exigent que la connaissance des six éléments de l'orbite :
m
—— ■
Ks
~h nt — cj,
u
—
esmu m,
r
a
: 1 -
- ecosw,
tangi(^— iîj) = i/-j---^ tang-jM
Correction des éléments elliptiques.
En comparant ces éphémérides avec les observations journa-
lières des grands observatoires, on détermine les erreurs des Tables
qui résultent de celles des éléments adoptés. Lorsqu'elles de-
viennent trop sensibles, il faut corriger ces éléments et procéder
à la construction de Tables nouvelles. Celles-ci vont ainsi en se
perfectionnant d'âge en âge.
L'observation donne aux dates ^, t\ i' ^ ... les iR et 8 de la pla-
nète considérée. On en déduit les coordonnées écliptiques géocen-
triques L,et p,, puis on passe de celles-ci aux coordonnées hélio-
centriques L et ^ par les formules de parallaxe annuelle de la
page 78. Désignons par dL et d^ les écarts entre ces coordonnées
observées et les coordonnées tabulaires. Pour les faire disparaître,
il faudra appliquer aux éléments adoptés des corrections d/i, d^j^,
3e j àra^ di^ <îN. En différentiant l'équation
cos p = sin (41^ — N ) sin i
94 LIVRE II. — CHAPITRE VIII.
par rapport à ^^, on a
lang ? d? =: — col (4^— N ) dN -}- col idL
D'autre pari, la page 53 nous fournit Téquatlon différentielle
( I -h 2 e CCS m ) ( di^ -h tdn)-\- 2de sin m — 2 e dw ces m m c^L.
On formera donc, à Taidc des écarts constates d^^ (^L, deux stTies
d'équations de condition qu'on traitera parla méthode des moindres
carrés (*), de manière à obtenir les valeurs les plus probables de>
corrections cherchées. Il n'y a pas lieu de s'occuper du demi-grand
axe a, car cet élément est lié à T ou an par la relation — r= K.
On procède ainsi, depuis 2000 ans, par des approximations^
successives. Mais la théorie elliptique de Kepler a porté subite-
ment les Tables des mouvements célestes à un haut degré de per-
fection qui ne s'est pas démenti, même lorsque, dans le cours du
xvii*' siècle, Tapplicalion des lunettes aux instruments de nnesure
est venue augmenter tout à coup l'exactitude des observations
d'une manière extraordinaire.
Cependant on a dil noter, peu de temps après la découverte de
ces lois fondamentales qui ont renouvelé toute l'Astronomie, des
circonstances qui devaient faire comprendre que tout n'était pas
dit. La première est la variation que les éléments des planètes su-
bissent dans la suite des siècles. Tel est le mouvement du périht'*-
lie de l'orbite terrestre, dont la lonj^itude augmente de 1100^ par
siècle. Les astronomes arabes avaient découvert ce phénomène en
comparant leurs observations à celles de rAlmag<?ste. Pour la Lune,
ces mêmes variations, portant sur presque tous les éléments, sont
bien plus grandes et ont été reconnues dès les débuts de l'Astrono-
mie exacte. Les unes et les autres seraient inexplicables si Ton
s'en tenait aux luis de Kej)ler. En second lieu, la théorie elliptique,
bien qu'elle satisfasse de très près à toutes les observations d'un
même siècle, laisse néanmoins subsister de petits écarts de nature
périodique. Or il n'est pas possible de les faire disparaître, quelques
(') L'emploi de relie nicthotlc ne sera léjïilime que lorsqu'on aura tenu compte
des perlurbatious dans la comparaison des observations avec les Tables.
THÉORIE ET TABLES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE. Q^
corrections que l'on applique aux éléments des orbites. La théorie
elliptique que nous venons d'exposer et les Tables qu'on en déduit,
si supérieures à celles des Anciens, ne sont donc elles-mêmes qu'une
seconde approximation. La troisième et dernière est celle que
fournit la Mécanique céleste.
Variations séculaires des orbites des planètes.
Pour en donner une idée, nous nous bornerons à deux éléments
de l'orbite de la Terre, la longitude du périhélie et l'inclinaison de
l'écliptique sur l'équateur. Le premier élément a été déterminé à
diverses époques, par les Grecs d'abord, puis par les Arabes,
enfin par les Modernes. Lorsqu'on en défalque l'elfet du mouve-
ment rétrograde du point y (précession), pour ramener les longi-
tudes à une même époque, celle d'Hipparque, on trouve :
Longitude
Dates. Observateurs. du périhélie.
o
— 127 Hipparque G5.3o
833 Albategnius 68.59
1231 Aboul-Hassan 69.21
1858 Le Verrier 72.46
Ainsi la longitude du périhélie va en augmentant d'un tiers
de degré par siècle. Bien que cet élément ait dû être très dif-
ficile à déterminer avec précision, par des observations faites à
l'œil nu (on a vu que la correction dxn ne figure dans les équa-
tions de condition qu'avec le très faible facteur e), les astronomes
arabes n'ont pas manqué de remarquer le déplacement subi par
le périhélie entre leur époque et celle d'Hipparque. C'est à eux
qu'est due cette importante découverte.
Quanta l'obliquité de l'écliptique, sa variation a été déterminée,
au dernier siècle, par des observations faites au gnomon avec une
précision suffisante pour mettre en évidence des changements
24 fois moindres que ceux du périhélie. Voici quelques-unes de
ces mesures, que Laplace a fait recalculer avec soin :
96 LIVKE II. — CHAPITKB VIII.
Obliquité
Dates. Obsenratears. observée. calculée.
— 1100 Tcbéou-Kong. en Chine a3.5a a3.5i. 8
iOOO Ben>JouniSy en É«nirpte a3. 34.36 !t3.34.ao
1280 Cochéou-king. en Chine a3.3ti. !i a3.32. 6
i437 Ouloug-Beg, à Samarcande a3.3i.4d a3.3o.5o
1750 Bra«llev, à Greenwich a3.'28. 18 a3.!i8.ao
m
1850 Observatoire de Paris a3.-27.3a a3.a7.3a
La dernière colonne a été calculée en prenant pour point de
départ Tobliquité mesurée en i85o et en supposant la variation
de — 48'' par siècle. On voit avec quelle précision les observations
les plus anciennes sont représentées. Il v a ici deux conséquences
à tirer : i^ les observations faites au gnomon avaient un caractère
bien remarquable d*exactitude; 2** Tobliquité de l'écliptique décroît
bien réellement de 48" par siècle, à très peu près.
Ces faits ne sont pas particuliers à Torbite terrestre; on en re-
trouve Téquivaient pour les autres planètes ('). Les éléments de
leurs orbites subissent aussi des >ariations séculaires. Il n^y a
d'evception que pour les dur^l'es des révolutions sidérales, que Ton
retrouve toujours les mêmes, aujourd'hui ou au temps d'Hip-
parque ou des plus anciens observateurs chinois. Comme ces
durées sont liées aux grands axes par la troisième loi de Kepler,
il faut conclure de ce qui précède que les grands axes sont eux-
mêmes invariables. C'est là évidemment un élément de stabilité
pour le système solaire, et c'est le triomphe de la Mécanique céleste
d'avoir, à la fois, prouvé théoriquement cette invariabilité et
ex[)liquc les variations progressives des autres éléments.
Satellites.
Les satellites de Jupiter ont été découverts en 1610 par Galilée.
Ça été le premier résultat astronomique de Tinvention des lu-
nettes. Une simple lorgnette d'opéra les fait voir. Il n'en est plus
de même des satrllitcs des autres planètes, qui tous exigent des
(') La théorie elliptique est incapable de reudrc compte de ces variations. Il
fallait néanmoins en tenir compte après les avoir déterminées comme nous venoDS
de le faire. C'étaient des éléments empiriques qu'on était bien forcé d'introduire, du
temps df! Kepler ju>4|u'a .Newton, dans les Tables des planètes, comme on l'a vu
au Chapitre V.
THEORIE £T TABLES DU MOUVEMEiXT ELLIPTIQU2. 97
lunettes puissantes. On n'a môme jamais observé en France ceux
de Neptune, d'Uranus et l'un des satellites de Mars.
Les quatre satellites de Jupiter se meuvent dans des plans
peu inclinés sur l'orbite de leur planète. Ils passent donc, presque à
chaque opposition, dans le cône d'ombre qu'elle projette derrière
elle et y sont éclipsés. L'observation de ce phénomène est facile
et comporte une certaine précision. On en déduit les périodes sy-
nodiques moyennes :
i" satellite i ,7698605
1* »» 3,55^094-2
3* .. 7,1663872
4* " 16,7535524
De celles-ci on déduit les révolutions sidérales.
On a construit pour ces satellites de véritables Tables par les-
quelles on calcule les dates des éclipses qui ont lieu chaque année.
Celles-ci sont publiées dans la Connaissance des Temps. jNous
verrons plus tard le parti que l'on a tiré de ces éclipses pour la
détermination des longitudes géographiques et pour mesurer la
vitesse de la lumière.
Les rayons de ces orbites presque circulaires s'obtiennent à l'équa-
torial. L'observateur, placé en T(Jig. 26), mesure micrométriquc-
mentla distance angulaire du satellite t au centre J de la planète, au
Fi g. 26.
\
.a*
\\
Ai
s«
moment de la plus grande élongation ; il obtient ainsi un angle
<tTJ = a d'où l'on tire le rayon o-J par le triangle tJÏ, rectangle
en 0". On a en effet, à cet instant,
ff J =: a' in TJ sina.
U. 7
98
LIVRE II. — CHAPITRE VIII.
Or TJ est donné par les éphémérides en parties de Tunité astrono-
mique, c'est-à-dire du demi-grand axe de l'orbite terrestre. Pour
le premier satellite, par exemple, on trouve
<jj ou a' =: 0,00188, T'=ii, 76913-8.
a
1%
On en déduit pour la constante K'' = =7^, relative à Jupiter et à
son système, la valeur 0,0000000071 563.
C'est à peu près la millième partie de la constante K du système
solaire. Pour avoir le rayon a!' de l'orbite d'un autre satellite de
Jupiter, il sufTira dès lors de déterminer la durée T" de sa révolu-
■»
lion et d'appliquer la formule o!' =^ y K^T''^*.
La Terre a aussi un satellite, la Lune, mais sa distance ne sau-
rait être obtenue ainsi en parties de l'unité astronomique, parce que
nous faisons partie de ce petit système. Par d'autres procédés dont
il sera question plus loin, on trouve pour cette distance o,oo25j48.
Voici le tableau de ces divers systèmes avec les constantes qui s'v
rapportent; nous en verrons bientôt l'importante signification
mécanique.
Soleil. . . .
La Terre.
Mars
\ 2'
Jupiter... .
Saturne
4*
!•
3*
/r
■I
5"
f
8"
DisUnces
de» Miel II te*.
I , 000000
0,009.5748
0,00006281
0,0001 5686
o , 0028 I 88
0,0044846
0,0071 ')37
o,oi2584o
0,0012422
0,001^937
0,0019691
u, 002 3362
o, 0035228
0,0081839
0,009909^
0,0238210
burée«
des réTolullons.
365,256
27,321660
o,3i892Î j
Contlantet
keplérienoe».
K
IV
0,0000074958
K
328000
K
( ' »
1 ,26243
1,769138
1 ,55 1 181
7,154553
16,689019
0,942424
I , 3702 I 7
1,887904
2,736916
4,5i73o3
i5,9453
26,3ii3
79,32936
\
K^
3078000
K
1047
K'« =
3474
471
^'j Ce nSultal nV>l <iuc provisoire et sera rectifié plus loin, p. 143,
THEORIE ET TABLES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE. <)<)
DUtanceB Durées Constanleit
des Mtelliles. des réTolulions. keplérlennes.
J
i*"" 0,0012810 2,52o383
>/ 0,0017854 4,i44i8i . ,.,,,
3" 0,0029320 8,705897 l ~ 226 >o
I^ i* 0,0039159 13,463269 )
\>plunr... 0,0023717 8,876000 K**" — — ,,-
' > / / ) y j i9Î5o
lOO LIVRE II. — CHAPITRE IX.
CHAPITRE IX.
DERMEK MOT SUR LK SYSTÈME DU MONDE DES ANCIENS.
Tout y était conçu en vue de sauvegarder l'idée d'une Terre im-
mobile et placée au centre de Tunivers.
Ce système n'est plus bien compris aujourd'hui; du moins per-
sonne n'a expliqué pourquoi les Anciens ont adopté un mode de
circulation, pour les planètes Mars, Jupiter et Saturne, consistant
dans un épicycle se mouvant sur un déférent, et un autre mode,
pour les planètes Mercure et \\''iuis, consistant dans un épicycle
dont le centre est fixé sur un rayon mobile allant de la Terre au
Soleil. On ne sait plus trop pourquoi les Anciens ont placé Mars.
en opposition, à une dislance supérieure à celle du Soleil, et
pourquoi ils ont privé Vénus et Mercure de leurs phases princi-
pales en les faisant passer en derii du Soleil à leurs deux con-
jonctions, en sorte qu'on devrait observer aujourd'hui, avec nos lu-
nettes, deux genres différents de passages sur le Soleil. C'est qu'on
oublie le mouvement diurne au(piel participent tous les astres sans
exception, et auquel toute théorie doit satisfaire aussi bien qu'au
mouvement de circulation autour du Soleil. Les Anciens n'ont
jamais perdu de vue la ni'cessilé de représenter ces deux ordres de
mouvements à la fois. S'ils avaient fait abstraction du premier,
comme Tvcho dans son malheureux essai, il leur aurait été facile
d'obtenir une représenUition géométriquement parfaite du monde
solaire en appliquant, à toutes les planètes, une des deux solutions
que nous offre la théorie du mouvement apparent. Voici les deux
solutions.
Soient P une planère, A la Terre, Ble Soleil dans leurs positions
réelles {fii:. 27). Si nous transportons la Terre de A au centre, en B,
et le Soleil [>ar conséquent de H en C, on n'alti-rera pas les directions
observées AB, AP (les seules choses que nos sens nous fassent
DERNIER MOT SUR LE SYSTEME DU MONDE DES ANCIENS. ICI
apprécier), pourvu que nous transporlions aussi la planète de P en P'
sur la droite PP' égaie et parallèle aux déplacements AB de l'ob-
servateur et BC du Soleil. Pour tenir compte des deux mouvements
de révolution, il suffira donc de faire marcher la planète P' autour
du centre mobile P, dans un épicyclc de rayon PP' dont le centre P
parcourra uii cercle déférent décrit, autour de B, avec le rayon BP.
Fig. !!;.
P
C'est la solution que les Anciens ont appliquée aux planères e\lc-
ii'ieures, sauf qu'ils ont laissé indéterminés les rayons BPetPP'dont
le rapport seul est fixé par les observations ; de plus ils ont profité de
oetle indétermination pour satisfaire à une condition que nous allons
faire connaître. Mais, à cause de cette condition même, cette solu-
t^îon était inapplicable aux planètes intérieures.
On peut aussi transporter BP parallèlement à lui-même en CP',et,
CîOiTime BP est constant, cela revient, pour Tobservateur transporté
Cîn B, à faire circuler la planète autour du point mobile C dans un
^pîcycle de rayon CP' égal à celui de son orbite réelle. C'est le
système que les Anciens ont appliqué aux planètes intérieures en
{)rofitant de l'indétermination des rayons BC et CP', dont le rapport
seul est fixé par les observations, pour satisfaire à la condition sus-
dite. A cause decette condition même, cette seconde solution n'était
j)as applicable aux planètes extérieures. D*ailleurs Tune et l'autre
c^onduisent, pour la parallaxe annuelle, aux formules dontnousnous
servons.
Cette condition impérieuse, c'est qu'il n'y a pas d'autre moyen
^e communiquer à tout le système planétaire et aux étoiles le mou-
vement de rotation diurne, en laissant la Terre immobile, que d'at-
l^acher tous ces astres à diverses sphères transparentes concentriques.
loi
LIVRE II. — CHAPITRE IX.
cmboilécs Tune dans l'autre, loiirnanl autour du même axe cl re-
cevant de la dernière, celle qui porte les étoiles fixées comme des
clous dans sa concavité, un mouvement de rotation parfaitement
imilbrme. 11 faut se représenter Tépicvcle de chaque planète comme
un cercle monté sur une tige qui glisserait dans une rainure de sa
Kig. a8.
sphère propre. Il y avait ainsi une sphère ou un ciel de cristal par
planèle, et une sphère particulière pour les étoiles : c'est ce que j'ai
taché de représenter par \di fig, 28. Mais il fallait avant tout que
chaque planète put se mouvoir sur son épicycle sans heurter et
briser la sphère suivante.
Cette condition impérieuse de ne pas laisser pénétrer une planète
dans le ciel qui la suit sera satisfaite, pour les planètes extérieures,
par le premier système de déférents et d'épicycle. Chose curieuse,
elle conduit, pour Mars(yî«^. 29), à une construction démentie par
les observations modernes. Ici — =: -^. Ptolémée a donc dû mettre
r iD
Mars en opposition plus loin de nous que le Soleil, tandis qu'il en
est deux fois plus près (').
(') Cette erreur a clé signalée parTycho, mais on n'a jamais su comment le cé-
Irbre Astronome a pu constater, par des observations faites à l'œil nu, que Mars
vu opposition est plus près de nous que le Soleil.
DERNIER MOT SUR LE SYSTÈME DU MOXDE DES ANCIENS. Io3
Mais, pour les planètes intérieures, Tobligation de ne pas les lais-
ser pénétrer d'une sphère dans l'autre a conduit les Anciens à adop-
Fig. 29.
.^< «2»
\%
\ -.
1
i't
:v.^L'-?i^4,
fer le second système, et même à reporter le centre de l'épi cycle de
chacune de ces planètes sur le rayon BC, entre C et B, tout en con-
servant, bien entendu, le rapport — (yî«^. 3o).
Fig. 3o.
B K V '
M
X
\
4 -
\-^
"n V ^ "*'
HC
Or c'est cela qui supprime presque toutes les phases de ces planètes.
On sait combien Galilée, en les observant pour la première fois
*ivec sa lunette, resta surpris devant ce phénomène imprévu ('). Il
(') On prétend pourtant qu'un auditeur de Copernic lui avait posé cette diffi-
loi LIVRE II. ~ CHAPITRE IX.
n'osa publier sa découverte que sous le voile d'un anagramme :
Hœc immatura a me j anx frustra leguntur, o,y.
«
« C'est en vain que je contemple ces phénomènes : la question n'est
pas encore mûre pour moi. » Il en lit connaître plus tard le sens par
ce joli vers, lorsqu'il se fut bien assuré de l'interprétation des
faits :
Cynthiœ figuras emulatur Mater amorum.
Les Anciens auraient bien facilement rendu à Mars en opposition
sa vraie place et à Vénus toutes ses phases, s'ils n'avaient pas craint
de casser leurs cieux cristallins ( * ).
Certes ce n'est pas la complication des excentriques ou des épi-
cycles qui a dû effrayer les modernes novateurs. Copernic lui-même
et ses successeurs avaient pieusement conservé les excentriques.
Tout cet échafaudage géométrique, y compris les épicycles de la pa-
rallaxe annuelle, se réduit, en analyse, à quelques termes périodiques
exprimés par des sinus ou des cosinus : or, sous ce rapport, nos
théories modernes sont bien autrement compliquées. Ce qui a fini
par choquer réellement quelques bons esprits, c'est l'absurdité in-
hérente au mécanisme imaginé pour reproduire l'universel mouve-
ment diurne, mécanisme indispensable quand on pose en principe
rimmobilité de la Terre; ce sont ces cieux de cristal emboîtés, rece-
vant la rotation nécessaire d'un premier mobile, à peu près comme les
rouages d'une horloge, et fort exposés à être cassés par une planèle
mal placée ou par une comète vagabonde, alors qu'il suffisait d'at-
cuhô : « Si votre systi'iiie était vrai, Nt'nus devrait présenter la même* surrc^sion
de phases que la Lune. » (Copernic, aurait répondu : « Si jamais on parvient à dis-
tinguer la fifîure de Vénus, je erois qu'on y rceonnaitra eflfeelivement toutes ces
phases»». D'ajirès le systènicMle'* \nriens, Vénus devait oseiller seulement entre Tin-
visibilité et la phase du premier ou du dernier quartier.
(*) Enfm il ne faut pas oublier que dans ee système, qui a été celui, non de
Ptolémcc seul, mais de toute l'antiquité, et qui était adopté universellement par
les moilernes il n'y a pas trois siècles, un épirycle n'était pas censé se mouvoir
parallèlement à lui-même pendant que son centre décrivait le déférent. Pour les
Anciens, les choses se pa^^saient comme si Tépicycle était porté par un rayon en
forme de bras, glissant dans une rainure de. la sphère. Dès lors cet épicyclc tour-
nait autour d'une normale au plan de cette rainure, et la planète ne devait plus
se mouNoir sur cet épic>cle avec la vitesse du Soleil sur son orbite, mais avec
M vitesse synodique par rapport au Soleil.
DERNIER NOT SUR LE SYSTÈME DU MONDE DES ANCIENS. lo5
Irîbuer le mouvement de rotation diurne à la Terre pour faire dis-
paraître cet étonnant artifice.
Des géomètres aussi profonds que l'étaient les Anciens, depuis
Platon, Archimède, jusqu'à Euclide et Apollonius de Perge, etc.,
auraient certes reconnu bien vite le vrai système du monde dont
tous les éléments étaient dans leurs mains, et que proclamaient
d'ailleurs quelques dissidents, s'ils n'avaient dû avant tout assurer
ù la Terre son immobilité, sorte de dogme naïf, solidement ancré
dans le sentiment de tous par la tradition et le témoignage de nos
sens. Ilafallu, vers l'époque de la Renaissance, un siècle de grande
navigation tout autour de notre globe pour dissiper ces antiques
rêveries et bien faire sentir que la Terre, loin d'avoir toute l'immen-
sité et l'importance qu'on lui attribuait, était au fond bien petite,
comme l'écrivait Christophe Colomb à la reine d'Espagne.
INTRODUCTION DE LA MÉC.VMQl'E DANS l'aSTRONOU I E. I07
LIVRE III.
INTRODUCTION DE LA MÉCANIQUE DANS L'ASTRONOMIE.
Jusqu'ici rAstronomJe a été purement géométrique. On ne
croyait guère avant le xvii*^ siècle que les mouvements célestes, si
P^faits, absolument perpétuels, pussent rentrer dans le domaine
"c la Mécanique des corps terrestres. Mais les lois expérimentales
^^ Kepler vinrent montrer que ces mouvements n'étaient rien
'^oins que parfaits : il leur manquait à la fols l'uniformité et la
^Tcularilé. Quant à la perpétuité, qui restait seule pour les dif-
•érencier des mouvements terrestres, les expériences de Galilée
siir la chute des corps, et surtout celles d'Huygens, plus délicates
encore, sur le pendule oscillant, avaient fait comprendre que si les
Mouvements terrestres finissent par s'épuiser, c'est la suite, non
d'une infériorité de nature, mais des résistances que nos méca-
nismes et nos mobiles éprouvent ici-bas. Plus on atténue ces ré-
sistances et plus les mouvements, une fois imprimés, durent. Ils
persisteraient donc indéfiniment si l'on pouvait réaliser, sur notre
globe, les conditions dans lesquelles les mobiles se trouvent dans les
espaces célestes, c'est-à-dire un vide absolu, indéfini, et l'absence
<le tout choc, de tout frottement. Cette dernière différence entre les
astres et les corps terrestres s'évanouissait à son tour pour faire place
^ l'dée de l'inertie de tous les corps de la nature, lesquels sont par
^"'^-mêmes incapables de modifier leur état de repos ou de mou-
^'^nicnt et qui ayant à un certain moment, en vertu d'une cause
9«eJconque, reçu une vitesse dans une direction donnée, se
'''^^uveiit indéfiniment dans cette direction et avec cette vitesse, à
^''is qu'une cause étrangère, une force, n'intervienne pour iii-
^'"*rpeuà peu cette direction et altérer cette vitesse. Le mou-
Io8 LIVRE III. — CHAPITRE X.
vement curviligne des planèles ne prouve donc qu'une chose,
c'est qu'ayant été primitivement mises en mouvement par une
cause quelconque dont nous n'avons pas à nous préoccuper, elles
sont, sous nos yeux, sollicitées par des forces dont il faut lâcher de
connaître, non pas l'intime nature, mais la direction et l'intensité.
IXTI£RPRET.\T10N MECANlQUi: DES LOIS DE KEPLER. 10()
CHAPITRE X.
nTEHPRÉTATION MÉCAMQUE DES LOIS EXPÉHIMENTALES
DE KEPLER. — PARTIE SYNTHÉTIQUE.
- ■—>»>»
Loi de la force attractive du SoleiL
1a première loi expérimentale, celle d'après laquelle les aires
^t^crilcs par le rayon vecteur d'une planète, comptées y comme le
iont les Astronomes, autour du centre du Soleil, croissent pro-
portionnellement au temps, montre que cette force est constam-
iiKMii dirigée, non pas vers un point idéal comme le centre des
<^'pic\cles ou des excentriques des Anciens, mais vers le centre d'un
<^orps matériel, le plus grand de tout notre système.
La troisième loi, combinée avec le plus simple théorème d'Huy-
r^ens sur la force centrifuge, nous apprend que la force qui pousse
^''s planètes vers le Soleil, ou en vertu de laquelle le Soleil attire
'^*î> planètes, varie eu raison inverse du carré des distances. En
•'^fet, les orbites des planètes étant à peu près circulaires, la
'orce qui retient dans son orbite une planète de distance r et de
Vitesse \^ aura pour expression, 'en négligeant l'excentricité,
F— ^ _ 4^
/ "~ T^ ■
^^'ï* une autre planète on aura de même
' ^^après la troisième loi (p. 91),
/__ — — — K •
Fr» = F'/'== 4i:'K = consl.
1 lO LIVRE III. — CHAPITRE \.
Signification mécanique des constantes de Kepler.
Cela nous donne immédiatement le sens mécanique de la con-
stante keplcrienne K quand elle est multipliée par 4'^^- En cQet F,
relatif à la distance r, est l'accélération produite par Faction so-
laire, c'est-à-dire la vitesse imprimée à la planète vers le Soleil au
bout de chaque unité de temps. Puisque F =: — -^ > cette vili^^si»
ne dépend pas du mobile lui-même, petit ou grand, mais seule-
ment de sa distance /*, en sorte que, si toutes les planètes étaient
ramenées à une même dislance i du Soleil, sans vitesse acquise*
elles marcheraient vers lui avec une même accélération égale à
4t:2 K. Or, en prenant le jour pour unité de temps et la distance
de la Terre au Soleil pour unité de distance, nous avons trouvé
logK 1,87480—10
Ajoutons
Iog4~- I , V^SÔ
Ioj;47:*K 6,47116—10
nous aurons 4*^*1^ = 0,0002959. Cela veut dire que si une forw
constante, de cette énergie-là, agissait un jour entier sur un mo-
bile quelconque, elle lui communiquerait, au bout de ce laps do
temps, une vitesse de 0,0009.959 par jour (* ).
Si on veut prendre le mètre et la seconde pour unités, il l'au*
multiplier ce nombre par celui qui exprime la dislance de la Terreau
Soleil, à savoir 234o5 x 6378393™, etiediviserparlecarréde 86400*.
On trouve o^jOoG. Ainsi Tespace parcouru, au bout de la pre-
mière seconde, par Tune quelconque dos planètes placées san>
vitesse initiale à la distance i du Soleil, ne serait que de S"".
L* attraction agit sur toutes les parties du corps attiré.
Mais voici ce qui relève singulièrement le rôle mécanique de
cette force. Puisque toutes les planètes grosses ou petites
(•) Ko ri^aliuS un corps lonibiint vers le S<»IcmI, de la flislanre i, serait «^oumi» à
une force progressivement croissanle, et acquerrait, au bout d'un jour, une viîc««
plus grande que 0,000 •.»().')().
INTERPRETATION MECANIQUE DES LOIS DE KEPLER. 111
l'éprouvent de la même manière, quelle que soit leur masse, il faut
qu'elle agisse sur chaque parcelle de matière avec la même inten-
sité. La quantité de mouvement produite vers le Soleil est donc,
pour chaque planète, proportionnelle à sa masse, et il en serait de
même de la pression que chaque planète exercerait sur un obstacle
qui l'empêcherait de se mouvoir vers le Soleil. La mesure de cet
effort énorme est le produit de l'accélération par la masse, c'est-à-
dire itz^Km,
La nature terrestre ne nous offre qu'un exemple d'une force
pareille. C'est la pesanteur, en vertu de laquelle un roc ou un
grain de poussière, une pièce d'or ou une plume tombant dans le
iHcle, acquièrent au bout d'une seconde la même vitesse
G = 9", 7981 (à l'équateur), en sorte qu'on est conduit à exprimer
par m G la pression P exercée par un corps de masse m contre
l'obstacle qui l'empêche de tomber vers le centre de la Terre.
■
L'attraction est proportionnelle à la masse du corps attirant.
La troisième loi de Kepler s'applique aussi aux systèmes secon-
daires formés autour de chaque planète par ses satellites. Ces
planètes sont donc elles-mêmes des centres de force, et l'accélé-
ration due à l'une quelconque d'entre elles, ayant K' pour con-
stante keplérienne, aura pour valeur ^t^'^YJ à la distance i. Or la
force que Jupiter, par exemple, exerce autour de lui sur ses
satellites doit s'étendre au Soleil lui-même et bien au delà. Si
donc le Soleil et Jupiter étaient abandonnés à eux-mêmes, à la
distance i, sans autre mouvement que celui qui naîtra de leur
action réciproque, ils marcheraient l'un vers l'autre, Jupiter avec
l'accélération 4 Tc'"^K due à l'action du Soleil, le Soleil avec l'accé-
lération 4 t^^ K' due à celle de Jupiter. Et si on plarait entre eux
un obstacle capable de les empêcher de se mouvoir l'un vers
l'autre, cet obstacle éprouverait deux pressions opposées, l'une
égale à /^tz^YJM. de la part du Soleil dont la masse M est sollicitée
par la force 4"'^^^.' due à la présence de Jupiter, l'autre égale à
411^ KM' de la part de Jupiter dont la masse M' est sollicitée par
l'attraction solaire 4'ï^'K.-
On admet généralement en Mécanique, du moins pour les corps
nis par des liens matériels, que l'action est égale à la réaction. S'il
112 LIVRE III. — CHAPITRE X.
en est ainsi on aura
en sorle que les forces allraclives des deux astres seront propor-
K' M'
tionnelles à leurs masses respectives. En d'autres termes -^ = ^;
par conséquent, les rapports des constantes képlérieunes de la
page 98 ne sont autre chose que ceux des masses des planètes k la
masse du Soleil. Celle de la Terre est donc ajgooô ^^ ^'^^ prend la
masse du Soleil pour unilc; celle de Jupiter est j^, et ainsi de
suite.
Attraction des sphères homogènes.
Il se présente ici une vérification remarquable. Les corps célestes
sont sensiblement spliériques, et c'est à partir de leur centre que
les astronomes comptent les distances. Puisque l'attraction du Soleil
ou dune planète sur un point extérieur est proportionnelle à sa
masse et en raison inverse du carré de la distance de ce point à
son centre, les déductions précédentes montrent <jue cette force
agit comme si la masse entière était condensée en ce centre. Il faut
donc examiner dans quel cas, pour quel genre d^attraction un^
masse spliérique homogène, ou composée de couches homogènes^
agit de celte façon sur un point extérieur. On démontre, en Mé — '
canique, que cela ne peut avoir lieu (jue si la loi de rattracliot"^
exercée par les diverses parties de cette masîse est de la forme \^^
ou de la forme — > A et B étant des constantes quelconques. 11 nt^
saurailétrequeslion ici de la première, car, dans le s>stème solaire,
les forces centrales diminuent au lieu d'augmenter avec la distance.
Reste donc la seconde, qui est justement celle que nous révèlenl
d'autre part les mouvements de notre système. On voit la porté^s==^
decette concordance. Si Ton trouvait que l'attraction d'une sphère,
résultant de l'attraction de ses particules, ne doit pas être estimée
à partir de son centre, et c'est ce qui aurait lieu pour une attrac-
tion — par exemple, il faudrait douter que les forces célestes qu(
nous étudions résultassent de l'action combinée de toutes les mi
lécules des globes qui les exercent.
INTERPRÉTATION MÉCANIQUE DES LOIS DE KEPLER. 1l3
Énoncé nouveau de la troisième loi de Kepler.
Ces notions nous permeltent d'exprimer les forces d'une
manière commode. Si on désigne par / l'attraction de Tunilé de
masse à l'unité de distance, celle d'un corps de masse M sera /M,
en sorte que, pour le Soleil et les planètes, au lieu d'user des
expressions /^tz'-K., 4^"^^ • • • » nous écrirons yM, //?/,/>/?/, . . . , en
désignant par M la masse du Soleil, par m, m', m", ... celles des
planètes. On remarquera du reste que nous ne connaissons jus-
qu'ici que les rapports yï' tt > • • • de ces masses (p. 98).
La conclusion à laquelle nous venons d'arriver montre que
l'énoncé de la troisième loi expérimentale doit être légèrement
modifié. En effet, si les masses des planètes sont lort petites par
rapport à celle du Soleil, elles ne sont pourtant pas négligeables, et
il convient d'en tenir compte. Considérons le couple en mouve-
ment formé par le Soleil et une planète, et supposons qu'aucune
autre force que leurs attractions mutuelles n'intervienne. Celle du
Soleil sur la planète sera ^^^; celle de la planète sur le Soleil sera
— •— T • LeSoleilétantlui-méme en mouvement, onfaitaisément voir
que ces deux astres décrivent des ellipses semblables autour de leur
centre de gravité commun. Pour réduire le Soleil à l'immobilité
et le prendre, comme le font les astronomes, pour origine des dis-
lances mesurées, il faut lui appliquer une force égale et contraire
à — î~-* Mais aussi, pour ne pas troubler les mouvements relatifs,
il faudra appliquer la même force à la planète. Celle-ci étant donc
sollicitée vers un centre fixe par la résultante /(M -|- m), on aura
dans le cas de laTerre
/(M 4- m)
dans le cas de Jupiter,
II. 8
Il4 LIVRE III. — CHAPITRE X.
et ainsi de suîle. Dès lors ce n'est pas
a^ a"
qu'il faut écrire, mais bien
a» a"
et Ton aura pour la constante du système solaire, en faisant a = i
et T = 365^,256,
m'
1^1 -S)
M,
m
Puisque ^ est égal à 7,_v,i7ni» il faudra retrancher, de la constante
que nous avions d'abord adoptée, sa 328000* partie, ce qui fera
sur le logarithme une diminution de i4 unités du septième ordre:
'«g -jï =^ 6,471 iC5i- ïo
-14
log/M - (),{7ii()38- 10
/M — 0,000295913
(i'esl cette constante que les Français désignent le plus souvent
par [JL et les Allemands par A"^.
Loi de la force déduite de la nature géométrique de l'orbite.
Il n'y a qu'un point faible dans cette théorie. Nous avons sup^
posé les orbites circulaires, tandis que ce sont en réalité des ellipses
dont le Soleil occupe un foyer; mais il est facile de montrer que,
dans une telle orbite, la force centrale varie en raison inverse du
carré des distances.
Le théorème d'iluygens, dans toute sa généralité, a pour expres-
sion
Frosy --- - >
INTERPRETATION MECANIQUE DES LOIS DE KEPLER. IID
F n^étant plus une force centrale , mais la résultante des forces quel-
conques qui agissent sur le mobile, ^ Tangle de cette résultante ( ^ )
avec la partie MN de la normale à la courbe, au point considéré,
sur laquelle se compte le rayon de courbure R en ce point, et V
la vitesse {jig- 3i).
Fig. 3i.
Appliquons-le au cas du système solaire où la force F est dirigée
suivant le rayon vecteur SM — : r, puisque les aires comptées autour
du point S sont proportionnelles au temps. Soit t l'élément MM'
de la trajectoire décrite dans l'élément de temps 6, en sorte que
V = r> et C le double de Taire décrite par rdans l'unité de temps?
L'aire élémentaire SMM' aura ainsi deux expressions égales
Jr<JCost^--=ilCô.
Par conséquent, pour le cas d'une force centrale, on aura
~ z^y zzi d ou Vn=:i
ô rcos4' Kcos'4'
Cette relation fera connaître la force quand on donnera la nature
de la trajectoire (par R et ijy), ou bien la nature de la trajectoire
quand la force sera donnée. Ici la courbe est une ellipse dont le
Soleil occupe un foyer. Or, dans une telle courbe, Rcos'^[»=/?
demi-paramètre. Donc
¥r^ :=- — :=: const.
P
Ainsi F varie bien réellement en raison inverse du carré de la
(') C'est le complément de l'angle I, p. ii5, t. I.
iG
LIVRE III. — CHAPITRE X.
distance, et tout ce qui précède se trouve justifié. Nous nous Irou-
Aons encore ici en présence d'un cas où la théorie, déduite de lois
expérimentales, en élargit singulièrement la portée. Rcos''ir=y>
n'appartient pas seulement à l'ellipse, mais aussi aux paraboles
rapportées au fover, et aux branches d'hyperbole tournant leur
concavité vers ledit foyer. Ainsi toutes ces courbes sont des tra-
jectoires possibles dans le système solaire. On sait en effet que ie>
comètes décrivent des paraboles, ou du moins des ellipses leliement
<*\ccntriques qu'il est impossible aux observateurs de les dis-
tinguer d'une parabole.
Arrêtons-nous ici pour démontrer, à l'aide des formules du t. I
(p. 328), la proposition Rcos^'i^^/?.
Fi g. 3i.
Dans la//^. 32, où MX est la grande normale faisant Fangle i
a\ec le rayon FM --- /*, on a, par le triangle MDF,
sin<!/
COSA
DF
MF
ne — N r' sin X _ a — \ f siii À
ex a — \c î>inÀ
c --- e.
a
Desin'i-— ^cosA on tirecos'i=:y 1 — e^cos^A = ^r «Or onavu que
H -- -;(i -6> M;
a-
lonc
H cos'^ --_
I\ ces' it -.
\2
\{l — 6'-)—- /i,
O
C) n esl ici la pclite uoriuulo.
INTERPRÉTATION MÉCANIQUE DES LOIS DE KEPLER. II7
II est bon d'examiner l'expression de R cos'i. Puisque
r^=:a — exj r' ^= a -h ejc et x ::zi N sin ).,
on aura
donc
R cos'> = — —r-l
a \r a
et, comme
il vient
H ces 4/
\ r al W* a !
en désignant ici par [jl la constante (M -\- ni)/.
Étant données la vitesse et la direction du mobile, déterminer
sa trajectoire.
Déterminer l'orbite parcourue par un mobile de masse m, actuel-
lement placé à la distance r du Soleil, et animé d'une vitesse V
dans une direction inclinée de l'angle ^ sur le rayon vecteur.
La force centrale est (M -|- ni)/. Désignons-la ici par [x. La
dernière formule donne déjà le demi-grand axe a par-, puisque V,
/• et [X sont connus.
Si V- < ---> - sera positif, la courbe sera une ellipse.
a a ^ '
Si \- — -— , — X , la courbe sera une parabole.
a a
Si V* > — > -est néffatif et on a une hyperbole.
Il est facile d'obtenir R {/ig. Sa ) par la formule
yj ,.2
Kcos'J^ '
)
puisque r, V et ij sont donnés. On portera R sur la normale en MC ;
en le projetant sur MF, en MC, on auraR cos'i. En projetant MC
sur la normale, on aura, en MD, Rcos^ij^^: /i. Ainsi le point D
Il8 LIVRK III. — CHAPITRE X.
sera sur Taxe, et la droite DF en donnera la direction. Si on con-
struit le second foyer F', on aura Pexcenlricilé, que l'on déduirait
d'ailleurs de la projection de MD sur MF, ce qui donnerait />.
L'orhite sera donc entièrement connue.
Remarquez ici que l'espèce de section conique que doit décrire
le projectile est indépendante de l'angle <J^, c'est-à-dire de la direc-
tion où on le lance. Elle ne dépend que de la vitesse qu'on lui
imprime.
Pourrhyperbole, il ne peut être question ici que de la branche pour
laquelle R cos^'i est positif, c'est-à-dire pour laquelle ^ est un angle
aigu. C'est celle qui présente sa concavité au foyer où le Soleil est
placé. Pour l'autre branche, Rcos'^ est négatif.
Enfin, dans le cas de ces orbites à branches infinies, il n'y a pas
de temps de révolution. La troisième loi de Kepler subsiste encore,
mais sous une autre forme. Nous avons vu que
4Va' C-
T-
— [A
>
de là l'énonct' applicable à tous les cas : les aires décrites par le
rayon vecteur dans le même temps, pour tous les mobiles qui se
meuvent autour du Soleil, sont en raison des racines carrées des
paramètres de leurs orbites.
Autres orbites.
1° Si l'ellipse décrite par un mobile autour du Soleil avait son
centre et non son fover au Soleil, la loi d'attraction serait toute dif-
férenle. Les symboles adoptrs en Géodésie ( 1. 1, p. 3 27) donneraient
roos^* -f- ON cosX - N,
et, comme ON = Ne^cos)., on aurait
Par suite,
/•cos'}/ \(i - e-cos-X ) -^ -^•
IN
n cos^o —
INTERPRÉTATION MÉCANIQUE DES LOIS DE KEPLER. ll(>
La formule d'Huygens pour les forces centrales deviendrait
a'^ii — e-)
Ainsi Tattraclion serait proportionnelle à la distance. Posons
-,—li, d'où C' — [La*{i — e-).
Comme, d'autre part,
L« — ^ ?
il en résulte que
211 / —
La durée de la révolution serait la même pour toutes les pla-
nètes. Si les orbites étaient circulaires et couchées sur le même
plan, le mouvement du système se réduirait à une simple rotation
avec une vitesse angulaire égale à y/jji. Les vitesses linéaires seraient
^/jx.r, tandis que dans notre système elles sont i/^ 5 ce qui dif-
fère beaucoup d'une rotation.
L'attraction newtonienne prend cette forme remarquable à
rintérieur d'une sphère homogène ('). Si la densilé de cette sphère
était celle d'un gaz ou d'une simple nébulosité excessivement
rare, des corpuscules très denses qui se mouvraient à l'intérieur
décriraient sensiblement des ellipses concentriques à la sphère,
avec une même durée de révolution.
2° Si l'orbite était une spirale logarithmique, A, complément de
l'angle constant I sous lequel cette courbe est coupée par le rayon
vecteur, serait constant lui-même. Or on a, pour toutes les courbes
(t. I, p. ii5),
j dr j dr ^ , ., , r^ ds
dS:=:-. — -y dv =: C0t6, dp — — d^ -^ dVy R =z: ->-j
sm^ ^ T7 r T ^
(* ) En effet, pour un point placé à l'inléricur, à la distancer du centre, l'altrac-
tion des couches sphériques de rayon > r est nulle ; seule celle de la sphère de
rayon r, proportionnelle à sa masse -~ r* et en raison inverse de r', subsiste. On
ô
voit que cette attraction est/ ^ irr.
lao LIVRE III. — CHAPITRE X.
et comme ici dij = o, on aura
R= '•
COSiJ'
C*
L'équation Fr^= rr rr devient donc
* n ces' ^
F= ^
r^cos-i}''
par suite, la force centrale est inversement proportionnelle an cube
de la distance. Bien que le mobile décrive une infinité de révo-
lutions autour du centre, le temps au bout duquel il l'atteindra est
fini, puisque Taire totale décrite par le rayon vecteur, c'est-à-dire
rintégrale, de /• à o, de ^r^rfi^ = ^/v/rcot»} est finie cl égale
à jT^^cot'}. En désignant Fr' par [x, ce temps serait ^ — -
I y jA siny
3° Supposons enfin qu'un mobile parcoure une branche d'hyper-
bole et que le contre de force soit au foyer extérieur. Dans ce
cas ♦} serait obtus, cos»]^ négatif et Ton aurait
ri • ^*
~ p
La force centrale serait bien inversement proportionnelle au
carré de la distance, mais répulsive. Nous en trouverons une
application dans la théorie de la figure (le»s comètes.
INTEGRATION DES EQUATIONS DU MOUVEMENT. Z2l
CHAPITRE XL
INTEGRATION DES P:QUATI0NS DIFFÉRENTIELLES
DU MOUVEMENT.
On adoptera ici, pour poser les éqiialions dinerentielles du
'^ouvemejit, la décomposition de la force centrale indiquée par
"aclaurin suivant trois axes rectangulaires. Prenons le centre du
^oioil pour origine et désignons par jr, >*, z les coordonnées du
'Mobile, par r son rayon vecteur, de sorte que
n :=. JC^ -^ y^ -^ Z\
doù
/• dr :— X dx +- Y dv -^ z dz,
J-os composantes de la vitesse V suivant les trois axes seront
dx dv dz
^^ CfXMi donne
cU ' dt ' dt '
\ y : . \
'-■*^s cosinus des angles du ravon vecteur avec les trois axes
X y z
— > — ï —
/• /• /•
- la posé, désignons par [jl la force centrale /{^l -i- ni) à la dis-
^^~^ I ; cette force sera, à la distance r, ' , » et ses composantes sui-
^ les trois axes seront
lix |xr \i.z
""a ' — T ' ~1
112 LIVRE III. — CHAPITRE XI.
Comme celle force, dirigée vers l'origine, lend à diminuer les
coordonnées du point altiré, on aura, pour les équations différen-
tielles du mouvement,
d'x jir
dt''
i-'
d'-v
^y
dt'
- 7.Ï '
d-z
a^
dt^
dont rintégratîon complète introduira six constantes arbitraires.
Elle s'eflectue aisément en termes finis.
Ajoutons les équations après les avoir multipliées respectivement
par 'idXy idj\ idz. L'intégration donnera, en tenant compte de
l'expression précédente de rdr.
bi<
^di) ~^ \ 'di ) '^\~di^ " ~~J r»
ou Dien
r
Il étant une première constante arbitraire. Nous avons déjà obtenu
cette importante relation par la voie synthétique, car nous verrons
(iiie h .— — -•
' a
Retranchons la première équation de la deuxième après les
avoir multipliées respectivement par x et >', de manière à éliminer
les seconds membres; on aura
X d^v - Yft^r
—^n? — ^ °'
dont l'intégrale est
xdy — ydx
- _• - _* — c
dt
c étant une nouvelle constante. On aura pareillement, en allant
de Taxe des v à celui des :;, puis des z aux x,
y dz z dy
z dx - X dz
dt
INTEGRATION DES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT. 123
On élimine les différentielles en ajoutant ces trois équations après
les avoir multipliées respectivement par z^ x^ y^
c'est l'une des intégrales cherchées. Elle représenta le plan de
l'orbite passant par l'origine. Si l'on désigne par N la longitude du
nœud ascendant comptée dans le sens xy à partir de l'axe des x,
et par i Tinclinaison, les formules du tome I, p. 55, donneront,
en posant
C- izz c- -f- c'- -t- c"-,
c . . , d . , d
ces i =z — , sin i sin N ::= ^ > sin i ces N := — ^- •
1-* Cl Cl
Les formules de la page 56, t. I. montrent que xy — yjd ou, en
rétablissant le rayon pris pour unité, résiné sin 6' sin (A' — A) est
le double de la projection du triangle aboutissant aux sommets C, (7.
Il en sera de même dea:(>^ — y') — y(^x' — x\ Par conséquent, en
passant aux différences infinitésimales, xdy — ydx-.:= cdt est la
projection du double de l'aire décrite dans le temps dt par fe
rayon vecteur. De même, c' dt et d' dt représentent les projections
sur les ïleux autres plans coordonnés du double do cette même
aire.
Ces projections étant des constantes, ilen sera de même du double
de l'aire elle-même, qu'on peut désigner par C dt. On voit que ce
résultat n^pond à la première loi de Kepler.
En désignant par ^la longitude dans l'orbite, nous aurons comme
intégrale première la relation
(i) r-dj^—Cdt,
dont nous avons déjà fait usage.
Effectuons les carrés des expressions de c, c', d' en la forme in-
diquée, et en même temps ajoutons et retranchons
x^dx^^y^'dy'^-z'^dz-
dt' ^
on aura
'kxydxdY -- ixzdxdz -^ lyzdzdy -^ x^dx^ -^y^dy^ -f- z^dz^ _ ^
î'*4 LITBE III. — CHAPITRE XI.
c'esl-à-dîre
^ dl '
Cette équation devient, avec la valeur de dt tirée de la relation (
pt en mettant -^ -^ h pour \ -.
Irfp) ^ci'^ -ih^-'^^
relation où Ton reconnaît aussitôt Téquation diflerentielle d
roniques rapportées à leur fover et à leur grand axe (M
( — I — r' - — r^ — /- ;
ridentification s'obtient en posant /i = — — et C- =i p\x, L'int
ji^rale sera donc, avec la constante nt.
3)
I — f c*OM j — ro
-L
C'est la seconde loi de Kepler.
L'intégrale de r'd^^=Gdi étendue aune révolution entière
diirJ'e T comprend le double de Taire de l'ellipse et devient
3ra-\ I — e- -=CT.
IJevons au carré et remplaçons C- par/>uL, on aura
n étant le moven mouvement -'^ exprimé en parties du rayo
C'est la troisième loi de Kepler.
L'équation différenlielle (9.) en r et /, quand on v met pour /t
(* ) On robtient en éliminant v entre l'équation tics coniques ecos i' - — i
sa (Jiiïérentielle « sin v = ^ -;- -
INTEGRATION DES EQUATIONS DU MOUVEMENT. IVI)
O leurs valeurs, prend la forme (nous reproduisons ici le calcul
»W la p. 4t>)
-y-T] ~—'iar — r' — ap^=^a'e* — [a — r).
Pour extraire la racine carrée, posons
«5j a — /• :=: aef ces // ;
nous aurons
a dr
^r (5) donne
rclr^=^a{i — e ces // ) ae sin u du ;
piii' conséquent Téquation précédente devient
rt i / - 1 1 — e ces u )du=z dt^
V 1^
*^ ^"Li, en remplaçant i / — par -
^*laiii une constante dont nous verrons la signification tout à
' neui-e. C'est r intégrale que Kepler a
^'de du même angrle auxiliaire //.
obtenue géométriquement à
Lorsqu'on fait ii = o, Téquation (6) se réduit à ^ ::= 0; comme
^ ^^=== a^i — ^cosw) devient alors r = a — ae^ rayon vecteur du pé-
**'"élîe, on voit que 0 est la date du passage de la planète en ce
^^^-^'nt de Torbile. Si d'ailleurs on désigne par ^q la longitude
^^^Venne à l'origine du temps t, par m l'anomalie moyenne, on
Slji-\- nt — m =L //i r= /i (^ ^ — 0), d'où J^^ — m r^ — wO.
'^ïs six constantes arbitraires se ramènent donc aux six éléments de
^'^l^ite adoptés par les astronomes, à savoir
iiy e, lu, ^oj '\ N-
* ^-> ur exprimer, en fonction du temps et de ces constantes arbi-
^**"c?s, les coordonnées du mobile, prenons d'abord pour axe des
120 LIVRE III. — CHAPITRE XI.
od la trace du plan de Torbîte sur le plan primitif des x, y. Nous
aurons, par les formules de la page 76,
or' :=rcos(4^— N),
y nz rcosi sin(^ — N),
z izi rsinisin(4^ — N).
Faisons tourner maintenant d'un angle N les axes des x' et desy
autour de l'axe des z^ de manière à leur rendre leur première
position; il viendra
X .. r[cos(4;^— N)cosN — sin(^ — NjsinNcosi],
y : r[cos(^— N)sinN 4- sin(^— N)cosNcosi],
z - r sin(4^ — N)sini,
Les coordonnées polaires r et 41.se calculent par les formules sui-
vantes :
o}nr — [A,
// - esioM =: /i(^ — 0),
/• -:_ a(i — ecosw),
/i -t- e
4^::^ t'4-Tii;
elles sont donc fonctions du temps et des constantes a, e^ m, 8. L^s
six constantes «, e, m, 0, / et N étant impliquées dans les expres-
sions de x^ y^ Zj celles-ci peuvent être considérées comme le>
intégrales des équations différentielles proposées; de fait, en les
différentiant deux fois par rapport à t^ on retombera sur ces
équations.
■ »)»»«
PERTURBATIONS DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE. I27
CHAPITRE XII.
PERTURBATIONS DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE.
Si les planètes n^avaient que des masses insignifiantes, comme
les comètes ou les planéticules qui circulent entre les orbites de
Mars et de Jupiter, les équations du Chapitre précédent suffiraient;
les mouvements autour du Soleil s'accompliraient dans de véri-
tables ellipses et les éléments de ces ellipses seraient de véritables
constantes. Nous avons vu que tel n'est pas le cas de la nature ; les
éléments des orbites varient tous progressivement avec le temps sauf
les grands axes. Tl y a plus, lorsqu'on a déterminé ces variations
comme nous l'avons fait, à l'aide des plus anciennes observations,
et qu'on en tient compte dans le calcul des positions d'une pla-
nète quelconque sur l'ellipse qu'elle est censée parcourir actuelle-
ment, on trouve, entre l'observation et le calcul, de petits écarts,
périodiques il est vrai, mais nullement négligeables. Et, comme les
masses que nous venons de déterminer pour les planètes pourvues
de satellites ne sont pas excessivement faibles, celles de Jupiter et
de Saturne surtout, il faut en conclure que les variations susdites
des constantes, ainsi que les écarts périodiques entre la théorie ellip-
tique et les observations, sont le résultat des attractions planétaires
que nous avons jusqu'ici négligées. Newton, le premier, en a tenu
compted'une manière toute géométrique. Il décomposait l'attraction
du corps /n' sur le mobile étudié m suivant deux droites, l'unedirigée
de /n en S, l'autre mP parallèle à m' S. La première composante
s'ajoute à la force centrale qui sollicite ce mobile m, et en altère
légèrement la loi sans troubler néanmoins l'uniforme description
des aires par le rayon S m; la deuxième ne troublerait pas le
mouvement de la planète autour du Soleil si elle était égale à l'at-
traction de m' sur S. La différence variable de ces attractions est
donc la seconde composante de l'action perturbatrice. Cette der-
nière doit être à son tour estimée suivant certaines directions telles
l'JlS LIVRE III. — CHAPITRE XII.
que la tangente, la normale à la courbe décrite, et la perpendiculaire
au plan de Torblte, de manière à permettre d'apprécier isolément
les effets de ses composantes. C'est aussi de cette manière que nous
chercherons à donner une idée des déviations si considérables que
la Lune nous présente par rapport aux lois du mouvement ellip-
li(jue. Mais cette voie toute synthétique ne peut être suivie bien
loin. Les savants géomètres du continent n'ont pas tardé à Taban-
donner pour celle de l'Analyse pure; ils ont complété les équation»
générales du mouvement par des termes exprimant les attractions
planétaires, puis ils ont procédé directement à l'intégration de ce<
équations au moyen de développements en série poussés jusqu'aux
termes qui cessent d'être appréciables aux observations. Nous de-
vons nous borner ici à poser ces équations et à indiquer quelques-
uns des résultats de ces immenses recherches dont l'ensemble con-
stitue la Mécanique céleste.
Équations différentielles du mouvement troublé.
Désignons par ///, /*, x^ r, z la masse^ le rayon vecteur et les
coordonnées de la planète étudiée: par m', /•', jc\y^ z' les mêmes
données pour la planète perturbatrice; par o' leur distance mu-
tuelle. Mous n'avons à tenir compte que de la différence des accé-
lérations imprimées par m' à S et à m, lorsqu'on les a décompo-
sées suivant les trois axes.
La première est *— ^ et sa composante suivant Taxe des x est
^,, ,' La deuxième est — < - > dont la comj)osante analogue sera
/>;|' ./.' _- r .
^^^rr ' — >7 On aurait de même les composantes suivant les deux
0 - 0 *
autres axes. Introduisons les différences de ces forces dans les
équations diff»''rentielles du mouNement, en prenant pour unité d^
masse celle du Soleil :
rt\r
f{ I - m \.r fm' [ .r' — ,r\ fm' .r'
lit' "
/» 0^ /'•» '
d'Y
f{ I — m » > fm'y v' y^ fm' y'
dr-
fr-z
f'i-m\z fm'\z'--z) fm' z'
dt^
,J ' 0'3 ,.»
PERTURBATIONS D L' HOl'VEaiENT ELLIPTIQUE. ISQ
Les trois couples de termes complémentaires peuvent être expri-
més simplement par les dérivées partielles d'une même fonction
de ces forces, prises par rapport à a:, ^et z. Celte fonction P,
dite fonclion perturbatrice, est évidemment
yW _ /m' (,r' X -h y y -h z' z) ^
car la dérivée de P par rapport à x, par exemple, est
/m' dV fm'x'
8'* dx r'' '
eu comme
S'- — ( x'
^xy^(y-yy'-^(z'~
^)%
on a
r/o' ./•' — X
dx 8'
La symétrie de la fonction P permet même de Tétendre à Tac-
lion perturbatrice de plusieurs planètes à la fois, m', m", ... en
'•crivant
f-i-z'z)
t>ès lors, les équations diflerentielles prennent la forme
d'X
f{\-\.m)x dV
dr '
' dx'
di-
/( 1 4- m ) y dV
/•» dy '
d-'Z
dl' ~
f(\-k-ni)z dP
/•=» dz
Ces équations, qui ne sont pas intégrables en lernies finis
^^'^me les précédentes, ne répondent plus, en toute rigueur, à
^'*^ orbite elliptique ni même à une courbe fermée; mais, par uno
'^^lon à laquelle se prête l'analyse à cause de la pelitcsse des per-
^"^bations, on peut les considérer comme représontanl le inouvr-
*^^lld*un corps dans une ellipse légèrement variable de forme el
. ^-* position.Pour nous contenter d'un simple à peu près, appliquons
^* les procédés d'intégration dont nous avons fait usage : on
U.
l3o MVRB III. — CIIAPITilE XII.
aura, par exemple, pour les aires
xd^Y— yci^x dV dV
dt' ' dy * dx
de
et, en représenlani ficlivennenl le second membre par -j-> on aurait.
en înl*'*p:rant,
rdy — yd.r -=r. cdt. . .
La combinaison des trois intégrales premières de ce genre donne-
rait, pour Tune des intégrales définitives,
cz -\- c X -\- c" y — o,
de même forme que celle du mouvement elliptique et représenlani
encore un plan, mais un plan incessamment variable avec les quan-
tités r, c'y r", qui ne sont plus ici des constantes. De uiême, on
poursuivant cette marche, on obtiendrait pour la trajectoire une
ellipse, mais une ellipse variable de forme et de position avec le
temps.
L'intégration eflective fournit deux sortes de termes profondé-
ment distincts : les uns contenant le temps explicitement à ses
diverses puissances, les autres ne le contenant que sous les signes
sinus ou cosinus. Les premiers sont les variations séculaires df>
éléments; les autres sont des inégalités purement périodiques dont
les effets ne s'accumulent pas, et qui repassent par les mêmes
valeurs, tantôt positives, tantôt négatives, au bout de périodes plus
ou moins courtes.
Un fait capital est que les grands axes ne présentent que des
inégalités de seconde espèce, c'est-à-dire périodiques : leur*
expressions ne contiennent aucun terme proportionnel au temps.
Cesl ce qui explique Tinvariabilité des durées moyennes des révo-
lutions planétaires que nous avons signalée plus haut comme un
résultat de plus de 2000 ans d'observation.
Influence d'un milieu résistant.
Si pourtant Tespace céleste était occupé par un milieu résis-
tant (•), sa résistance, proportionnelle au carré de la vitesse.
(•; II faudrait qu'il échappât à la loi géoérale de rallraclion newtonienne, m-
PERTURBATIONS DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE. l3l
serait exprimée par Q ( -î; ) i Q étant une constante relative à la
figure et à la densité du mobile. Sa composante suivant Taxe
1 • r^ f ds\^ dx ^-^da dx , ., ,
des X serait v ( ;/" ) ~7" ^" ^< ;7" tt" ' ^^ 1^ première, par exemple,
de ces équations deviendrait
d^x /(i -+- r}\)x dP ^ ds dx
lî^ ~~ '' 7^ ^ dr~^dt7ri'
L'intégration donnerait alors des termes séculaires pour les grands
axes ; ceux-ci diminueraient progressivement, et les révolutions
iraient en s'accélérant par reflet de la résistance du milieu. Le
terme final de ces variations serait la réunion de toutes les planètes
au Soleil et, par suite, la destruction du système.
La stabilité du système solaire repose sur Tin variabilité des
grands axes ou des révolutions sidérales. Comme celle-ci existe en
fait, il faut en conclure qu'il n'y a pas de milieu résistant, ou que,
si les physiciens ont besoin d'un étlier universel pour expliquer
les phénomènes de la lumière, cet éther est trop rare pour exercer,
même en 2000 ans, une action appréciable sur un système aussi
sensible à l'action des moindres forces que l'est le système solaire.
Les astronomes suppriment donc ce dernier terme quand il s'agit
des mouvements célestes. Il faudrait au contraire le conserver pour
avoir les équations du mouvement de nos projectiles dans l'air,
dP
et supprimer les termes -y- y . . . , parce que les actions mutuelles
de ces projectiles ou celles des corps voisins ne sauraient entrer en
ligne de compte.
Variations séculaires des éléments.
Nous nous bornerons à réunir ici dans un même Tableau les va-
riations séculaires des éléments des orbites des planètes à partir
de 1^50 : elles ont été déduites de la théorie et sont ainsi mieux
déterminées qu'elles ne le seraient par les observations.
trement ses diverses parties circuleraient isolément, comme les planètes, autour du
Soleil, et ne constitueraient pas un milieu proprement dit : de là la notion
d*un éther impondérable.
i3i
LIVBE III. — CHAPITBE 3LII.
Qnmé»
CxeMtricilé*.
-:-0, 0000199
— 9.0000540
— 0,00004^4
— 0.0000350
— O.OOOlSlG
— o,oooa4aa
—0,0000269
-T-o,ooooo56
4b périkelie.
— 9.28'
— i-"7
— 19- '
— 26.40
— 10.45
—27.58
- 4.49
- 1.18
ém
larliMliM
t
-^12
— *8
— 9
-r3
72
— il
— >2
— 17
-^ 6
-4
— 2
— w
- *)
-^ 3
-34
Mercure. o
Vénus o
La Terre .... o
.Mars o
Jupiter o
Saturne o
Iranus o
Neptune o
Pour éviter toute méprise, il faut aller un peu plus avant dans
cetle question. On est fondé à représenter l'excentricité de Jupiter,
par exemple, par o,o483835 — o,oooi3i6 (t), t représentant
des siècles, mais c'est à la condition de ne pas pousser trop loin
l'emploi de celle formule dans le passé et dans l'avenir. Elle
ne s'appliquerait plus en dehors de la période historique. S'il s'agis-
sait des périodes géologiques, où l'on compte par m illions d'années,
ces formules assigneraient aux excentricilés des variations telles que
les orbites des planètes s'enchevêlreraient les unes dans les aulres.
(le serait un inconvénient analogue à celui dont les Anciens se
préoccupaient tant lorsqu'ils choisissaient, pour l'éviter, certaines
combinaisons dVpicvclesel de déférenlsqui nous paraissent aujoa^
dliui singulières. La stabilité du svstème solaire serait compro-
mise. Mais, lorsqu'on envisage de telles durées, où l'histoire de
notre globe nous montre si clairement que les conditions astrono-
miques de la vie (excenlricilés cl inclinaisons des orbites) étaient
à |>eu près les mêmes qu'aujourd'hui, il faut pousser beaucoup
plus loin les développements de l'Analvse. Lagrange a montré que
c<-s varialions séculaires de l'excenlricilé et de l'inclinaison ne sont
pas indéliniment progressives; elles onl un caractère oscillaloin*
v.l restent enfermées, dans la suite des millions d'années, entre des
limites assez étroites. Laplace a fait voir que les sommes suivanl«*5
t *
m \ ae- -h ni \ a i
.'» __
t*l
m\ a laiii;*/ -T- m'\ fï'tanîr-r-^ m' \ «'lanç-T —
resteront toujours constantes tant que le svstème solaire ne sera
soumis qu'aux forces intérieures qui résultent des attractions mu-
tuelles des corps qui le composent. Or ces sommes sont actuelle-
PEETVRBATIONS DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE. l33
menl très petites : elles Tont donc été et le resteront toujours. Cela
lient aux conditions que nous avons signalées dans l'Introduction
du I*"^ Volume : i° Tisolcment du système solaire au sein de l'uni-
vers; a° les orbites des planètes sont à peu près circulaires,
très peu inclinées l'une sur l'autre, très éloignées les unes des
autres et, circonstance essentielle, 3" les mouvements s'y opèrent
dans le même sens. Nous pouvons même préciser davantage et as-
signer les limites entre lesquelles l'excentricité de l'orbite terrestre
restera toujours comprise, ainsi que les limites analogues de l'obli-
quité de Técliptique. Ces nombres-là ne doivent pas être perdus
de vue par les géologues qui cherchent, dans les conditions astro-
nomiques de notre globe, Pexplication des phases géologiques
qu'il a traversées (Chap. XXVII).
Inégalités périodiques.
La théorie permet d'en calculer les moindres termes. Pour en
donner une idée, nous consignons ici les principales inégalités de
la Terre, dues à l'action de la Lune, de Vénus et de Jupiter.
Lorsqu'il s'agit d'obtenir la position de la Terre pour une date
donnée, on calcule à l'aide des Tables les coordonnées elliptiques
^ et r pour cette date, en tenant compte, bien entendu, des va-
riations séculaires qui affectent les éléments. Puis on forme les
arguments suivants : longitude de la Lune — longitude du So-
leil; longitude moyenne de la Terre — longitude moyenne de
Vénus, c'est-à-dire 4j)4-/i'^ — -G — n" t\ longitude moyenne d*^
la Terre — longitude moyenne de Jupiter, etc. ; on prend ensuite
dans les Tables la valeur correspondante des termes suivants :
Ëquat. lun... -4-6',5s
/ -4- 5,0 s
Inégalités pro- \ —5,7 s
duites parvenus, i — 0,7 s
' —3,5 s
Inégalités pro- i
«fuites par Jupi- '|
ter
-f-7%1 s
s
— 0,1 s
— 2,0 s
n (C-0)
n [3(4^0
1^4 LIVBE III. — CHAPITBE SU.
et on en ajoute la somme à la longitude elliptique. De même, au
rayon vecteur elliptique R, on ajoute les termes suivants :
0,0<XX>2G3 C05 2 ( ^0 -r- /!/ — J^ — w'/ M I — [Xi
-T- u ,CK ooi 6i cos { ^'; -T- n*^t — '^i — n't ) il — jx" ) — . . . ,
formules dans lesquelles [x" et rx' désignent de |>etites corrections
dont les niasses adoptées pour Vénus et Jupiter pourraient avoir
besoin.
Ces mêmes termes nous montrent comment on parvient à déter-
miner les masses des planètes Mercure et Vénus, qui n'ont pas de
satellites. L'argument de la première inégalité due à Vénus indiqu»*
que la période de celte inégalité est la révolution synodique de
Vénus, c'est-à-dire de 584 j*>urs; il suffit donc de déterminer la
position de la Terre (ou du Soleil) pendant cette période pour
sui\re complètement la marche de celte inégalité, qui passera, à
291 jours d'intervalle, de — b^yO à -f- j',o. Si les observations
montrent que ce coefficient 5" doit être un peu augmenté ou di-
minué, on en conclura la valeur de la petite correction p-'qui devra
être appliquée à la masse supposée de Vénus. Mais c'est surtout
dans les inégalités séculaires de l'obliquité de l'écliptique, du péri-
hélie, etc., de l'orbite terrestre que se révèle le mieux l'influence
d'une erreur sur la masse de Vénus, et c'est par elles qu'on en dé-
termine le plus exactement la valeur, parce qu'ici les effets de celle
pelite force ^rallraction de Vénus sur la Terre) vont en s'accumu-
lant de siècle en siècle.
Quant à l'inégalité lunaire, dont la période est d'un moi$,
nous la déterminerons plus loin. C'est la seule qui puisse être
traitée à part dans cet Ouvrage; elle nous fera connaître la niasse
de l'astre perturbateur, la Lune.
CARACTÈRES DE l'aTTRACTIOX NE WTON I ENN E. i35
CHAPITRE XIIÎ.
CARACTKUKS DK L'ATTUACTION NKWTOMKNNK.
La loi de rattraction n'est pas susceptible de modification.
Nous avons vu que cette force agit sur toutes les particules du
corps attiré, qu'elle est proportionnelle à la masse du corps atti-
rant, et que son intensité varie en raison inverse du carré des di-
stances. La démonstration de cette dernière loi est fondée sur la
supposition du mouvement elliptique des planètes. Mais, en toute
rigueur, les planètes ne se meuvent pas dans des ellipses fixes et
fermées; on pouvait donc, dans les premiers temps, et avant que
les observations fussent venues, comme aujourd'hui, confirmer
les déductions les plus éloignées, les plus délicates de la théorie
de l'attraction, se demander si la forme -^ est bien l'expression
exacte d'une loi de la nature. L'exposant 2 ne serait-il pas une
simple approximation? Newton se posa à lui-même l'objection et
y fit une réponse péremptoire. Dans les orbites planétaires l'obser-
vation constate que le rayon vecteur le plus long suit, à 180" de
distance angulaire, le ra^on vecteur le plus court, ou du moins à
180® plus un très petit nombre de secondes (4 ^^"^ ^ pour la
Terre). C'est le phénomène de la variation de la longitude du péri-
hélie. Eh bien. Newton démontra que, si l'on voulait augmenter de
^seulement l'exposant 2 du dénominateur de ^y il en résulterait
que l'aphélie de la Terre, au lieud'ètre sensiblement opposé au péri-
hélie, dans la môme révolution, serait plus avancé en longitude
d'au moins i8i®,3o. En d'autres termes, le mouvement du péri-
hélie serait de plus de 3* à chaque révolution; cela ferait 3oo"
par siècle, tandis que cette variation n'est, d'après les observations,
que de 19'.
l36 LITBE III. — CBAPITBE XIII.
Il y a plus. Newton ayant calculé la part qui doit, dans cet im-
perceptible mouvement des périhélies, être attribuée aux attractions
planétaires, trouva à très peu près ce chiffre de i^. en sorte qu*il
ne reste rien, dans ce phénomène délicat, qui fasse soupçonner
une erreur, si petite qu'on le >oudra, dans la loi assignée à
l'attraction.
Les géomètres ont r ncontré plus d'un mécompte et n*0Dt pa$
toujours réussi du premier coup à rattacher, à cette loi, certains
détails délicats du mouvement des cor{>s célestes. Ils ont été plus
d'une fois tentés d'attribuer leurs insuccès à b loi elle-même, et
cherché en conséquence à la modifier par de petits termes addi-
tionnels; mais ils ont toujours fini par reconnaître que le mécomple
tenait à l'imperfection de leur anaivse. Eln b rectifiant ou en pous-
sant plus loin leurs développements, ils arrivaient au but sans
a%'oir rien à changer à la loi -4 • C'est ainsi que Newton lui-même
ne put trouver dans ses calculs, pour le périgée de l'orbite lunairet
que la moitié du mouvement obser\é. Mais Clairaut réussit, par
une analyse plus complète, à lever la difficulté, en montrant que le
terme auquel s'était arrêté Newton n'était que le commencement
d'une série dont les termes négligés doublaient la valeur du premier.
De même, lorsque les géomètres eurent prouvé rinvariabilitédes
moyens mouvements, ils se trouvèrent en face d'un phénomène
qui semblait en contradiction absolue avec cette conclusion : noQS
voulons parler de la grande inégalité de Saturne et de Jupiter.
Les obser\ations des Grecs et des Arabes, comparées à celles du
x%i* siècle, avaient établi que le mouvement de la première pla-
nète allait peu à peu en s'accélérant, tandis que celui delà seconde
présentait l'effet contraire. Lagrange lui-même échoua dans ses
efforts pour lever cette contradiction frap[*ante. On accusait déjà
la loi de l'attraction lorsque Laplace découvrit la cause, si long-
temps clierchte. dans ce fait <|ue les moyens mouvements de Jupiter
et de Saturne, tout incommensurables qu'ils soient en réalité,
approchent néanmoins d'une commensurabilité grossière, en ce
sens que deux révolutions de Saturne en valent cinq de Jupiter à
143 jours près, c'est-à-dire à -^ près de la dernière. Il résulte effec-
tivement de cette circonstance singulière une inégalité à longue
période, procédant suivant le sinus de cinq fois la longitude
CARACTÈRES DE l'ATTRACTION XEWTONIENNE. 187
moyenne de Jupiter moins deux fois celle de Saturne, qu'on n'au-
rait certes pas soupçonnée dans les mouvements des deux pla-
nètes. L'introduction de cette inégalité mit d'accord les observa-
tions des Anciens et celles des Modernes.
L'attraction est indépendante de l'état physique ou chimique
des corps.
L'attraction est indépendante de l'état physique ou chimique des
corps. Ainsi la masse incandescente et presque entièrement fluide
du Soleil et les masses relativement froides et denses des planètes
présentent à cet égard les plus grandes difi*érences, et cependant
rien, dans les phénomènes astronomiques les plus délicats, n'in-
dique que leurs attractions mutuelles soient réglées par autre chose
que leur quantité de matière.
La propagation de l'attraction est instantanée.
Elle ne se propage pas successivement dans l'espace comme la
lumière ou la chaleur, mais instantanément. Laplace a démontré
que, si l'attraction a une vitesse, celle-ci est au moins cent mil-
lions de fois plus grande que celle de la lumière.
L'attraction des corps célestes est identique avec la pesanteur.
Voilà donc une force que tous les corps du système solaire exercent
à toute distance dans l'espace céleste, et qui ne ressemble àaucune de
celles que nous mettons en jeu, sauf la pesanteur à laquelle nous l'avons
déjà comparée. Celle-ci, en efi'et, agit sur tous les corps, molécule à
molécule; le poids qu'elle leur communique ne dépend que de leur
masse; la vitesse de chute qu'elle leur imprime, du moins dans le
vide, en est absolument indépendante. Elle n'est interceptée par
aucun écran; elle règne à l'intérieur de la Terre aussi loin que
nous y ayons pénétré, et à l'extérieur aussi haut que nous nous
soyons élevés, sans qu'on ait pu, il est vrai, s'écarter assez du
centre de la Terre pour y remarquer une variation dépendante de
la distance. A la vérité, ce n'est pas un phénomène entièrement
simple, à cause de la rotation diurne de notre globe, mais il est
aisé d'en défalquer, comme nous l'avons fait au Chapitre XXIII
l38 LIVRE III. — CHAPITRE XllI.
du Tome V', la composaDte verticale de la force centrifuge.
Comparons donc ces deux forces. 11 suffirait pour cela de
ramener l'attraction de la Terre tt-k à la distance ( o ) du centre.
3^8000 ^» ^
( 3) désignant le rayon, et d*} introduire les unités courantes, le
mètre et la seconde, au lieu de la distance du Soleil à la Terre et
du jour mo}en. Mais comme cette attraction a été déduite des
mouvements de la Lune,, il sera mieux de reprendre entièrement
If calcul, comme Newton l'a fait, avec toute Texactitude que
Ton V peut mettre aujourd'hui. Soient m, m' les masses des deux
iistres, (l leur distance, T la durée de la réNolution sidérale de la
Lune : on aura
. 4 .. ff
Jim -r-m )— -yT"*
Si d est exprimé en rayons terrestres (p) (à Téquateur), l'attrac-
tion ainsi calculée sera relative à la distance (p) et exprimée en
parties de cette unité. Pour Tavoir en mètres, il suffira de multiplier
le résultat parla valeur de (p) en mètres, c'est-à-dire par 63-8393".
Nous verrons plus loin que la mesuredirecte de rf( distance de la Lune)
adonnérfr^ 60, 264(0)=^ —, et que T -- i':J,32i66o x 864oo*.
' ^^» l'jOOO ^ ' ^
D'ailleurs, l'action perturbatrice du Soleil a pour effet de réduire de
:7V- reflet de l'attraction de la Terre sur la Lune : enfin nous verrons
3.)-
ni
ciue m =^ s Il faudra donc multiplier le second membre par
* 00,7-^ ' ^
I -- TTT- et le diviser par i -i- -^ Voici le calcul de l'attrac-
lion de la Terre ramenée à la distance i p) de son centre :
log27.3:iir>6. . . . 1,1 3051 I<»g4-' 1,59636
Iog864oo 4. «Ho"»» log(H>,2Gi. . . 5,34018
I*»î;T 6,3:3oji ClogTs 7.15396— io
logT* i9,74G<>4 hij» JLlz 9,99465 i«»
81 ,7>.
358
l<»g ^^ 0,0411'H
logis» 6.80471
<»,99««7
CARACTÈRES DE l'aTTRACTION NEWTONIENNE. iBq
Ainsi Fattractioti céleste de la Terre à sa surface est. . 9,7965
L'intensité G de la pesanteur (t. I, p. 332) 9» 7981
Différence 0,0016
L'écart est au-dessous de Terreur à craindre par suite de Tincer-
tiliide de cL c'est-à-dire de±: 3. /^ — = o™,oo2.
14000
Il y a donc identité complète entre l'attraction des corps célesles,
telle que celle de la Terrç sur la Lune, et la pesanteur. Celte
attraction n'est pas une force fictive, imaginée par les astro-
nomes pour rendre compte de leurs observations : c'est une réalité
que nous retrouvons autour de nous dans les phénomènes familiers
du poids des corps et de leur chute.
Les vérifications ne manqueront pas. Nous conclurons, par
exemple, que les corps terrestres doivent s'attirer les uns les autres,
chose qu'on n'eilt jamais soupçonnée auparavant. Soit une petite
sphère de rayon /• et de densité 3. Son attraction sera, à la surface,
Si elle est de môme densité que la Terre, on voit que son allrac-
lion sera à celle de notre globe, sur un point de la surface,
dans le rapport de leurs rayons. Si elle a i"* de rayon, par
exemple, son attraction sur un corps placé à la surface sera
6378393 fois moindre que celle de la Terre. Les balances ordi-
naires ne seraient pas capables de mettre en évidence des ac-
tions si faibles; mais on est parvenu à les mesurer à l'aide de la
torsion d'un long fil métallique, qu'on peut proportionner aux
plus faibles forces. On a même déduit de ces belles et délicates
expériences (Cavendish, Reich, Baily, Cornu) la densité du globe
terrestre. Nous avons vu, en Géodésie, qu'on a mesuré aussi,
par des procédés bien différents, l'attraction de certaines mon-
tagnes. Enfin l'observation du pendule au niveau de la mer et sur
des plateaux très élevés a montré que la pesanteur diminue, comme
l'attraction céleste, à mesure que Ton s'écarte du centre de la
ferre.
l4o LIVRE III. — CHAPITRE XIII.
Critique du mot attraction.
Celte identification nous apprend que le poids d'un corps ne
dépend pas seulement de sa masse : il est relatif à la planète sor
laquelle il est placé. Ce poids serait 28 fois plus grand sur le Soleil
que sur la Terre, et se réduirait à bien peu de chose si le corps
appartenait à une de ces planéticules qui circulent entre Mars et
Jupiter. Elle nous permet de transporter à la pesanteur tous les
attributs que nous avons reconnus à l'attraction newtonienne.
Mais elle nous laisse dans la même ignorance sur la cause première
decetle force. Il faut donc avouer que le mot commode à'attraction
est fort malimaginéy en ce qu'il semble mettre, dans chaque corps,
un effort semblable à celui que nous faisons pour tirer un fardeau
avec une corde. Mais l'essentiel est de connaître les caractères de
cette force, de cette tendance qui sollicite les molécules de matière
les unes vers les autres à toute distance; ils figurent seuls dans
nos équations. Savoir que cette force céleste, dont nous ne con-
naissons que les effets, n*est autre que la pesanteur familière, c'est
s'expliquer l'une par l'autre autant que ces choses-là peuvent être
comprises.
Aujourd'hui ces considérations paraissent bien simples. Il ne
faudrait pas croire qu'elles le fussent aux débuts de la science nou-
velle. Lorsque Newton essaya pour la première fois, en 1 665, de
comparer Taltraction céleste de la Terre à la pesanteur, par un
calcul identique à celui qu'on vient de voir, il employa une fausM»
valeur du rayon delà Terrcqu'il déduisit de Tévalualion en usage, de
son temps, chez les géographes et les marinsde son pays. On croyait
en Angleterre que le mile^ de 1760 yards ou de 1609™, valait
l' terrestre ou la soixantième partie du degré. Dès lors
(S)-- 1609™ X 3 ',38,
puisque Tare de i' est contenu 3438 fois dans le rayon. Or la mi-
nute de grand cercle sur la Terre est de iSSa™ et non de 1609".
L'erreur était de près de ^. Au lieu de 9™, 80 Newton trouva pour
Tattraction de la Terre, par le calcul précédent, 8™, 4^- ï' crut dès
lors que, dans la pesanteur G, il y avait autre chose encore que
CARACTÈRES DE l'aTTRACTION NEWTONIENNE. i4i
l'attraction des astres, et abandonna son idée pendant seize années.
Si l'identification des deux forces eût été chose aussi naturelle
qu'elle nous le paraît aujourd'hui, Newton n'aurait pas manqué
de soupçonner quelque faute dans Tun de ses nombres, et il aurait
bien vite appris, en recherchant les mesures antérieurement connues
de Fernel et de Norwood, que c'était en effet le cas. Ce n'est que
seize années plus tard qu'il entendit dire, dans une séance de la
Société royale de Londres, que Picard avait trouvé 67060 toises
pour la longueur de Tare de 1°. Il reprit son ancien calcul avec
cette donnée nouvelle et, obtenant enfin la vérification cherchée,
il sentit qu'il était sur la voie des plus grandes découvertes.
Calcul définitif de la masse de la Terre.
Nous pouvons désormais considérer un pendule qu'on fait os-
ciller à la surface de la Terre comme un satellite, car la durée de
5CS oscillations dépend de la masse de notre globe tout comme les
^'éna en Is de l'orbite lunaire. On a vu (t. I*"", p. 332) que la pesanteur
^» ou plutôt l'attraction de la Terre à la dislance (p), est 9", 7981 .
^^ a donc
/ni =zG(p)'
^ 'a distance i™, la masse de la Terre étant réunie en son centre.
•"-■ Cre part, l'orbite de la Terre autour du Soleil nous donne
/ a "È
/( M -^ //i 4- /;« )=: -i-.p^
•* '^ distance arbitrairement prise pour unité, i"', pourvu que a soit
^'^P^^îmé en mètres et T en secondes; par conséquent,
Fft
-h m 4- m
.,, m GT^(p)* GT^ (p)^
7 ou sensiblement vf = . ^ ,— = , ^, - -^- •
M .\Tra^ W-(p) Ci^
^^ ""^ — ^Tsin":!',!:' étant la parallaxe du Soleil donllavaleurest8",8i3
^'^ici le calcul :
l42 LIVRE III. — CHAPITRE Xlll.
îogG 0,99114
logT* 14,998^2
O log4Tc» 8,4o364— 10
O log (p) 3, 19530—10
log sin»ic' 6,89210 — ao
log 1^ 4, 48040—10
log dcnom 6,51960
Ainsi la masse de la Terre est 3,o*geo^ avec une incertitude de 7;^,
due à celle de la parallaxe du Soleil, qui est de ±: j^n ^^ ^* ^''
leur ( * ).
Les astronomes donnent souvent, sous le nom de masse de la
Terre, la somme des masses du couple Terre-Lune. On aura m 4- w'
ou m ( 1 4- j^pj^) en multipliant le résultat précédent par
on trouve ainsi m -h m' = jj^goô.
(•) V Annuaire du Bureau des Longitudes donne — ?- — ; la différence lient î
celle des éléments de ce calcul, tel que la parallaxe du Soleil. Quant au résultat
provisoire de la p. 98, le calcul détaillé de la p. i38 montre qu'il doit être aug-
menté de jjj de sa valeur. On retrouve alors, à très peu près, le résultat ci-
dessus, non pour m, mais pour m ■+- m'.
Cl
PESANTEUR A LA SURFACE DES ASTRES. I4>
CHAPITRE XIV.
PESANTEUR A LA SURFACE DES ASTRES; ORIGINE DE LEUR
CHALEUR ET DE LEUR LUMIÈRE.
Pesanteur à la surface du Soleil et des planètes.
L'attraction du Soleil à la distance i"', sa masse élant réunie en
son centre, est * ^ ? a étant exprimé en mètres et T en secondes.
On aura l'attraction à la distance du ravon t, c'est-à-dire à la sur-
face, par .
T-v- *
Le rayon v du Soleil s'obtient, en mètres, en divisant membn» à
membre
- 1= sini6', — =1 sin8*,8i3, ce qui donne v == 108,985 (p),
et en faisant (p) = 6378393™. Le calcul donne ajS'",^. Ainsi la pe-
santeur, qui devrait être 108,93 fois celle de la Terre si le Soleil
avait môme densité moyenne que notre globe, n'est que 28 fois plus
grande. Sa densité moyenne n'est donc que le quart de la nôtre, ou
de 1,4 par rapport à l'eau.
On calculerait de même la pesanteur à la surface d'une planète
dont la masse et les dimensions sont connues. (Voir Table des
éléments du système solaire, à la fin de ce Volume).
Limites de l'aplatissement.
La rotation étant donnée, il est aisé d'en conclure la force cen-
trifuge à l'équateur et son rapport à la pesanteur équatoriale G.
i4l
LIVRE III. — CHAPITRE XIV.
Ce rapport, qu^on désigne par la lellre q^ a pour expression
'Y étant la durée de la rotation en secondes. Clairaut a montré que.
pour un sphéroïde, l'aplatissement est compris entre ^q et {q, la
première valeur ayant lieu si la densité des couches croît à l'infini
\ers le centre, c'est-à-dire si la masse y est presque loule con-
densée, et la seconde étant relative au cas de Thomogénéité. Voici
les éléments de ce calcul pour le Soleil et quelques planètes :
Rayon
en parties de (p).
Soleil 108,935
Mars 0,535
Jupiter Il ,o65
Saturne 9,3(>5
Rappelons que (p) = GSjSSpS"" et G = 9'", 7981 .
Lu formule précédente donne :
Pesanteur
Rotation.
J h m ft
25 . 4 • '^9
on parties de G
518
1. 0.37.13
o,38
9.55.37
7.^l5
1 0 . 1 4 • '>\
0,89
Valeurs
de q.
Limites
df> rapl.itissemont.
Aplatiss<*menl Densité
obscrv<^. nioyennf.
Soleil. . .
La Terre
Mars.. . .
Jupiter. .
Saturne .
insensible
8UOO
38UU0
1 t
i» 6 0 0 0
iiisijii:;
1
2 88
1
230
et
1
57 S
1
292
1
î» 5
1
172
et
1
1
17V
1
1 1.3
1
n
1
23
1
1 7
1
•
*
et
1
10
1
9
1,4
0.7
Ainsi la Terre et Mars, c'est-à-dire les planètes très denses,
doivent avoir un accroissemeiil de densité vers leur centre beaucoup
plus rapide que Jupiteretsurtont Saturne, dont lesdensitésmovennes
sont relativement faibles.
Chute des corps sur le Soleil.
On vient de voir qu'un corps, en tombant d'une très petite hau-
teur à la surface du Soleil, accjuiert, dans la première seconde de
sa chute, une vitesse de 27!V",'>., à peu près celle d'une balle de
(iisil.
Si le corps part d'une distance quelconque 5, comptée à partir
ORIGINE DE LA GHALEL'R DES ASTRES. l45
du centre du Soleil, en sorte qu'il faille tenir compte de la varia-
lion de la pesanteur avec la distance, Tcquation différentielle
sera, en désignant par G' la pesanteur solaire à la distance t du
centre,
'i!i — _ GV
Intégrons après avoir multiplié par 2-^> il vient
\*— h h.
Supposons la vitesse initiale nulle et la distance initiale si
g^^nde que la constante h puisse être négligée : on aura pour ^ = t
m
V =z y/2G'v,
^ ^tant toujours exprimé en mètres. Le calcul donne V = 616000
^^ '^4 lieues pair seconde. La force vive ^//iV^ d'un corps de masse /7i
^^bantderinfini sur le Soleil cstfacileàévaluer. Supposons-ledc i''*
^"'"'3 Terre: sa masse sera -p- = yf» • On trouve ainsi, pour la force
^ive îaljsorbée dans le choc, 18700000000*^6»».
^^ clestruction de cette force vive engendrera, à raison de i*"*^
pour ^25^"\ ... -14 millions de calories.
Origine de la chaleur et de la lumière du Soleil.
^' ^onc le Soleil a été formé par la concentration d'une quantité
I .... . .
"^"^^t.^riaux primitivement disséminés sur un grand espace, et tom-
bant j^çu à p(»^, vers un centre d'attraction quelconque, sa for-
matic^j^ aura dû être accompagnée d'un énorme développement
de cix^içyj.^ Lçg astres ainsi formés (le Soleil, les étoiles) restent
encoï-^ incandescents malgré leur radiation incessante, qui dure
tlepttt^ Tépoque de leur formation, tandis que les corps à masse
relativement très faible, la Terre, les planètes, sonl d/'jà éteints,
au n^oins à la surface.
^^tic conception répond à l'un des plus grands problèmes de la
nalur^^ problème dont les Anciens se sont préoccupés et que les
II. 10
l46 LlVRt: III. — CHAPITRE \ IV.
•
Modernes ont tout bonnement écarté (') : Pourquoi le Soleil et les
étoiles brillent-ils au ciel?D'oiivlennentcetéclal,cettechaleur, cette
perpétuelle et constante incandescence? La solution ne pouvait
venir que de la Thermodynamique ; elle est due au créateur de cette
science nouvelle, le médecin II. Mayer. Mais il ne faudrait pas
croire, avec cet auteur et quelques autres, que Ténormc radiation
solaire soit entretenue par une chute incessante de maiériaux cos-
miques sur le Soleil. On a calculé, il est vrai, qu'à raison de
44 millions de calories par kilogramme de matière il suffirait
([u'il tombât, par heure, un de ces kilogrammes sur chaque mètre
carré de la surface du Soleil, ce qui de prime abord n*a rien de
choquant. Mais, à ce compte, la masse du Soleil s'accroîtrait chaque
année de^^^^Jj^ôô» ^^ '' ^^ résulterait une accélération constante
du mouvement des planètes qui ne serait nullement insensible. Si
la masse Mq du Soleil, à l'origine du temps/, devient au bout de
/ années Mo(i 4- 7/), il en sera de même pour ;jlo =/Mo qui devien-
dra aussi [jLo(i -^ <//). Les aires décrites par les rayons vecteurs des
planètes resteront invariables, et on aura par conséquent
ou ^(iz^ l^^o^'o, en négligeant le carré de rexconlricité, qui reste
toujours petite (p. iSa). Par conséquent
(I -
I +- 7/ '
mais, (raulre part, (i^ n- =-. ^x — *j,^^\ i -^ qt^ - alf^lii -\- qt)\
donc
// ~ //y ( I ~\- (fi r - //„ -r- HJ/l^t,
en négligeant le carré de 7.
La longitude uio\enne /'// dt devitMit
l'o — 'tyJ -r- fioif-;
elle sera donc afiectéc de rinégalitéséculairr — /^o^. Voyons si cel*»
rst roniirnié par les observations. Kn prenant Tannée pour unité.
«' Sauf Newton, qui sVn |>ri'orni|>a un iiiniiinl.
ORIGINE DE LA CHALEUR DES ASTRES. l^J
ce qui répond à /lo = 36o°, avec q = jTrôôWôïï' l'altération de la lon-
gitude moyenne au bout de 2000 ans serait
36o» X 2ôToVoir(ï X 2000 = 72°.
Or, en comparant les observations d'IIipparque avec celles des Mo-
dernes, on représente les premières à 20' près sans employer
de terme séculaire. Il y a loin, comme on le voit, de ce petit
écart de 20', parfaitement explicable par le degré d'exactitude
des Anciens, à un écart de 72" que nous devrions trouver si l'hypo-
thèse dont nous nous occupons était fondée. Ainsi le Soleil n'est
pas alimenté par la chute continuelle de matériaux cosmiques sur sa
surface ; la chaleur énorme qu'il perd par radiation dans l'espace, et
qui équivaut au travail de 78 000 chevaux-vapeur par mètre carré de
surface (*), est de la chaleur d'origine, dont une partie seulement
est restituée par celle qui naît de la lente contraction progres-
sive de la masse solaire.
Quant à la constance séculaire de cette radiation, elle tient sans
aucun douteauxéchangescontinuels qui s'opèrentverticalementdans
^e globe solaire entre la superficie et la région centrale. Il en résulte
<jviela masse entière participe au refroidissement, car les produits
solides incandescents qui se forment à la surface et constituent la
photosphère retombent dans les couchés internes en vertu de leur
^^cès de densité, s'y transforment en, vapeurs par voie de volati-
'■Sîilioii ou de dissociation, et déterminent l'ascension de courants
S"^2eux qui viennent à leur tour renouveler la photosphère, en sorte
^^^e la surface se maintiendra dans le même état physique tant que
^^"s mouvements intestins pourront s'opérer librement.
Origine de la chaleur centrale de la Terre.
Si l'on fait abstraction de la résistance de l'air, un corps lancé
^^^rizontalementàlasurfacede la Terre, avec une vitesse suffisante,
C) D'après Pouillet, la chaleur versée par le Soleil sur i""i, à la distance de la
^■re, serait de 0^*^,3 par seconde. La radiation superficielle de cet astre serait donc
^ 0*^,3 X 2i5 = i38oo«** par seconde et par métré carré, énergie équivalente
* *38oox-*;y'/ = 78000 chevaux-vapeur. D'après MM. Violle et Crova, il faudrait
^gmenter ces nombres d'un quart.
II.
l48 LIVRE III. — CHAPITRE XIV.
décrira une orbite circulaire de rayon (p) dans un temps T donné
par la relation
— ji — =^(P) •
On en tire ï=2TCi/^- C'est la durée de Foscillation double
d'un pendule de ra von (p). On trou veT = i*» 23™ 4o*- La vitesse dans
ce cercle serait \/-r^ ==y/G(p)= 7905"* par seconde; elle est
seize fois plus grande que celle d'un boulet de canon au sortir de la
pièce. Sur la plupart des planéticules qui circulent entre Mars et
Jupiter, une pierre lancée à la main deviendrait un satellite.
Un corps tombant de Tinfini (une distance extrêmement grande)
sur la Terre, sans vitesse initiale, la frapperait avec une vilcssi*
de 79o5"y^ = 1 1000"* par second^. La chaleur engendrée par le
choc d'un kilogramme de matière dans ces conditions serait de
§4000*^**. Si donc la Terre a été formée, comme les autres astres,
par l'agglomération successive de matériaux venus de très loin,
cette formation a dû être accompagnée d'une très grande chaleur.
La Terre a sans doute été entièrement (luidc à une époque re-
culée; elle a pu prendre ainsi la figure qui convenait à l'équilibre
des forces intérieures. Le refroidissement a été bien plus rapide
que pour le Soleil, dont la masse et la chaleur d'origine sont incom-
parablement plus grandes, et, lorsque la viscosité progressive dcîi
couches a gêné les mouvements intérieurs, il a dû se former une
croûte solide dont l'épaisseur, très lentement croissante, protège
aujourd'hui les régions centrales contre le refroidissement. Là est
la justification de l'hypothèse de la fluidité primitive du globe,
qui a servi de base aux travaux de Newton et de ses successeurs
sur la figure de la Terre, et de celle de la chaleur centrale, qui joue
un si grand rôle en Géologie.
Étoiles filantes et aérolithes*
La Terre rencontre continuellement, dans son mouvement an-
nuel, des corpuscules qui circulent eux-mêmes, isolément ou
par essaims, autour du Soleil, avec des vitesses presque parabo-
liques, dont le maximum s'élève à y\4 ^ = 10 lieues par seconde
ORIGINE DE LA CHALEUR DES ASTRES. l49
(celle de la Terre est de 7', 4)» I-^c choc aura donc lieu, en cer-
tains cas, avec une vitesse relative de 17 lieues. Ces corpuscules, en
pénétrant dans Tatmosphère avec cette grande vitesse, y rencon-
trent une résistance qui détruit leur force vive. Il en résulte une
rapide production de chaleur, une vive incandescence. Telle est
Texplication du phénomène des étoiles filantes qui brillent un in-
stant et s'éteignent en se dissipant avant d'avoir atteint le sol. Les
météorites pierreuses ou ferrugineuses nous arrivent pareille-
ment des espaces célestes, mais avec des vitesses moins grandes
d'ordinaire : leur incandescence est moins prononcée; ils parvien-
nent jusqu'au sol et s'y enfoncent plus ou moins profondément.
Ces phénomènes intéressants reproduisent sous nos yeux, à très
petite échelle, ce qui a dû se passer autrefois, en grand, lorsque le
Soleil et les planètes se sont formés par l'agglomération de maté-
riaux épars dans l'espace.
ORBITE d'une planète OU u'uNE OO^klÈTE. l5l
LIVRE IV.
CALCUL DE LOHBITK D'INK PLANETE OU DINE COMETE
NOUVELLEMENT DÉCOUVERTE.
Chaque année on découvre cinq ou six petites planètes de
Tessaiin qui circule entre les orbites de Mars et de Jupiter, et à
peu pr^s le même nombre de comètes. Drs que Ton a réuni les ob-
servations nécessaires, on s'empresse de déterminer Torbilc de
Tastre nouveau, afin de n'être pas exposé à le perdre s'il survenait
une série de jours couverts, et aussi pour satisfaire une curiosité
bien naturelle, car c'est là, en Astronomie, le domaine de l'imprévu,
des surprises, des découvertes intéressantes. Ces calculs, qui ne
sont ni bien longs, ni bien difficiles, ])euvent donc être recom-
mandés aux commençants comme une excellente occasion d^essaver
leurs forces, et peut-être de faire une découverte intéressante. Plu-
sieurs méthodes ont été proposées pour résoudre ce problème.
Elles se rapportent à deux manières difi'érentes déposer la ques-
tion. Puisqu'il y a six éléments à déterminer, a, e^ m, i, N et ï,
il faut six données que fourniront trois observations com[)lètes, à
savoir L| et ^i pour la première, L', et ^\ pour la seconde, L", et
^\ pour la troisième, bien entendu avec les dates /, t\ t", La plu-
part des géomètres qui se sont occupés de ce beau problème ont
cherché l'orbite qui satisfait exactement à trois positions observées
de l'astre nouveau, en admettant que les observations ne soient
pas trop éloignées les unes des autres. Une seconde manière
d'envisager la question consiste à déduire très approximativement
de ces trois observations géocentriques, ou mieux d'un nombre
plus considérable d'observations assez rapprochées, la position
héliocen trique de l'astre à un moment donné, sa vitesse et sa
IXà LITftE IT.
direction, ce qui àuflil, comme nous l'avons vu* p. 1 17) pour déter-
miner tous les éléments de Forbile. Dans les deux cas, on ignore
d'avance â quelle section conique on aboutira: on ne fait pas de
supposition préalable à ce sujet.
Cette généralité est nécessaire, car si la plupart des comètes
parconrentdes orbites assez peu différentes d'une parabole pourquoi!
soit le plus souvent permis et même nécessaire de s'en tenir à l'bv-
potfaêse paralKjlique. on a quelquefois affaire à une comète nette-
ment elliptique ( ' •. et alors il est essentiel que la méthode employée
n'induise pas le calculateur en erreur à ce sujet. Nous donnerons
donc deux méthodes, celle de Laplace qui résout le problème dans
toute sa généralité, de la manière la plus simple et la plus élégante,
et la méthode d'Olbers pour les comètes paraboliques.
f * ) Sous ne parlons pas d'orbites hjperboliqaes,. parce qu'on n'en a pas encon
rencontré de bien caraclérisées.
• •
METHODE GENERALE DE LAPLACE. 1 53
CHAPITRE XV.
METHODE DE LAPLACE
I^es coordonnées géocentrîques de Taslre nouveau étant, à la
^ï*to f, L| et ^1, si nous désignons par /•, sa distance inconnue à
'^ lierre, les coordonnées héliocentriques auront pour expression
:r = ; -H /'i sin pj ces L, ,
ii=T, -h /'isinpisinLi,
z=z /-iCOsPi,
*ian s lesquelles les coordonnées héliocentriques de la Terre, Ç et tj,
^ ^kliennent par
^ ^ . { $ = K ces Ô ,
( T, =z R sin Ô .
I^our simplifier un peu, remplaçons Ti sin^i par p, projection de
''« s\ir l'écliplique. C'est ce que les astronomes nomment dis iance
ia:=i ; -h p cosL,,
v^T, -hpsinL,,
^ zz: pCOtp,.
^i
en déduit r, rayon vecteur de Tastre,
^ ^ > r« = a*-+-r'-h3*=R«-h2Rpcos(L,— ô)-4- ^^^î^.
^*^ posé, en difTérentiant une première fois les équations (a) par
t^port au temps, on fait apparaître-^» 777' 7^' c'est-à-dire les
^^^posantes de la vitesse suivant les trois axes. Seulement ces
l64 LIVRE IV. — CHAPITRE XV.
dp ^
équations contiendront p et sa dérivée -—• En différenlîanl une
seconde fois, on aura trois équations dans lesquelles on remplaceni
les dérivées secondes de jr, j', z, ; et r, par leurs valeurs tirées
<les équations générales du mouvement (*) :
d\r ,r
d' ' f
dt^ /•'» '
dt^ \v'
d^ V y
dl' /•»'
d'y r,
d.' ~ U*
d* z /•'
dl* z
do d^ o
<^es trois équations finales feront connaître p, "zn^ ~~f7i' ^' ^"^
facile dès lors, eu remontant aux équations (2) et à leurs dérivées,
de calculer les coordonnées x^ )', z et leurs vitesses, ce qui conduit
à la solution du prohième.
Mais ces différenlialions feront apparaître les dérivées pre-
mières et deuxièmes des coordonnées observées L| et ^i. 11 faul
donc, avant tout, obtenir ces quantités ù Taide des observations
éocentriques. Voici les trois phases de cette méthode : i** calcul
les (lenvees - . > , ^ ? —7-» — rV » a l aide des observations: a" for-
dl dl' de dl*
tr
(') Pour éviter rintrnduction, dans res raiciils, <le lactnirs aussi petits qor u
<!t {x*, on rciiiplare ;x par l'unitr, rc (pii cnlraini* un rhanpMiieiit d'unité p«>ar k
temps. C'est re (|ui arriverait si, dans les < aïeuls de .Mérani<|ue terrestre, on avait
besoin de reniplaeer g par 1, tout en ronser\ant le mètre pour unité de longaear.
M faudrait prendre, pour exprimer le temps /, non plus la seconde, mais une aatr.*
unité 6 telle que
ee qui entraîne 0 - — -• lei, |x est une aeeéïêration toute pareille à g\ il faudra
<lon<* poM'r
ou, ce qui revient au même, multiplier les iiiler\alles de temps exprimés en jo«n
et en fractions de jour par le facteur \ jj.. dont le loj^aritlime est 8,a3ô38i3 —10.
Nous emploierons la notation t à la pla<e de / |M)ur indiquer que la durée f, ca
ji»urs, a été exprimée avec la nouvelle unilc, ou multipliée par \ jï.
MÉTHODB GéNÉRALB DB LAPLACE. l55
mation et résolution de l'équation en p; 3" calcul de x^ y\i z,
TiT » rii» -t:' d'où Ton déduit les éléments de l'orbite.
dt dt dt
Calculs préparatoires.
Les données de l'observation sont
Coordonnées Coordonnéet
Dates. équttorltles. éclipUqaes.
/' 1^ V\ /Lp"^
t' M" 5' f ^ , , l; ^\
^ [ On eo conclut ', ,^
« •
/ \ • •
Prenonsunedateintermédiaire^etdésignonsparLi, ^4; -^> -~y •••
les coordonnées correspondantes et leurs dérivées, par t — x', t — t*^
les intervalles / — ^, / — f multipliés par ^[jl, on aura
L'-i ^,. .,/L. (T-T')'rf'L. (.-T')»rf»L.
L, _L, -f-(.-0-^-l- ^ W'^^Tf ~dti"*'-'
• • •
>
On écrira autant d'équations linéaires de ce genre qu'on a de longi-
tudes observées, et l'on en déduira, par la méthode la plus commode,
L,, -7**) -~ • Parles dislances polaires observées p',, p% p^', . . .
on obtiendra ^j, -4^> -;y^' pour la même date t.
Si l'on n'employait que trois observations, on aurait tout avan-
tage à partir de l'observation intermédiaire, et, en désignant les
dates transformées par t, t', t", on aurait
A. _ (x'-t')«(L'.-L.)+(V-t)'(L-,-L'.) I _ rf'L,
• • • t
rff — (T* — t')(t'' — X)(-w' — T) 6' '^ ' dt^
D*où Ton voit qu'en se bornant au premier terme, le seul qu'on
II. 10*
: a
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L.b
METHODE GENEBALE DE LAPLACB. 167
deuxième par cot^i sInLf, la troisième par — i ; mais nous remar-
querons d*abord qu'en opérant de même sur les équations (i)
et (2) on a
j?cotpi cosL, -+-^cotPisinLi — z :=:5cotPt cosLi-i-TicotPi sinLi
= — R cot pi cos(Li -— Ô ).
La somme susdite devient alors
( -Rcot?,cos(L,-Ô)(^-j{^)
(9) I
\ sm'Pi ^ ^' ^ ni sin'p, *^' sifi'p, *^
Il est aisé d'éliminer dp entre les équations linéaires (8) et (9).
On a ainsi
(•0) P^'"(^-Rî)'
en désignant par m le coeflicient suivant, qui ne contient que des
quantités connues,
^ P sinPi cosPj cos(L| — Ô )dLi -+- sin(L| — Ô )d^i
^~ ~^Lie/«p, — û^pjt^L,— a^L^^pîcotpi — sinpiCospi^Lî'
Il faut joindre à (10) la valeur de r, donnée par Téquation (3).
L'élimination de r entre ces deux relations conduirait à une
équation en p du huitième degré,
m«=:[R» + .Rpco3(L.-ô)+.|L-J(p+^y,
s'abaissant au septième, parce que le terme tout connu est nul ; mais
il est plus simple d'opérer sur les deux équations (10) et (3) par
approximations successives, à l'aide d'une première valeur de p
obtenue graphiquement ou par une première hypothèse.
Dès que p sera déterminé avec une exactitude suffisante, une des
dû^ dy dz
équations (6) donnera rfp, les équations (4) donneront ^' ;j^ ' ^>
et les équations (a) feront connaître les coordonnées héliocen-
triques x^y^ z.
l58 LiVfcE IV. — CHAPITRE XV.
Calcul des éléments de Torbite.
OnauraV*par(^)v(^y+(§y;p«îsaparV« ^^^-^ -
S'il s'agît d'une petite planète, on estceruin d'avance que a serass— a
compris entre 2 et 4. S'il s'agit d'une comète, très probablemen» .^t
on trouvera - très petit, d'un ordre de grandeur imputable au:
erreurs d'obsen^ation, et l'on en conclura provisoirement que l or-
bite est parabolique.
Supposons qu'il s'agisse d'une orbite elliptique. On calculera le
aires
puis on aura C par
dy dx
dz dy
dx dz
"" -" dt "" dt'
dn c* 4- C'« -h C'S
et, comme C^ = a (i — e*), cette relation donnera e.
L'équation de l'ellipse, dans laquelle r, a, e sont déjà connus^
donnera v ou ^ — ra pour la date /.
D'autre part, a'/i^ = [x(*); on en lire la durée de la révolution
1T.
T — — . Quant aux éléments /et N, on les obtient par
c- Ccosi, c' =: C sini sinN, c'' ^^ — CsînicosN.
Il reste à trouver w, car nous n'avons encore que l'anomali
vraie j(^ — nj. Il est facile de voir que la longitude héliocenlrique
est donnée par tangL ~^ -> et la longitude 4^dans Torbite par
laiig(L - N) r cos/laiig(^- N);
nous aurons donc m par i» — i\
('; Kii réUblis>;«iil iri ;j., nous reproiidnius |M»ur uuilc de temps le jt>ur.
MÉTHODE UKNÉUALK DK LAPLACK. I ->9
Enfin H s'obtiendra par
r -rzL a(i — e cos // ) ,
^* où // qui figure dans
// — e siiw/ :zz fl(l — 0)(').
^^ pat* suite Ô, date* du passage au périhélie. Pour une planète, les
•^'^es sont décrites d^in mouvement direct, et
^i-i >' -r- =: r
(/.r ^ (It
^sl jzïositif. Dans le cas d'une comète, il y a autant de chances
poi« ï- que Taire c soit négative; on sera averti, dans ce cas, que le
mo«a.A'ement est rétrograde. S'il en est ainsi, il faudra ajouter 180"
à la longitude précédente du nœud pour avoir celle du nœud as-
cendant.
^ > Ici / et 6 sonl exprimes en jours coiiiiiie d'ordinaire.
l6o LIVRE IV. — CUAPITRE XV|.
CHAPITRE XVI.
DU MOUVEMENT DANS LA PARABOLE.
Avant d'exposer la jTK'lhode d'Olbcrs, nous réunirons ici les for-
mules nécessaires au calcul des mouvements d'une conicte paralj
lique.
Problème de Kepler dans la parabole.
L'équation polaire de la courbe est, en introduisant la distance*
focale au périhélie q =^ ^/>,
/• = — — TT— -= 7 M H- tanff* - «' •
i-î-cosr ros^^f v î /
Si Ton porte celle valeur de /• et celld d<»
<lans l'équation des aires
on a, en divisanl les deux membres par<jr-,
— 7-7 - -- x — - —14- lanfî' - i- -k -*- iU,
cos* \ i' ros^ \ i' \ 'X ^ V 7
dont rintégrale est, de i : : o à w
r •»
laiifî - r r- 77 lani;* - i' - : - i/ -'- (/ — 0),
0 étant la date à laquelle v' -- -. o (<late du passage au périhélie).
DU MOUVEMENT DJ^^« LA PARABOLE. l6l
De cette équation on tirera ^, i^ étant connu, ou réciproque-
ment. Dans ce dernier cas, il y aurait à résoudre une équation du
Iroisième degré ayant une seule racine réelle.
Table de Barker.
Nous donnons, à la fin de ce Volume, une Table destinée à faci-
liter le calcul de cette équation. Elle est fondée sur la transforma-
tion suivante. Posons
75 tang-i^H-25 tang^lr- oit — 75 i/— % (^ — 0).
Le facteur 7^ 4 / -étant constant, représentons-le ' par k\ on
trouvera aisément logA* = 9,9601278.
On donne le nom de moyen mouvement diurne dans la parabole à
k X q * =z m,
Par suite, on écrira i>K = m{l — 8). La Table de Barker donne
** valeur de 3ÏL pour tous les degrés de ç et pour y = i. S'il s'agit
^^ calculer le v correspondant à la date i, dans une parabole
^yanipour éléments ^et 9, on commencera par calculer le moyen
'^^ouvement diurne m en retranchant ^logy du logarithme constant
9>96oi278, puis on aura OR/ par m{t — 6), et enfin la Table don-
^^ra le ç correspondant à cette valeur de 011 .
Inversement, s'il s'agit d'obtenir le ^ — 8 qui répond à une
^'ïomalie vraie Vf on cherchera dans la Table le .OÏL correspondant
^^ On aura immédiatement t par OÏL = m (t — 0).
^^t donnés deux points et le foyer d'nne parabole, calcnler
les éléments de cette trajectoire.
Soient r, r" [les rayons vecteurs, c la corde qui en unit les
^**émités, q la distance périhélie inconnue, r, v" les anomalies
''•^espondantes aux rayons vecteurs. Il s'agit de calculer q, k> et
» ^l même 0 si les dates sont données.
II. Il
«6^ LIVRE IV. — CHAPITRE XVI.
Désignons (^"-f- ç par 5 et / — v' par rf. On aura la relation
c' = r' -h r"* — 2 rr' cosd,
d'où
. , 1 , c-* — (/•"—/• V
sin' - rt =: 7^ — = ;
2 ^rr '
puis, comme
2^ 2
COS -T{s — d)^=:^ ^j COS7 (5 4-a)= ^7=:*
En éliminant ^ entre ces deu!L dernières par addition et sou
traction, il vient
I I , v^ — V^' f" — /•
tang75tangy6r=z ^-—^ — ^ = n? r=^ •
Si r, r", c sont donnés, ces relations feront connaître d^s^v^v^yq 9
et si de plus on donne les dates ^ et ^ relatives aux deux rayons
vecteurs, on calculera aisément 0, date du passage au périhé^
lie.
Formule de Lambert.
Ainsi tout est déterminé par r, z-^, c. Lambert a fait connaître
une autre relation plus directe entre Lî temps t' — /et ces quan-
tités. Elle joue un rôle important dans le calcul des orbites pa
boliques.
On a évidemment, parla page précédente.
rS _ ^
2
(''-' V^' " ^'*"^''^'' -tang-i^-i- -tangî- V - -lang' -
= ( langr p — tang-t' If 1 -+- - tang»-p -h- tang - p lang -i>h- - Uiig'-f|'
Ajoutons et retranchons au deuxième facteur la quantité
^ tang^i^" tang^p, le second membre deviendra
Uang ^ v'— tang ^ ^j I ' "^ lang%' langui' -h ^ Uang ^i»'— Ung ^vj |.
DU MOUVEMENT DANS Lk PARABOLE. l63
Introduisons les rayons vecteurs,
1 - , I sifii((''' — r) s'inUv^ — if) \/rr^
2 ° 2 cos J v ces J V q
I . I - cos|((>'^ — v) cosKc" — {AJn-^
1 -+- tang-(» tang-(;''=i — \-^ j-^ r= ^- '-^
2 ^2 COSj-Ç'^COS^ t' q
L'équation (i) devient par là
V 2^' 2 ^ '2 ' q^
3 2 ^ ' q^
««.pression où il n'y a plus que l'angle ^(t^' — v).
Or, de
c* m r* -h r"* — 2 rr" cos ( t^'^ — r)
ou tire
4/t'cos' J ( (^ — ^) — (/•* -h r)« — c« = (r^ -h r -h c)(/'' 4- r — c).
Désignons ces deux derniers facteurs par x'^ et^^, et écrivons
(3) isJrP i^ù^\{s/' — (')= ±xy^ /• 4- /*" = -} (x* 4-7*).
Quant à sin^((^ — t'), en élevant au carré son développement, on
obtient
sin'i((^* — t^)i=r cos*^i^* 4- cos'ji' — 2 cos J(r" — r)cos}i''^cos^(^,
d'où, en remplaçant les cosinus de ^v>" et de ^v> par leurs valeurs
i"? " \/?'
sin« -ii/ —v)—^ 4- ~ —iq ^= •
A l'aide des équations (3), on trouve
0> 2sin^(i''' — v)\frP z=i{^x-:^ y)\j2q.
^^ l'on porte ces valeurs de sin^(i^ — v) et de cos ^{v" — v)
^^s l'équation (2), on aura finalement la formule de Lambert
2sJ^{C'-^t)z=z{xzfy)xy-\'\{x::i;LyY=i\x^zj;:{y\
l64 LIVRE IV. — CHAPITRE XVI.
OU
6 y/ii(r - 0 = ('• -^ '•' -^ C)"* ip (/• 4- r' - C)%
le signe — répondant au cas où ^{v" — v) est plus petit que 90*.
Table de Encke.
Avec cette formule, r, r" et la corde c suffisent pour calculer le
temps compris l" — ty sans avoir à calculer i/', i' et ^r comme nous
l'avons fait dans Talinéa précédent.
Il est même facile d y employer des séries en développant les
puissances - de i ± -;• Posons 7 = p, nous aurons
2v/iI(T''-T)_ I 1
Représentons le premier membre par t^ et renversons la série :
? ou — ^—„ = ^1 ( 1 -+- -7 ^é' -+- 0777 T<* H ^ ^1* -+-... J •
^ r-\-r \ 24 384 9216 /
M. Encke a calculé là-dessus une petite Table d'un emploi très
commode, que nous donnons avec celle de Barker. Elle a pour
argument
^'— ï~'
et donne, sous a rubrique loge, le logarithme de la valeur de la
série comprise ci-dessus entre parenthèses; on obtient ainsi bien
facilement, quand les rayons vecteurs r et f^ ont été calculés, b
corde c par
1
On en verra Tapplicalion au Chapitre suivant.
MÉTHODE D'oLBERS. l6/î
CHAPITRE XVII.
MÉTHODE D'OLBERS.
Géométriquement, le problème général revient à ceci : Étant
donnéeslesdroites indéfinies Te, T'c',T"c"(/?^. 33) dans la direction
desquelles la comète a été vue aux dates ^, t ^ f ^ quand la Terre se
trouvait en T, T', T", couper ces trois droites par un plan passant
par le Soleil, en des points C, C, C" tels, que les secteurs de la
courbe du second degré passant par ces trois points, avec un foyer
Fig. 33.
c" ^-
^<":-. 7T
. -r— X
T
au Soleil, aient pour surfaces des aires égales à celles qu'on
calculerait avec les éléments de cette courbe et les intervalles t! — /,
f — ^. La solution algébrique de ce problème, même en le res-
treignant au cas simple d'une parabole, conduirait à une équation
d'un degré très élevé ; le seul moyen de l'éviter est de procéder par
tâtonnements.
Équations relatives au plan de l'orbite.
La méthode s^applique à trois observations séparées par un petit
nombre de jours. Désignons par C, C, C" les positions de la comète
aux dates t^ l\ t"; par or^^, z^ ^S JK'> ^S ^"j y" 't s" les coordonnées
l66 LIVRE IV. — CHAPITRE XVII.
héliocentriques correspondantes. Si i et N sont rinclinaison de
Torbite et la longitude héliocentrique de son nœud ascendant, les
coordonnées des trois points devront satisfaire à Téquation du plan
de cette orbite, plan qui passe par l'origine des coordonnées, le
Soleil; de là les relations
z -h tangisinNo? — tangicosN/ =o,
z' -h tangisinNj:' — tangtcosNy :=o,
z" -\- tang/sinNa?" — tangtcosNj^zz: o.
On peut éliminer i et N de trois manières différentes entre les
trois équations ; on obtient ainsi d'abord
{x' y ^ y x')z ■^{xy'' - yx")z' -v-{œy -- yx')z'' z=zo.
Or x'y — yaf est le double de la projection du triangle SC'Cf
sur le plan des xy,, xf'y — yx'^ est le double de la projection du.
triangle SCC" sur le même plan ; de même xy — ya^ est le doabW
de la projection de SCC. On aura djonc, en représentant par ^
a', a? les aires de ces triangles,
dx — a' a:' 4- a" j?" = o,
(i) { a V — «y 4- «V'' = o»
OLZ — aJz' -h cl' z" = o.
En désignant par p, p', p" les projections sur l'écliptique des d
tances TC, T'C, T'CJ' de la comète à la Terre, nous avons vu q
/ z =pcotpi,
{ibis) I a:ri= pcosL, -H RcosÔ ,
( j z= p sin Lj -h R sin Ô .
Portons ces expressions et leurs analogues pour les six autr^
coordonnées dans les équations (i), il viendra
-îpcol?,— -;p'col?;-f-p'coi?';= o,
( 2 ) { -î p cosLi ip'cosL', -f-p'cosL'; = j Rcos ô -^- -^ R'cos t '— R'cos i
-i p sinLi ; p'sinL'i -4-p'sin L'j = — -, Rsin t *- -. R'sin A ' — R'sin t ^
MÉTHODE d'OLBERS. 167
Sabstitation du rapport des temps à celui des aires
triangulaires.
Les aires triangulaires a, a', a" sont inconnues, mais leurs rap-
ports sont à peu près égaux à ceux des secteurs paraboliques cor-
respondants, ou à ceux des temps i' — /', f — t^t! — t employés
par le rayon vecteur à parcourir ces derniers. Examinons d^abord
jusqu'à quel point il nous sera permis de substituer les seconds
'■apports aux premiers. La série de Taylor permet d'écrire
Eliminons la première dérivée et remplaçons -^ par — ^ ,
^ t — t'^t'^t'' ■ 1.2 7'»"^ 1.2.3 dt^ ""
On aurait deux équations pareilles pour les coordonnées x eij\
^i les intervalles f — t' cl t' — t sont égaux, le dernier terme dis-
P^i*aît; en négligeantles termes suivants, qui sont du troisième ordre
^^ petitesse par rapport aux intervalles considérés, les deux équa-
^*c>iis analogues en a: et enj^ seront
X —
a:'
4-
x"
—
x'
t'-
-t
t"
t'
•
r'
t
4-
y"
—
V.(f-t) x'
I .a r
(3)
/s'
I . 2 /•"
Éliminons entre les deuxdernières le facteur ;r)il vient
1 . 2 r *
xy' — vx' x' y" — y' x"
Vibien
lG8 LIVRE IV. — CHAPITRE XVII.
Quand les intervalles sont égaux, cette relation est exacte
jusqu'aux termes du second ordre inclusivement. Elle a encore à
peu près le même degré d'exactitudes! les intervalles sont très pea
diflerents. Nous supposerons qu'on aura choisi des observations sa-
tisfaisant à la condition que /" — t' diffère peu de /' — t. Dès lors
on sera endroit de remplacer, dans les équations (a), — par -7
Il n'en est plus de même de l'autre rapport — ; il n'est assimi-
lable à qu'aux quantités du premier ordre près, et, comme
nous le verrions figurer dans cette anal^'se avec un diviseur fort
petit (ainsi du reste que le premier rapport), l'erreur passerait
du premier ordre de petitesse à un ordre supérieur, c'est-à-dire à
l'ordre des quantités mesurées, et les résultats du calcul en pour-
raient être profondément viciés. Nous devrons donc considérer -5
comme une inconnue à éliminer entre les équations (a). Multi —
plions la deuxième par sin Ô' et retranchons-en la troisième mult» -
pliée par cosô ' :
a'
-^psin(L,- ô')--,p'sin(L;- Ô')
-}-p''sin(L; - Ô')^- ^RsinÔ - ô' -^R'sinCÔ'— ô')
En 1.1 combinant avec la première des équations (2), -^ 0' dis
paraîl :
i ^ p[col3, sin(I., — 6')— cot?isin(L, - Ô')]
(1) ' :-o"[col?;sin(l/, - Ô')-cot?;siii(L;- Ô')]
-^^UsiiUÔ - Ô')-irsin(Ô"- Ô')]cot?;.
Formules finales et tâtonnements.
Si l'on introduit le fadeur IV dans le deuxième membre, les pro-
duits IUVsin( ô — ô'),irR'sin(ô"— ô') seront les doubles aires
triangulaires STT, S'PT n^lalives à la Terre, aires dont le rap-
port est sensiblement égal à celui des temps, avec plus d'exactitude
MÉTHODE D*OLBERS. 169
même que le rapport des aires triangulaires relatives à la comète.
Si donc nous remplaçons -^ par —, ^> le second membre peut
^tre remplacé par zéro, et Téquation (4) nous donnera le rapport — »
^ue nous désignerons par M ; elle s'écrira
<^) ^' Zlt cotp;sin(L, ^6^) — cotptsin(L;— Ô^)
( "*""V — r cotp^sinCL'i- 5') — cot|i;sin(L';-- ô') '
Dès lors, nous remplacerons f par Mp dans les expressions
"^ ^^, /^*, c^, que l'on déduit des relations (i his)y et nous écrirons
(C) ,.î- _^ pî_^2Rpcos(L, — Ô)-hR%
sm-pi
(7) r-'^=:-J!L^p2_-2MR''pcos(L;- Ô^)-^R''^
/ c' — /•* -+- r'i — 2RR'cos( ô " — ô )
(^> I — 2Mp»[cos(L';— L,)-hcotp, cotp;]
1 — aRVcosCLi— ô'') — 2MRpcos(L';— ô).
^ i'on joint à ces relations celle de Lambert,
^ ^ ) 6v/il(r - 0 ^(r -h /•" -+- cY - (/• -H /•" - c)'*',
*^i doit être satisfaite rigoureusement, le problème se trouvera
^^^ïïplètement résolu, puisque l'élimination de r, z'^', c donnera
. ^e équation en p seul. Cette équation étant d'un degré très élevé,
^st beaucoup plus simple de procéder par tâtonnement. Donnant
I P une première valeur arbitraire, on calcule r, /^', c et on porte
^i*s valeurs dans la dernière. Si celle-ci n'est pas exactement sa-
^ ^^ite, on poursuit les tâtonnements et, après quelques essais,
**^qu'on s'est approché du but, on interpole entre les valeurs
'^ignées à p de manière à faire disparaître le dernier résidu.
^ais il est bien plus simple de recourir à la petite table,
^ncke. On commence par faire une hypothèse, non pas
^^t* p, mais sur r 4- r". Quand il n'y a pas de circonstance par-
\
170 LIVRE IV. — CHAPITRE XVII.
ticulière sur laquelle on puisse se guider, on fera à tout hasard
r -f- /•''= a. Avec cette valeur et Tintervalle t" — t, on calculera ri,
puis, par la Table d'Encke, loge et enfin c Avec cette valeur de c,
Téquation (8) donnera p, par suite r et r^ , Si on retombe ainsi
sur r 4- /-"= 2, le tâtonnement est terminé. Il n'en sera sans doate
pas ainsi, et alors on recommencera les calculs en prenant celte
fois, pour r -f- 1^ ^ la valeur que Ton vient d'obtenir. Deux ou trois
essais suffisent d'ordinaire pour fournir une valeur de c qui satis-
fasse exactement à la condition fondamentale de faire parcourir le
secteur compris entre r et r" dans le laps de temps observé f — L
Calcul des éléments de rorbite.
La question se réduit désormais à calculer les éléments de Tor-
bite d'après les deux positions extrêmes.
1** On obtiendra la distance périhélie y, les anomalies r et /cl
la date 0 du passage au périhélie par les formules de la page i6a-
2** On aura les coordonnées hélioccntriqucs L et ^ par les for-
mules de la page i53 :
z^=^rco%^ --=pcot3i,
X ~-.r sin p cosL =: p cosL, -\- R cos Ô ,
r -:=^- r sin p sin L ::=:: p sin L, -f- H sin ô .
auxquelles on peut donner la forme (en retranchant Ô de tousl^
angles)
rcosp=i pcotp,,
rsinpcos(L — Ô ) " pcos(L, — ô ) -H R,
r sin 3 sin ( L — Ô ) — p sin ( Li — ô ) .
On calculera de même P'', L" pour l'époque de la troisième obse-
vation. La comète sera directe ou rétrograde suivant que L* scu
plus grand ou plus petit que L.
3** On calculera N et i par les relations
tang£ sin (L — N) = ±: cet 3,
tangicos(L-N)^-dz ^,^^1. ^^^
MÉTHODE D OLBERS. I7I
On prendra le signe -h si la comète est directe, le signe — si
elle est rétrograde; tangi doit être positif et i < 90°.
4° On aura les longitudes dans Torbite ^et 4^'' par la formule
tang(L — N) =zicositang(4^— N).
5° On obtiendra la longitude du périhélie par
6^ On calculera l'époque 6 du passage de la comète au périhélie
en cherchant dans la Table de Barker la valeur de ^IL qui répond
à l'anomalie v :
m m
*^ Signe — s'appliquant aux comètes directes et le signe -f- aux
'"^ti^ogrades.
-A. titre de vérification indispensable, on calculera par ces élé-
'^ents, pour l'époque moyenne t', les coordonnées géocentriques L',
^^ ^p et on les comparera aux coordonnées observées.
Portée des résultats.
dépendant on ne doit pas s'attendre à un accord parfait pour
■^s deux coordonnées à la fois. Cet accord peut être exigé quand
'* s'agit d'une orbite elliptique, parce qu'alors on a six éléments à
^^duire de six données. Ici le nombre des éléments n'est plus que
^^ cinq.Ily aunedonnéede trop,et, bien qu'on ait employé à la fois
*^f P'j dans les calculs, ce n'est que dans le rapport M que ces deux
S'Jantités figurent, et encore par une combinaison qui les réduit
povir ainsi dire à une seule donnée. Elles ne servent qu'à déter-
**^*Oer la direction du rayon vecteur SC par l'intersection du plan
^GO avec le plan ST'C de la fig. 33 (*). La seule chose que
1 * ) Si les données sont telles que ces deux plans se confondent exactement ou à
I '^ près, la méthode d'Olbers se trouve en défaut. C'est ce dont on est averti par
^orme que prend alors le rapport M, dont les deux termes sont alors évanouis-
^•^tsou du moins très petits, en sorte que la moindre erreur d'observation a une
^^^tide influence sur sa détermination. Cette défaillance de la méthode d'Olbers se
■^^««nte quand les trois positions observées de la comète se trouvent, à peu de
^^^^se près, sur un même grand cercle passant par le lieu du Soleil à la date t'.
171 LIVRE IV. — CHAPITRE XVII.
puisse faire la méthode d^Olbers, c'est de placer la comète dans ce
dernier plan, ou, en d'autres termes, sur le grand cercle qu'il
détermine sur la sphère céleste. Pour obtenir un accord complet
entre les L',, ^\ calculés et les L',, ^\ observés, on devra faire va-
rier quelque peu le rapport M, dont la valeur n'est qu 'approxima-
tivement déterminée par la formule (5).
Il peut arriver cependant que les écarts soient notables et qu'au-
cun procédé de correction ne puisse les faire disparaître. C'est
qu'alors le rayon vecteur sera en réalité un peu plus petit ou un
peu plus grand que ne le comporte la courbure d'une parabole
appelée à satisfaire aux données. Au lieu d'une orbite paraboUquCf
on aura affaire aune ellipse fortement caractérisée. Il faudra abau-
donner la méthode d'Olbers pour recourir à celle de Laplace, et on
aura la satisfaction d'obtenir, en fin de compte, la durée de la révo-
lution d'une nouvelle comète périodique. Mais il faut des obser-
vations bien précises et une ellipticité bien prononcée pour que la
déviation de la forme parabolique devienne sensible dans le petit
arc qu'une comète décrit en une semaine ou deux.
Emploi du catalogue des comètes.
Après cette indispensable vérification, on ouvrira la Table des
comètes ( ' ) et l'on comparera les éléments nouveaux à ceux des
comètes antérieures. Peut-être aura-t-on la chance d*y retrouver
des éléments analogues pour y, /, N et m. Alors l'identité des
deux astres serait bien probable, et il resterait à déterminer la
durée de la révolution, à rechercher si, dans l'intervalle des deux
passages au périhélie, la comète a fait quelque apparition intermé-
diaire. Ce sont là les bonnes fortunes du calculateur. La décou-
verte d'une comète périodique ajoute un élément nouveau au
système solaire et conduit souvent à des résultats du plus haut
intérêt. C'est par des comparaisons de ce genre que Halley
a découvert la périodicité de la célèbre comète qui porte son
nom.
(*) Cette Table y la plus complète de celles qui existent actuellement, m'a été
fournie par M. Lœwy. On la trouvera à la fin de ce Volume.
MÉTHODE d'OLBERS. 178
Exemple numérique.
Désireux de faciliter ces calculs aux débutants, je donnerai
ici un exemple complet en choisissant la comète de 1769, sur
laquelle Olbers a fait lui-même la première application de sa
méthode.
•74
LIVBB IV. — CHAPITRE XVIII.
CHAPITRE XVIII.
CALCUL DE L'ORBITE DE LA COMÈTE DE 1769.
Datei. T. m. de Paris.
Il m
Sept. 4 '4-0
8 14.0
12 14.0
Observations.
LongUudos.
Li — 80.56.1 1
L', = 101 . 0.54
I/i = ri4. 19.22
I>i»i. an pôle de récllpiiqur.
O , m
Pi - 107.51 .39
3', — iist. 5. 2
^\ r- 113.43.55
Lieux de la Terre (Connaissance des Temps),
Ô 342.4*2. 5
l' 346.35.3i
' Ô' 350.29.20
logR.
logR'
log R'
o , oo3 i 32
0,002665
0,002184
Calcul de M.
log cot ?;
logsin(L''4 — c).
9 ,6082 î n
9» 99875
9, 60699 Al
log cot ?',
logsin(L'j
-f;
I*' terme — o, îo4565
2" terme.
log cot ^\
Iogsin(L', — Ô')
3' terme
i**" terme
2' terme.
Num
9,643o9n
9»9^9^9
9, 6023 8 71
— 0,400295
— o,4o4565
-0,293402
—0,11 ii63
log cot P'
logsin(L'|— Ô')
4* terme.
3* terme.
4' terme.
Dén....
9,50817/1
9 > 9^9*^9
9,46746/2
— 0,293(02
9,60824/1
9)8^777
9,43600/1
— 0,272900
--0,400295
--0,272900
—0,127395
log \um 9 ,04596/1
log Dén 9,io5]5/i
log M 9)9Îo8i
CALCUL DE l'orbite DE LA COMÈTE DE 1769.
175
CALCUL DES RATONS VECTEURS.
log R* 0,006264
Iog2 o,3oio3
log R o,oo3i3
logcos(Lt— 6). 9,i56o4
9,46021
Nombre 0,28854
log séc ^1 0,02145
log séc* Pi 0,04290
log R'* 0,00437
log 2 o,3oio3
log R" 0,00218
logcos(L''i — g'; 9,84048
logM 9»94o8i
o, 08450
Nombre 1,21478
log sec* ^"1 0,07674
log M» 9,88162
9,95836
Nombre 0,90857
r»= 1,01453- [9, 46o2i]p-f-[o,o429o]p« (»)
r'«= 1,01011 — [o,o845o]p-f-[9,95836]p«
CALCUL DE LA CORDE.
'-«>
o,3oio3
o,oo3i3
0,00218
9 > 99598
0,30232
2,00596
log 2
logR'
logcos(Li— 6').
Nombre.
log2 o,3oio3
log R o,oo3i3
logcos(i;; — Ôi) 9,89427 n
logM 9.94081
0,13924 n
Nombre — 1»37799
—2,00596
r^-\'r^* -+-2,02464
c*= 0,01868
o,3oio3
0,00218
7,89267 n
8,19588 n
■0,01570
Iog2
log 2
log M
logcos(L''j— Li).
Nombre.
o,3oio3
9,94081
9,86i38
0,I0322
1,26828
o,3oio3
logcotjii 9,50817/1
logcot?'; 9,64309/1
logM 9»94o8i
9,39310
Nombre 0,24723
-+-0,01570
I , 37799
1,39368
— I ,5o332
— 1,26828
—0,24723
— i,5i55i
2,01240
— 0,1 0964 p o, 49689 pî
('} Les nombres entre crochets sont des logarithmes.
176 LIVRE IV. — CHAPITRE XVIII.
Les équations numériques à résoudre sont donc
(0 r»= 1,01453 — [9,46o2i]p -+- [0,04290] p«,
(2) /•'*= 1,01011 — [o,o845o]p-f-[9,95836]p',
(3) c« = 0,01868 -[9, o3997]p-^[9,69626]p^
auxquelles il faut joindre Téquation de Lambert.
Pour le calcul de celle dernière nous aurons
log2 /{Â 8,5366i 19 — 10
log(/'~0 0,90309
Ioga/iI(^'— 0 9,43970 — ><>
et nous nous servirons de la petite Table de Encke pour calculer c
au moyen d'une valeur attribuée à r -f- z*^.
Tâtonnements.
La somme r ^- /•" doit être notablement moindre que 2, à cause
des termes négatifs qui entrent dans les expressions de r et de r'.
Nous ferons d'abord r-^-r^ =^ i,8. Avec celte valeur, nous calcu-
lerons 7;, puis la Table de Encke nous donnera £ et, par suite, c, de
manière à satisfaire exactement à la condition t'^ — / = 8^.
i"* supposition : r-.- t^ ^ 1,8
Iog(rH-/'') o,'255'i7 logé o,ooo236
^logCr-t-r*) 0,12764 log2/iI(r — 0-. 9i4397o
3
Iog(rH r')* 0,38291 9>4399(
log2v^(/'— O". 9,43970 log(r-hr')* 0,12764
logT) 9,05679 loge 9,3i23o
r^ 0,11397 loge» 8,62460
d'où log e o,ooo236 c» o,o42i3i
Avec cette valeur de c^, Téquation (3) devient
o --: 0,023453— [9, o3997]p -i-[9,69626]p«.
On en tire log f : - 9 , 54899.
CALCUL DE l'orbite DE LA COMÂTE DE 1769. 1 77
Avec celle valeur de p, on calculer et /^parles équations (i) et (2).
On obtient ainsi
r i,o25o4
r" o,833o7
r-r-r" i,858ii
C'est cette valeur de r -f- r'' que iious allons adopter pour la se-
conde approximation.
a' supposition : r-h r' = i , 858 1 1 .
En recommençant, avec cette seconde valeur, les calculs précé-
dents, on trouve
r 1,02373
r" o, 83494
r—r^ 1,85867
Si Ton procédait à un troisième calcul en partant de cette
dernière valeur, on retomberait identiquement sur la môme somme.
Une simple interpolation suffit et donne logp = 9,54210, puis
r 1,023716
r^ 0,83496
c 0,201983
^
Avec ces nombres on procède immédiatement au calcul des
cinq éléments de l'orbite. Mais nous allons d*abord vérifier le
iogvé d'exactitude de Thypothèse sur laquelle repose cette mé-
bode, à savoir -7, = -7 -• D'ailleurs ce calcul nous donnera la
oc t t
tstsince périhélie et les deux anomalies Çy v" .
I^ 'abord la formule de la page 162
2 txrr'
icf=i(r'— ^)=:2•I3'4l^
S
Ûe Téquation
I - I . r^ — r
tang^5langy£f= _^
4 4 r H- /-^ H- 2 y/rr*
178
donne
LIVRE IV. — CHAPITRE XVIII.
o , m
\ S 110.54.1G
\ S 221.48.32
\d 2 . 1 3 . 4 1
l' 219.34.51
v" 22 J. 2. l3
La relation r cos*{r = y ou r^cos-^r" = q fait connaître
Iog^ = 9,06951.
Enfin on a 0, date du passage au périhélie, par
.Œ - . ■
V 27
et l'on trouve ainsi
- ( / - 6 ) = tang - r -+- - lang» - r,
/ — 0 — 32J.83i5
/ î. 5833 septembre.
d'où
6,
7,4148 octobre.
ou bien octobre 7 à 10 heures.
Cela posé, calculons r et i'' pour la date du 8 septembre. Le
logarithme de la constante k de la Table de Barker est 9,9601278.
logX.
log </
log/w
9,96013
s. 60426
I ,35586
1 .45987/1
2, 8 1 563/1
logcos* J i-'
log y
logr . .
lo<: r
logsint i'' — i' •
i** triangle. . .
9,ioo38
9,06951
9,96913
0,01018
8,5i324
8,52255
La Table donne pour celte valeur de ^K. :
!*>?'■• 9,9^1 3
logr* 9>92>^
logfinr' — r ». 8,63i6i
2'triansle
22i*3i 59'
iio*47'3o*
!•* triangle
8,52240
8,52255
log rapport 9i99985
Nombre 0,99969
CALCUL DE L.'ORBITB DE LA COMÈTE DE 1769.
«79
Œ /" — /'
Ainsi s = 0,99969, tandis que le rapport —, = i . L'erreur
est que de o,ooo3i. Si les intervalles étaient très inégaux, cette
Teur serait plus forte ^ mais on vient de voir le moyen de la cor-
ger : c'est de porter cette valeur plus exacte dans l'expression
B M (p. 169) et de recommencer le calcul.
Calcul des éléments (p. 170).
i"" Coordonnées nÉLiocENTRiQUES.
logp 9,54210
logr 0,01018
9,53192
logcot^; 9,50817/1
logcos^ 9,04009/1
P 96''i7'47
log^..
Iogsin(L] — t )
CMogsin^
logsin(L — ô .
9,53192
9,99550
0,00263
9,53oo5
logp' 9,48291
logr* 9i9'*«66
9, 56124
logcotp; 9,64309/»
logcosp' 9,20433/1
P' 99°i^'4i'
log^ 9,56i24
logsin(L;'— J").. 9,858i5
CMogsinp" o,oo564
logsin(L'' - 5"). . 9,4i5o3
L
l.
L
L
L" — L
19.48.31
342.42. 5
2 . 3o . 36
5.55.14
3.24.38
L* — ô ..... i5 .25*54
t" 350.29.20
L" 5.55.14
Mouvement direct.
2° Calcul de N.
logcotp
Iogcos(L''— L).
9,04272/1
9 > 999^3
9,04195/1
— 0, 110142
log cot^ . . .
— Iogsin(L''-
losnum . . .
• • • • •
9,04272/1
8,77445
7,81717/1
8,71623/1
Nombre . . .
logdén . . . .
....
cotp'
—0,162169
logtang(L-
-N).
9,10094
)én.cotP'— nom.,
log défi
— 0, 052027
8,71623/1
L — N
L
N
• • • •
» • • • •
0 / »
187. II .27
2.30.36
175. IQ. 0
i8o
LITftl !▼. — CHAPlTftl XVIII.
Calcul de i et de w.
logcot^
logsin(L — N).
9,0427211
9,09751/1
C-N
N
189.32.48
175.19. 9
log tang 1
9t9452I
C
4.51.47
t
4 1*23' 4 2'
p = J^ — m . .
w
219.34.59
Iogtang(L— N).
log cos i
*t ^' ^
9»>oo94
9,87516
145.16.48
logtang(^-N).
9,22578
Voîci donc les éléments approchés de Torbile de la comèie
de 1769 :
•^
ÉlèaeoU d« L«ff«»4r«
Passage au périhélie.
7 ocl. à lo*"
7 oct. à i2^44"38*
Distance périhélie..
0,11736
o,i23o4oi
Long, du périhélie. .
0 ,
145.17
144.11.32
Long, du nœud asc.
175.19
175. 3.40
Inclinaison
41.24
40.47.56
Sens du mouvement.
Direct
Direct.
Les éléments de Legendre ont été calculés sur l'ensemble des
observations. Je les mets en regard des premiers pour faire ap-
précier le degré d'apj5roximation auquel on peut prétendre pardes
calculs fondés sur un intervalle de huit jours. On obtiendrait beau-
coup mieux aujourd'hui, parce que les observations actuelles de
comètes sont incomparablement plus exactes qu*au siècle der-
nier.
Utilité des éphémérides des comètes nonvelles.
Ces premiers calculs ser\'ent d*abord à comparer la nouvelk
comète à celles qui ont paru autrefois. Ils indiquent en outre très
approximativement la marche que la comète va suivre. Pour cela,
on construit une èphéméride; en d'autres termes, on calcule
d'avance, de quatre jours en quatre jours par exemple, les ci>or-
données géocentriques et la distance à la Terre. On juge aiosi
d'avance de Tépoque à laquelle la comète, d'abord tétescopique,
peut devenir visible à Tœil nu, de celle où se développer» sa qufoe,
de la durée totale de son apparition pour Tun ou ilautre hémi-
sphère, etc.
CALCUL DB l'orbite DE LA COMÈTE DE 1769. l8l
On admet, pour les petites planètes dont le diamètre est insen-
sible, que leur éclat varie en raison inverse du produit r*r],
c'est-à-dire du carré de la distance au Soleil multiplié par le carré
de la distance à la Terre. Si donc on a remarqué, à Pépoque de
la découverte, l'éclat que l'astre présentait alors, on sera en état
d'apprécier plus ou moins celui qu'il aura à d'autres époques. Cette
notion est importante pour l'astronome qui doit se préparer à l'ob-
servation. Mais, pour ce qui concerne les comètes dont la tête
a des dimensions considérables et dont la figure change du tout
au tout, cette évaluation ne doit guère s'appliquer qu'au petit
point brillant, central, qu'on nomme le noyau et dont les astro-
nomes déterminent la position.
|>W<
l82 LIVRE IV. — CHAPITRE XIX.
CHAPITRE XIX.
CORRECTION DES PREMIERS ÉLÉMENTS.
Ces premiers éléments fournissent d'abord le moyen d'appli-
quer aux obser\'alions des comèles les corrections nécessaires At
parallaxe et d'aberration qu'on a dû d'abord omettre, faute de con-
naître la distance de Tastre à la Terre.
On observe presque toujours une comète à IVquatorial, en la
comparant à une étoile connue, choisie à peu près sur son paral-
lèle. L'instrument étant fixé, pendant que la comète traverse
le champ on mesure, à l'aide du fil mobile du réticule et de la
vis du micromètre, la différence de déclinaison entre Taxe optique
et le noyau de la comète; puis on note à la pendule sidérale les
instants du passage de la comète aux fils horaires du réticule.
Quelques instants après, apparaît l'étoile de comparaison qu'on
observe exactement de la même manière. Si dans l'intervalle de
ces ob$er\'ations la lunette ne s'est pas déplacée, on obtient ainsi
les différences d\R et de o entre l'étoile et la comète. Les coordon-
nées de l'étoile étant calculées pour ce jour-là, on aura celles de la
comète en y ajoutant les différences observées.
Corrections de parallaxe et d'aberration.
La différence de distance polaire doit être très petite: on évite
d^uilleurs d'observer trop près de l'horizon : l'effet de la réfraction
sera donc généralement négligeable. 11 n'en est |>as de même de la
parallaxe. Soit r, la distance de la comète à la Terre; la parai-
laxe horiïontale /> sera donnée par — = sin/>, p désignant ici k
ra\on liH^al de Ki Terre. Son effet est de faire voir l'astre un peo
plus Ivàs que si l'observateur était au centre de la Terre. Considères
CORRECTION DES PREMIERS ÉLÉMENTS. l83
maintenant le triangle PZE; E étant la position de Tasïre vu du
centre de la Terre; E|, placé sur le vertical ZE, la position appa-
rente, c'est-à-dire vue par l'observateur; PEZ l'angle de posi-
tion; on aura EE| =/> sin^i sensiblement, et
Ôi — 8 •= p sin 5i sinE =/? sinX sin AI,
{I^i — iR; sin 8 — — p sin Z\ cos E = — />(cosX cos8 h- sinX sin 8 cos^fl).
Quant à l'aberration, on verra, au Livre suivant, que la lumière
met à venir, de la comète à nous, un temps égal à v^> W étant la
vitesse de la lumière. Or W ::= 7-7: > a étant la distance moyenne
de la Terre au Soleil. Comme r\ est exprimé en parties de cette
unité-là, le temps en question est de r^ X 498*. Soit t la date à
laquelle l'observateur a déterminé la position de la comète;
ses coordonnées répondent réellement à une époque antérieure
de Ti X 498*. 11 suffira donc de retrancher cette quantité de la date
t pour tenir compte de l'aberration.
On pourrait encore conserver la date t et retrancher, des coor-
données de la comète, les corrections
dJR , ^ d^ ,
— X r, X 498, 3i X '1 X ^198,
--j-> -y- étant les variations des coordonnées pour 1* de temps.
Ces corrections, négligées dans une première ébauche des élé-
ments, sont indispensables pour les calculs ultérieurs plus précis,
car les forces agissantes sont relatives aux directions réelles et
l84 LIVRE IV. — CHAPITRE XIX.
non à celles dans lesquelles l'observateur voit Tastre dont il s*agit
d'étudier les mouvements. Après les avoir appliquées aux coor-
données équatoriales M et o, on transformera celles-ci en coor-
données écliptiques Lf et ^f,en employant chaque fois l'obliquité
apparente «o, donnée de loJ en loJ parla Connaissance des Temps.
Ces longitudes se trouvent ainsi comptées du point vemal ac-
tuel. Nous verrons, au Livre suivant, que ce point se déplace ico-
temenl, en vertu de la précession et de la nutation. Il en résulte,
dans ces coordonnées, de petites variations qui n'ont rien de comman
avec les mouvements réels de l'astre obser\'é; il faut donc lesco^
riger de ces deux eOets avant de les introduire dans les formules
précédentes; en d'autres termes, il faut les rapporter à une méoie
origine v parfaitement fixe, et relative à une date d*ailleurs arbi-
traire. C*est ce qu*on fait en retranchant, de chaque longitude ap-
parente, la nutation (prise à ^-ue dans la Connaissance des Temps)
et Tcffet de la précession pour le temps écoulé entre la date de
robser>*ation et Tinstant pris pour époque, à raison de 50*^,2 par
an, ou de o', i4 par jour.
On agira de même pour les longitudes Q du Soleil, ou celles
de la Terre ô = C — « 8o*, prises dans la Connaissance des Temps;
on en retranchera raberralion d*environ ao',4, la nutation et b
précossion, afin d^avoir, pour le Soleil aussi, les directions mies
et rapportées au même point ^^i*, ou, comme le disent les astronomes,
les longitudes vraies comptées de TêquiDoxe moven d^une époque
détermimH*.
IV iVt enscmblede corrections, les «eules qu*on ne puisse appli-
quer dtV le début sont è\idemment celles qui exigent la connaissance
de U dîslJinoo do Tistr^ 4 U Terr^. On les néglige tout d abord.
M4iis, dès qu\^n po^Nie los èièmenls approchés de Forbite, on est
en ètAl do lo< jippHqMor aux observations, et c'est des coordonnées
I«t ot i|* 4Jn>i \N>rrigtv<vio U panalUxe et de raberration, puisrap-
|KMrio<sÀ l\\}uînoxo iiio\en d'une onri^ÎDe date fixe, que nous allons
UvHis \Kvu|>er .
iMi d«s prtmers éléments de Forbite.
L<s ixn^^mKiTS olo«ift<H!it> sk>ai»etit !e a»c^Tvti de calculer jour pi^
jv^r U |KVsîtKV)i Je lAstrv ciiainr. i>« a ^tasi «ne série de valeur*
CORRECTION DES PREMIERS ÉLÉMENTS. l85
de ses coordonnées éciiptiques pour des dates équidistantes, coor-
données rapportées naturellement à Téquinoxe moyen de Tépoque
adoptée pour ces éléments. On en déduit, par interpolation, les
coordonnées géocen triques L| et ^i pour les dates des observa-
lions que Ton aura recueillies. En les comparant aux coordonnées
observées, on aura les écarts ou erreurs de la première orbite. La
seconde approximation aura pour but de modifier les éléments de
manière à faire disparaître ces erreurs.
Ici Ton pourrait suivre la marche que nous avons indiquée pour
les planètes anciennes. Elle consiste à former des équations de
condition linéaires entre ces écarts et les six corrections da, de^
d^o, dwj di^ dN des éléments, puis a traiter ces équations par la
méthode des moindres carrés. Mais cela suppose que les corrections
cherchées sont assez petites pour que leurs puissances supérieures
à la première soient négligeables. Il n'en est pas ainsi d'ordinaire
lorsqu'on ne possède encore qu'une simple ébauche de Torbite,
calculée sur des observations très rapprochées. Il faut donc pro-
céder autrement.
Le moyen le plus simple consiste à porter les écarts, entre les L|
observés et les L| tirés de l'éphéméride, sur une feuille de papier
quadrillé, et à construire la courbe de ces écarts en prenant le temps
pour abscisse. Avec un peu de soin, en s'at tachant à faire passer
une courbe à courbure bien continue aussi exactement que pos-
sible par les points marqués sur l'épure, de manière que les dévia-
tions en plus équivalent à peu près aux déviations en moins, on
compensera de très près les erreurs accidentelles de l'observation.
On opérera de même pour les écarts en P|.
Il ne restera plus qu'à choisir, dans les parties les mieux déter-
minées de ces courbes, trois dates aussi éloignées que possible pour
lesquelles on aura calculé les coordonnées de la comète ; les deux
apures en feront connaître les corrections. Avec ces trois positions
^^ormales, c'est le terme consacré, on procède à un nouveau calcul
^es éléments de l'orbite.
S'il s'agit d'une comète parabolique, on emploiera encore la
Kmélhoded'Olbers, avec cette seule différence qu'on substituera, au
ï^pport des intervalles de temps -; 9 le rapport -^ des aires des
triangles rV, r^r calculées par les premiers éléments. S'il s'agit
■ 86 LIVBB IV. — CHAPITBB XIX.
d'une orbite plus ou moins elliptique, on déduira de Tépure
plusieurs positions normales espacées aussi régulièrement qae
possible, et on leur appliquera la méthode de Laplace. Trois posi-
lions sudfiraient si Ton avait recours à la belle méthode de
GausSy à l'aide de laquelle on obtiendrait des éléments qui satis-
feraient rigoureusement à ces trois positions; mais les limites de
cet Ouvrage ne nous permettent pas de Texposer ici.
FIGURE DES COMÈTES. — FORCE RÉPULSIVE. 187
CHAPITRE XX.
FIGURE DES COMÈTES. — FORCE RÉPULSIVE.
Bien que ]a chaleur solaire joue un rôle considérable dans la
production de ces phénomènes, ils rentrent néanmoins dans le do-
'ïiaîne de la Mécanique, et leur intérêt principal consiste en ce
qu'ils nous révèlent, dans les espaces célestes, l'action d'une
force complètement différente de l'attraction newtonienne.
A^oicî, en peu de mots, la succession des phénomènes. Lorsqu'on
découvre une comète encore fort éloignée du Soleil (à la distance 3
^u 4), elle apparaît comme une tache ronde, d'un très faible éclat,
^'^ tout semblable à ces nombreuses nébuleuses télescopiques dont
■^ ciel est parsemé. La figure ronde indique que les matériaux très
^^res dont l'atmosphère de la comète est constituée n'obéissent
^u'^à l'action du noyau ; les couches de niveau dont l'astre est formé
'^ Ont pas encore été déformées par l'action des forces extérieures. Il
y a^ deux points à noter ici : i" les plus petites étoiles se voient à
^ï^aTcrs cette nébulosité presque sans affaiblissement, malgré son
^^orme épaisseur; 2** elles n'y subissent aucune réfraction appré-
^îiible.
On vient d'assimiler celte nébulosité sphérique à une atmo-
^plière : c'est qu'au bout de quelques jours on voit poindre en son
^^nlre un noyau brillant, lequel possède une masse et une den-
^* •-€ énormément supérieuresàcellesde l'enveloppe nébuleuse. Mais,
^ ïuesure que la comète se rapproche du Soleil, des signes de
^^ formation commencent à se montrer. Le noyau prend une
ï^^^sition de plus en plus excentrique, en même temps que la
^•g^ure de l'atmosphère s'allonge dans la direction du rayon vecteur.
*^*ïfin la comète se met à fuser; une queue se dessine à l'oppo-
^^t^ du Soleil. Quand on parvient à mieux distinguer ce qui se
ï^^sse autour du noyau, on voit que la comète fuse aux deux
l88 LIVBK IV. — CHAPITRE XX.
bouls » la fois, par la formation d'une queue à l'opposé du Solril.
et, du côté de-cet astre, par l'upparition d'aigrettes brillanies doM
la matière marche d'abord vers le. Soleil, puis s'arrête et finit jHt
rebrousser chemin pour aller en arrière rejoii
idre les raatéiù»
de la queue. Les deux, figures suivantes de la tête de la comète de
i86a représentent cette aigrette le aa et le a3 août (d'après It
P. Secchi).
(^es pliéiioiiiénes se [Missent sur une ùchdlc gigantesque; il ^ »
des queues de ^o, 3o. 4<>< (^'* millions de lîcucs de longueur et
plus, qui se forment ainsi à l'opposite du Soleil. Ces queues, Un-
gcntes à l'origine au ravon vecteur du no^au, sont recourbée* en
rrière. du coté d'où vient la c
uète. [..eui
■clal, assez vil
presU
novan, va en diminuant vers l'extrémité; là il se perd pour ainiii
dire dans le fond noir du ciel, La largeur de ces queues va aus^i
en augmentant vers l'exlrémilé. Knfin elles sont phites el contenu»
tout enlières (sauf Tépaisseur) dans le plan de l'orbite, en sorte
que, pour un observateur placé dans ce plan, ou à peu près, ces
queues paraissent droites el minces.
Voici une figure de hi grande comète de i8JS avec ses deui.
queues (comèle de Donati).
Quant au novau, seul point que les astninomcs observent, il
obéit à la loi de l'HlIraction newtonicnne et décrit son orbite su»
190 LIVRE IV. — CHAPITBB XX.
lui, OU du moins à rinlérJeur de sa sphère d'attraction, en sorte
que les matériaux qui sont soumis à ces deux forces ne sont plus
retenus par le coqps considéré.
Le phénomène des marées est un cas très particulier de celle
question. L'attraction du Soleil ou de la Lune tend à déformer, à
allonger la surface des fluides qui recouvrent la Terre, dans le sens
de la droite qui unit les deux astres. Si Ton diminuait progressive-
ment, par la pensée, la masse de la Terre, cette déformation se
prononcerait de plus en plus; la surface limite, en se rétrécissant,
finirait par laisser en dehors d'elle une partie de Tenveloppe fluide,
qui cesserait dès lors d'appartenir à la Terre.
On comprend donc que l'action d'une masse puissante, comme
celle du Soleil, tende à décomposer les corps d'une masse très
faible qui s'approchent de lui, surtout si ces corps occupent un
volume considérable, sans cesse accru d'ailleurs par la chaleur crois-
sante qu'ils reçoivent du Soleil.
Considérons maintenant une comète décrivant autour du Soleil
une orbite parabolique. Tant qu'elle sera très loin du Soleil, la
sphère d*altraction sera très étendue. L'action perturbatrice du
Soleil n'étant que la diflerence de ses attractions sur la masse
entière qu'on peut supposer réunie au centre du noyau, -et sur les
parties plus ou moins éloignées, cette force sera inversement pro-
portionnelle au cube de la distance de Tastre et en raison dir.'Cte du
rayon de Taslrc considéré. Elle augmentera donc très rapicjfmenl
à mesure que ce dernier se rapprochera du Soleil. Alors certaines
parties de cette comète, en avant et en arrière du novau, cesseront
de lui appartenir et s'en écarteront peu à peu sous forme d'aigrettes
ou de secteurs luinineiiv; mais comme ces matériaux participaient
à sa \itesse de translation, ils poursuivront leur marche dans la
même orbite, à peu près, aNcc des vitesses peu dillérentes; leur
écartement ira en augmentant; ils tendront à se disséminer tout
du long de celte courbe. C'est là le phénomène auquel on attribue
la dissolution progressive de certaines comètes et leur transforma-
tion en un essaim de plus en plus allongé de corpuscules. Quelques-
uns de ces essaims coupent Torbite de la Terre, viennent la heurter
et s'enflamment dans son atmosphère.
FIGURE DES COMÈTES. — FORCE RÉPULSIVE. igi
Impossibilité d'expliquer les queues par la seule attraction.
Il n'entre là que le jeu ordinaire de raltractlon et il a été étudié
aussi coniplctement que possible par M. Roche (voir les Eléments
de Mécanique céleste de M. Resal, p. 203 et suiv.). Mais les co-
mètes présentent en outre un phénomène entièrement différent, à
savoir la formation de la queue qui se prolonge, non pas sur Torbite,
mais au dehors, dans le sens du rayon vecteur et à Topposite du So-
leil. Ily a là rindlcatlon d'une force bien différente de Taltractlon,
car, on vient de le voir, les attractions combinées du Soleil et de la
comète ne sauraient donner naissance à de tels phénomènes. Cette
force, nécessairement émanée du Soleil, est répulsive.
Caractères de la force répulsive.
Quelle différence y a-t-11 entre ce noyau qui tombe paraboll-
quemenl vers le Soleil, et ces nébulosités qui fuient au contraire
le Soleil avec une rapidité si frappante? La voici : ces nébulosités
sont d'une ténuité, d'une rareté Inimaginables; le noyau, au con-
traire, est relativement très dense et renferme à lui seul presque
toute la masse de la comète. La force répulsive que le Soleil exerce
visiblement sur ces nébulosités n'est donc pas proportionnelle aux
masses, mais aux surfaces. C'est une foroe analogue aux forces
physiques de l'électricité et de la clialeur, aux actions mécaniques
que lèvent, l'eau, etc., produisent sur nous par Impulsion. Elle ne
s'exercera donc pas à travers toute matière, comme l'attraction,
mais elle sera arrêtée par l'interposition d'un écran matériel quel-
conque. Elle ne se propagera pas Instantanément comme l'attrac-
tion, mais successivement comme le vent, la lumière, l'électricité,
la chaleur. Enfin elle n'imprimera pas la même accélération à
toutes les particules de matière, comme l'attraction; son effet
variera avec leur densité. Au lieu de faire mouvoir du même
mouvement les corps massifs et les corps légers, elle les triera
par ordre de densités et chassera plus loin les moins denses. Si,
comme il est naturel de le penser, l'action de cette force varie en
raison inverse du carré de la distance, son effet sur un corps
sera dû à la simple différence entre elle et l'attraction, différence
qui sera tantôt positive, vers le Soleil, ou négative à l'opposite.
■ 9^ LIVBE IV. — C^APITME XX.
suivant qu^elle sera moindre ou plus forte. L'orbite décrite
sera donc une branche d^hN-perbole tournant sa concavité vers le
Soleil dans le premier cas, et sa convexité dans le second (p. 120).
Dans les deux cas, le Soleil sera au fover.
Examinons maintenant les conséquences et voyons si elles
s'accordent avec les faits. Soient A, B, C, D, E (^fig* 3") les posi-
tions successives du noyau sur sa trajectoire autour du Soleil S. Une
molécule, cessant en A de faire corps avec le noyau et placée en de-
hors de la sphère d'attraction est repoussée par le Soleil avec one
force HO — [jl, H étant un coeflicient relatif à la densité et à U
figure des particules cométaires. En vertu de sa vitesse actuelle,
égale à celle de la comète, et de cette force répulsive, elle
décrira une trajectoire hyperbolique (nous négligeons l'attraction
C
du noyau) Aa. La relation V = -; (p. 1 i5),qui s*appliqueaai
forces centrales quelconques, montre que Taire décrite en un temps
r
donné par le rayon vecteur de celle molécule sera la même que
Taire décrite par le rayon vecteur SA du noyau, car V, r et i sont
les mêmes à Torigine, en A. Lorsque le noyau sçra parvenu
en E, la molécule considérée sera venue en a de manière que le
secteur hyperbolique AS^ soit équivalent au secteur parabolique
ASE, et comme le point a se meut en dehors de la courbe AD, il
se trouvera, à Tiuslant considéré, en arrière du ravon vecteur SE. U
en sera de même des molécules abandonnées par la comète en
B, C, D, pourvu qu'on les prenne dans les mêmes circonstances de
situation que la molécule a. Au moment où la comète sera en E, ces
molécules se trouveront en b, c^d, .,, toutes en arrière du ravon vec-
teur,el leurensemble, à cet instant, dessinera une ligne Et/c 6a dont
FIGURE DBS COMETES. — FORCE REPULSIVE.
193
la convexité fera face à la région vers laquelle se meut la comète.
Si le point D était infîniment rapproché du point E, les aires
triangulaires SDd, SDË étant égales, l'élément de courbe £^
devra être parallèle à SD, et, comme Tangle DSE est supposé
ifiGniment petit, la courbe de la queue sera tangente, à Torigine, au
ravon vecteur SE.
Si, au lieu d'une molécule, on considère l'ensemble de celles qui
cf uittent le novau en A, cet ensemble voyagera sur des trajectoires
très voisines de Aa, les premières se séparant de plus en plus de
celles qui sont en arrière; cette sorte de bouffée de nébulosités
s^allongera de plus en plus et viendra occuper en a un espace
beaucoup plus grand qu'en A, surtout dans le sens de la marche.
Celte bouffée ira donc en se raréfiant, en diminuant d'éclat, et
finira bientôt par disparaître à nos yeux. Ainsi la queue d'une
comète, enveloppe des positions de toutes ces bouffées successive-
ment enlevées de la tête, doit aller en s'élargissant et en s'affaiblis-
sant à partir du noyau.
Si parmi les molécules émises en A, B, C, D, ..., il s'en trouve de
densités différentes, les plus légères, plus vivement repoussées que
les autres, décriront des hyperboles plus caractérisées avec une
accélération plus rapide. Un triage aura donc lieu ; les plus
Fig. 38.
légères, les moins lumineuses par conséquent, puisqu'elles ne se
voient que par la lumière qu'elles réfléchissent, iront former, entre
]e rayon vecteur SEE' et la première queue, une seconde queue
II. i3
194 LIVRE IV. — CHAPITEB XX.
E rfV moins recourbée et moins brillante que la première hdcba.
Celle-ci sera également tangente à l'origine au rayon vecteur. On
retrouve sur le dessin de la comète de Donati (p. 189) toutes les
circonstances que nous venons de décrire.
Explication proposée par Newton.
Newlon a donné, dans le livre des Principes, une théorie ana-
logue; mais il y a mêlé une hypothèse dont il importe de signaler
le défaut. Considérant sans doute comme anti-philosophique de faire
intervenir dans les phénomènes célestes une autre force que fat-
traction, il attribue la répulsion que subissent les matériaux des
comètes à Faction d'une vaste atmosphère dont le Soleil serait en-
touré. Les nébulosités cométaires s'v élèveraient sous Tinfluence de
la chaleur solaire, comme la fumée qui monte dans notre air, non
par une répulsion réelle, mais en vertu de la poussée produite par
Tair plus pesant qui se trouve déplacé. Il y a là une erreur presque
évidente que Laplace a signalée. L'atmosphère du Soleil tourne
nécessairement avec cet astre, de même que Tatmosphère terrestre
tourne avec la Terre; dès lors elle ne saurait dépasser le point où
la force centrifuge, née de la rotation, ferait équilibre à Tattraction.
Cette limite est bien plus rapprochée du Soleil que Torbite de
Mercure. Quant à Téther des physiciens, il est impondérable; par
conséquent il ne pèse pas sur le Soleil et ne pourrait donner lieu
par son propre poids, puisqu'il n'en a pas, à l'ascension de maté-
riaux moins denses que lui. S'il était pondérable, ses diverses par-
ties devraient circuler, d'une manière ou d'une autre, suivant les lois
de Kepler: elles ne presseraient donc pas davantage sur le Soleil.
Introdaction de la force répolsiye dans les équations
différentielles dn monyement.
11 s'agit ici de la trtijectoire de la comète : dans ce cas la répul-
sion est excessivement faible et ne saurait exercer qu'une simpk
action perturbatrice, à cause de la densité relativement forte du
novau.
Voici la comparaison des caractères des deux forces visiblemeot
exercée^ par le Soleil.
FIGURE DES COMETES. — FORCE REPULSIVE.
RÉPULSION.
195
ATTRACTION.
Elle est proportionnelle aux masses,
die agit à travers toute matière
sans extinction.
Elle se propage instantanément.
Ile varie en raison inverse du carre
des distances.
Elle est proportionnelle aux surfaces.
Elle est affaiblie ou interceptée par
toute matière interposée.
Elle se propage successivement ,
comme les autres forces physiques.
Elle varie très probablement en
raison inverse du carre des dis-
tances.
Soit W sa vitesse de propagation ; si elle marche aussi vite que la
c^iialeur et la lumière, ou aura
W=:ioo9iv^ (p. 265).
Représentons par H un coefficient dépendant de la figure et de
la densité du mobile (comme dans la théorie de la résistance d'un
itîilieu), par V la vitesse tangentielle de ce dernier à la dislance /*.
UW HV , , . ....
— 1-9 — j- seront les composantes do cette force estimée suivant le
ï^yon vecteur et la tangente àTorbite. On aura donc
dTx
(X \\\\\x \\V dx
,.2 y ,. ,.2 ^g
1IW\ V \l\dy
/•* / r /•* ds
^•3
ds
OU bien, en posant [/.'=[/. — HW, V = -^ >
de
d^x ]i! X 11 dx
m?
d^y
dt^
_ ^y
/•* dt '
H dy
r* 'dt '
Si Ton intègre ces équations, comme Ta fait M. Plana, par la
théorie de la variation des constantes arbitraires, en y appliquant
les formules du Chapitre VII de la Mécanique céleste ('), on
trouve, pour les variations séculaires et périodiques des élé-
( * ) Mémoires de V Académie de Turin, série II, t. XXJ. Évidemment celle ana-
lyse ne s'applique pas aux trajectoires hyperboliques des matériaux de la
qutfuc.
196 LI^BE IV. — CHAPITEE XX.
ments, les expressions suivantes, où H'= -7=:
V>
da=: ^ ' r sin(f — fp),
(}e=: ^ 4L , sin(4^— m ,
eCTGJ =: H == <^OS(^ — fs).
Comme /i*a' = [x', on aura
()/i=i H -Ch . sm(^— m).
On voit que tous les éléments, sauf i et N, sont alTectés d'iné-
galités dont la période est la durée de la révolution. Seuls le grand
axe et l'excentricité présentent en outre des inégalités séculaires.
L'accélération du moyen mouvement doit être, toutes choses égales
d'ailleurs, bien plus marquée que dans la théorie des milieux résis-
tants pour les comètes dont Torbitc est très excentrique. Par
exemple, le seul facteur (i — e^) * commun aux deux théories est
465o fois plus grand pour la comète de i843 et de 1880 que pour
celle d'Encke. La cause dont il s'agit pourrait parfaitement produire
l'accélération exceptionnelle que quelques Astronomes soupçonnent
dans le mouvement de la première comète.
La répulsion paraît être due à F incandescence da Soleil.
« J'ai expliqué jusqu'ici, dit Newton à la fin du livre des Prin-
cipes, les phénomènes célestes et ceux de la mer par la force de U
gravitation, mais je n^cn ai assigné nulle part la cause. Celte force
vient de quelque cause qui pénètre jusqu'au centre du Soleil et àei
planètes sans rien perdre de son activité ; elle n'agit pas selon 1«
grandeur des superficies, comme les causes mécaniques, mais selon
la quantité de matière, et son action s'étend de toute part à des es-
paces immenses, en décroissant toujours dans la raison doubléedes
distances. » Ici, au contraire, il s'agit d'une de ces causes mécaniques
qui agissent selon la grandeur des superficies. Est-ce rélectricilé?
FIGURE DES COMÈTES. — FORCE RÉPULSIVE. I97
Olbers etBessel ont adopté cette hypothèse parce qu'ils ont cru voir,
dans la formation des aigrettes de la tête {^fig* 35), l'indice d'une
répulsion électrique propre au noyau. Il est facile de voir que c'est
une simple conséquence delà force décomposante exercée par l'at-
traction solaire sur les matériaux du noyau dilatés par la chaleur.
D'ailleurs l'étal électrique ou magnétique de ces astres nous
est inconnu. Mais ce que nous savons, c'est, d'une part, que le
Soleil est dans un état de vive incandescence, d'autre part que la
chaleur n'est pas une force polaire, mais une force simple se ma-
nifestant uniquement par des répulsions de molécule à molécule
dans l'intérieur des corps. Si donc ces répulsions, que tout écran
matériel doit affaiblir ou intercepter, ne s'annulent pas à toute
distance finie (proposition difficilementcontestable),rimmense pho-
tosphère incandescente du. Soleil peut fort bien agir d'une ma-
nière sensible, malgré la distance, sur les corps à grande super-
ficie et presque sans masse, tels que les nébulosités cométaires.
J'ai fait à ce sujet des expériences qui m'ont paru confirmer cette
manière de voir, mais ce n'est pas ici le lieu de les exposer.
Quant au rôle astronomique de cette force répulsive qui doit
s'exercer aussi bien sur les planètes que sur les comètes, les équa-
tions de la page 194 montrent qu'il se réduit à produire (comme
la résistance d'un milieu immobile) une petite accélération des
movens mouvements et une faible diminution des excentricités. Il
a été jusqu'ici complètement inappréciable en dehors des comètes,
et cela s'explique par l'énormité de la densité des planètes et de
leurs satellites, vis-à-vis de celle des nébulosités cométaires.
En résumé, une comète subit, à la fois, deux genres de décom-
position mécanique lorsqu'elle vient à passer au périhélie. Le pre-
mier, par la seule influence de l'attraction solaire, dissémine sur
l'orbite du noyau des matériaux de toute densité, et donne ainsi
lieu, pour les comètes qui passent près de l'orbite de la Terre, au
phénomène des étoiles filantes, des bolides et des aérolithes. Le
second, par l'action répulsive du Soleil, chasse bien loin de l'orbite
les matériaux les plus légers et forme les queues opposées au Soleil.
C'est d'ailleurs la chaleur solaire qui, sous des pressions exces-
nvement faibles ou nulles, réduit progressivement les matériaux
5vaporables à l'état de nébulosités impalpables donnant prise à la
force répulsive du Soleil.
198 LIVRE IV. — CHAPITRE XXI.
CHAPITRE XXI.
RECHERCHE D'ASTRES INCONNUS.
Procédés de recherche pour les comètes.
La recherche des comètes est une occupation attachante el souvent
fructueuse. Il faut se familiariser avec les constellations et lesprin-
cipales étoiles. Tout Tattirail instrumental consiste en une carte
du ciel et une lunette de nuit qu'on tient à la main.Celie-cinediflire
des lunettes ordinaires que par un oculaire négatif destiné à agran-
dir le champ et à donner beaucoup de lumière. Quant à la pelilf
carte du ciel, il faut y marquer soi-même les principales nébuleuses,
visibles dans ce chercheur, car on risque de les prendre pour des
comètes lointaines. Si Ton vient à rencontrer dans le champ du
chercheur une tache nébuleuse non inscrite sur la carte, on en fixe
immédiatement la position par des alignements, puis à réquatorial.
et, après avoir constaté que l'astre se déplace par rapport aux
étoiles, on annonce la découverte par la voiedes journaux. Toul If
monde ne dispose pas d'un observatoire, mais chacun peut faire
monter une lunette sur un pied en bois, placer à son fover un
micromètre circulaire, c'est-à-dire une plaque de verre sur laquelle
on fait tracer au diamant des cercles concentriques. Avec cel
instrument, qui n'a pas besoin de monture parallactique, une montre
de poche à secondes et un catalogue d'étoiles, on est en état de faire
des observations bien préférables à de simples alignements. Plu*
d'un astronome célèbre a commencé ainsi.
Petites planètes entre Mars et Jupiter.
La recherche des petites planètes est plus minutieuse. li faut uu
équatorial et (les caries célestes contenant toutes les étoiles jusqu'à
BECHERCHE D ASTRES INCONNUS. IQp
la 10* grandeur. On passe en revue successivement les étoiles con-
tenues dans la zone zodiacale (quant aux comètes, elles peuvent se
présenter partout), et Ton s'arrête lorsqu'on rencontre, dans les
groupes examinés, une étoile non inscrite sur les cartes. Elle a été
jusqu'ici bien fructueuse, car on a trouvé 227 petites planètes entre
'es orbites de Mars et de Jupiter, et rien n'annonce que la série de
ces intéressantes découvertes soit épuisée.
La première trouvée a été Cérès, découverte par Piazzi le i**" jan-
vier 1801.
Quel que soit l'intérêt de ces petits astres dont on commence à
tirer parti pour la détermination de la parallaxe du Soleil, la dé-
couverte d'une grande planète comme Uranus est bien autrement
importante. W. Herschella découvrit, en 1781, en faisant une revue
des étoiles de toutes les grandeurs jusqu'à la 8®, à l'aide d'un té-
lescope assez puissant. Il s'agissait de faire un dénombrement exact
<les étoiles doubles. Son attention se fixa sur cette planète loin-
laine, à cause de son aspect fort différent de celui d'une étoile.
Uranus se montre en effet comme un très petit disque de lumière
pâle, et non comme un point de lumière vive. On s'attendait peu, à
cette époque, à voir le système solaire s'enrichir d'une planète de
plus; aussi la prit-on d'abord pour une comète.
Planètes intra-mercurielles.
Certaines taches d'aspect planétaire qu'on a vues, à diverses
époques, sur le Soleil ont fait penser qu'il pourrait bien exister
une ou plusieurs planètes entre cet astre et l'orbite de Mercure.
*-^ Verrier a donné de l'importance à ce genre de recherches
ca aflGrmant que la théorie ne rendait pas un compte rigoureux
"^ Certaines inégalités observées dans les mouvements de Mer-
^Te. Mais, pour chercher les planètes intra-mercurielles, on en
est réduji, à attendre leurs problématiques passages sur le Soleil,
^ l^îen les éclipses totales pendant la courte durée desquelles l'at-
^^phère cesse de jeter sur les environs de Soleil un voile lumi-
^^X fort gênant. Jusqu'ici ces deux moyens de recherche n'ont
11. ^^* à aucun résultat. Le second va être appliqué pendant
^^lipse totale de mai i883, par ordre du Bureau des Longitudes.
200 LIVRE IV. — CHAPITRE XXI.
Satellite de Sirius.
Ily a une dernière manière de chercher un astre inconnu lorsque
son existence s'est décelée par quelque irrégiilarilé qu'il aura causée
dans la marche d'un astre connu : c'est le calcul. Besscl, ayanl dé-
couvert une certaine loi dans les faibles écarts du mouvement
propre de Sirius, nliésita pas à les attribuer à Taction d'un satel-
lite non encore observé, d'une petite étoile voisine, jusqu'alors ef-
facée dans le rayonnement intense de l'étoile principale. Les pré-
visions du célèbre astronome de Kœnigsberg se sont pleine-
ment vérifiées. Sur ces petites inégalités, MM. Pcters et Auwcrs
calculèrent l'orbite du satellite qui devait les causer. Longtemps
après, un habile opticien des États-Unis, en essayant une lunette
de i5 pouces d'ouverture à l'objectif, découvrît du premier coup,
en 1862, l'astre perturbateur, le compagnon de Sirius annoncé par
Bessel et calculé par ses élèves, mais resté invisible pour leurs trop
faibles lunettes. Il se trouvait juste dans la diiH^ction donnée par
les éléments de son orbite.
Découverte de Neptune.
L'exemple le plus brillant d'une découverte de ce genre c*l
celle de Neptune. En compulsant les anciennes observations, on
avait reconnu que la planète Uranus, découverte en 1781 par
Hersclu'l, avait clc observée plusieurs fois à partir de i()o,o par
des astronomes qui l'avaient prise pour une simple étoile Je
6* grandeur. On possédait donc, au commencement de ce
siècle, plus de cent années d'obser\'ations de celte planète,
dont la révolution est de quatre-vingt-quatre ans. Laplacc en
fit la théorie. Bouvard en calcula les Tables; mais il rencontra
ici un obstacle qu'aucune autre planète ne lui avait opposé. I-W
observations du wiii** siècle ne cadraient pas avec celles du xi^'î
impossible de les représenter toutes par une même orbite. Bouvan'
attribua cette diUîculté, non à quelque défaut de la loi d'attraction
qui deviendrait sensible à une grande distance du Soleil, mais a
l'action d'une planète inconnue qui circulerait bien au delà Je
l'orbite d'Lranus. En attendant une recherche alors impossible^
faute de données sullisantes, il se résigna à sacrifier les anciennes
RBCHERCHB d'ASTRES INCONNUS. 201
observations et à baser ses Tables sur les plus récentes. Maïs la
planète ne se plia pas à ses calculs ; les Tables de Bouvard, publiées
en 1821, se trouvèrent bientôt en désaccord avec les positions
observées d'Uranus; l'erreur était déjà de 128" en iS^o.
Était-il possible de découvrir par le calcul la position de Tastre
perturbateur? Les écarts ne tenaient pas seulement à son action,
mais aussi aux erreurs des éléments assignés à Uranus, éléments
calculés sur des observations nécessairement viciées par des per-
turbations dont on n'avait pu tenir compte. La question était
donc de déduire de ces écarts, de nature si complexe : i'* les cor-
rections des six éléments de l'orbite d'Uranus, 2° les six éléments
de la planète inconnue et sa masse.
Cette question serait même insoluble si Ton ne se donnait pas,
a priori, par une sorte de divination, la distance de la planète
cherchée au Soleil. Par la loi de Bodc (p. gS) on trouvait Sg, à peu
près le double de la distance d'Uranus; de plus tout portait à croire
que l'inclinaison de son orbite su réelle d'Uranus était négligeable.
Cherchons à nous rendre cormpte de ce singulier problème, dont le
caractère, si mal déterminé, était bien peu encourageant.
Première idée du problème.
Uranusne se rapprochp évidemment de la planète inconnue qu'à
de très longs intervalles; à en juger par la distance hypothé-
tique 38 ou 39, la période de leurs conjonctions devait embrasser au
moins un siècle et demi. Or Faction perturbatrice n'étant un peu
marquée que pendant un demi-siècle au plus, vers Tépoque d'une
conjonction, elle est négligeable partout ailleurs, pendant un siècle
au moins, à cause des énormes distances, 39 et 58, qui séparent
alors la planète inconnue du Soleil et d'Uranus. Il aurait donc fallu,
en 1840, faire deux parts des observations existantes et chercher
à les représenter isolément. On aurait trouvé ainsi qu'une même
orbite satisferait à toutes les observations anciennes, de ib'go à
1800, tandis qu'elle n'aurait même pas pu représenter passablement
les suivantes. Par conséquent la planète cherchée devait se trouver,
pendantla première période, trop éloignée pour exercer une action
bien sensible. Or, en comparant la première orbite, satisfaisant à
10^ LIVRE IV. — CBAPITKE X3LI.
près d'un siècle d'observations, avec les obscni'alions nouvelles
(celles du xix* siècle), on aurait eu sous les yeux, par les écarts
obtenus, la marche des perturbations spéciales d'Uranus, et cooslalé
un maximum vers 182a. Il est facile de voir que ce maximum doit
correspondre à l'époque de la conjonction des deux planètes vues
du Soleil.
En effet, si on décompose Taction perturbatrice (différence des
attractions exercées sur Uranus et le Soleil) suivant la tangente et
le rayon vecteur, on voit que la première composante agit dans
un sens avant la conjonction, et dans le sens opposé, avec la mêrae
intensité, après celte époque. Ses effets finissent donc par se
détruire après avoir produit un maximum d'écart en i8aa. Quant
à l'autre composante, celle du rayon vecteur, elle ne s^annule pas,
mais elle n'affecte point la vitesse aréolaire; elle n'altère que le
demi-paramètre de Forbited'Uranus, car dans la relation (l*z=pik^
où le facteur [x se trouve altéré, le produit p^ doit rester constant.
Cette action, d'abord peu sensible, s'étendra à la révolution sui-
vante d'Uranus, laquelle s'accomplira avec des éléments elliptiques
sensiblement modiliés.
Cela posé, si la conjonction des deux planètes a eu lieu en i8a3.
comme Uranus avait alors 275° de longitude héliocentrîque, It
planète inconnue devait se trouver aussi par a~5® de longitude. En
ajoutant 48** pour le chemin parcouru par cette dernière, de 1822
à 184^* on avait 323** au moment où Ton s'est mis à la chercher.
On l'a trouvée par 327°.
Travaux de H. Adams.
Ce n'est pas par de semblables tâtonnements que le problème
fut abordé pour la première fois, en 1 843, par M. Adams, mais d'une
manière bien plus scientilique et plus ellicace. Si l'on désigne par
c>^o. On, di\ dm les corrections à ajouter aux éléments elliptiques
*les Tables de Bouvard pour Uranus, on a (p. c>4)
<^^, — ton — 2cos(^»-r- nt — w)eOfa -^ 'à s'in(^^ ^ ni ^ m)de
|>our rt^prêsenler les écarts des observations, en tant qu'ils ne
dépendent que des erreurs des éléments.
RECHERCIIB D'aSTRES INCONNUS. 20J
D'autre part, les perturbations causées par une planète deux (bis
e'
plus éloignée qu'Uran us, et ayant pour éléments^^,/i',rt', — jiij'etunc
masse ^- — exprimée au moyen de l'indéterminée m\ s'obtiennent
aisément par la marche habituelle, si bien tracée dans la Mécanique
céleste, M. Adams a trouvé ainsi (*) :
59 m! sin 2 (^0 -H /i^ — 4^'o -~ '*' 0>
3i m' sin [4^0 -+- '«^ — 2(^0 -h w'/)-H w],
— 93 m'sin[2(4^o"»-''0— 3(4^'„ -h/i'/)-i-ny],
Il a ajouté ces termes aux différentielles précédentes, égalé leur
somme aux écarts constatés et formé des équations de condition
entre les neuf inconnues. En profitant habilement d'une cir-
constance qui permettait de traiter à part les corrections de l'orbite
d'Uranus, M. Adams a obtenu, en i845, les éléments de la planète
perturbatrice : avec l'hypothèse «'= aa = 89,
Époque ' G octobre 1846,
Longitude moyenne de l'époque . . -Ci = 325"7'
Longitude du périhélie xs' = SiÔ'^Sj'
Excentricité c' = 0,161
Masse *
6000
=: 0 , 0000 1 ,
et pour les corrections des Tables de Bouvard :
()^o = — 5o%
da
a
e drn •=: 127".
A titre de vérification indispensable, le jeune géomètre s'était
assuré qu'en appliquant ces corrections aux Tables, le désaccord
(') Comparer avec les perturbations de la Terre, p. i33.
aoj LIVRE IV. — CHAPITRE XXI.
entre ces Tables et les observations d'Uranus dîsparaîssaît à peu
près complètement.
M. Adams communiqua ces résultats à quelques astronomes
anglais. L'un d'eux consentit bien à chercher la planète annoncée,
mais, par défiance sans doute, on ajourna la publication du
Mémoire de M. Adams à Tépoque où Ton aurait trouvé la planèle
d'après ses indications, et Ton se crut obligé d'étendre ces recher-
ches bien au delà du point assigné par le calcul, ce qui devait en
retarder beaucoup le succès.
Travaux de Le Verrier.
Heureusement Le Verrier, sur le conseil d'Arago, entreprit
de son côté la même recherche, sans connaître les résultats obtenu*
en Angleterre, et publia les siens, en juin 1846, avec une confiance
qui produisit une impression profonde. M. Galle, à Berlin, était de-
puis quelque temps en possession d'une carte très détaillée de la
région céleste où devait se trouver Neptune. Invité par Le Verrier
à la chercher par 3a6" de longitude, il la trouva immédiatement
par 326**53'. L'erreur du calcul n'atteignait pas 1**. Les élément
publiés d'avance par Le Verrier étaient les suivants.
En supposant a' = 36, 1 54 '
H
0
Epoque i**" janvier 1847
Lonj;ilu»lc niovcnnc ^I, = 218' {7', 4
Lonj^iluilc <lu périhélie m' = 284** iV,8
Excentricité e' =o,io7ru
•^>«^^c ,3»^^
Durée de la révolution -217*"*, ^87
Celle niagni(i(|ue dccouvcrtc amena les astronomes anglais à dc-
rlarer (prils avaient entre les mains, depuis une année enlièro,
les éléments calculés par M. Aduins, assignant la même longitude
à peu près a l'astre inconnu.
Il y eut cc|)C!i(lant une sorte de désappointement lorsqu'on
connut la véritable orbite do la planète nouvelle. En voici les élé-
ments, d'après M. IVirce :
hechercue d'astres inconnus. 205
Époque i'*" janvier 1847
Demi-grand axe 80,067
Longitude de Tépoque 328° 82' 44'
Longitude du périhélie 47°» '^'7'
Excentricité 0,00872
Masse ïToôô
Durée de la révolution 1 64""*, 62
Ils différaient tellement de ceux de M. Adams ou de Le Verrier
qu'il sembla que M. Galle avait découvert un astre tout dilTérent
de celui dont on avait cru pouvoir assigner Torbite par le calcul.
Ces doutes n'étaient pas fondés; mais il faut reconnaître que les
deux savants géomètres s'étaient un peu exagéré la portée de leur
analyse. Procédant par des hypothèses tout à fait gratuites sur la
distance, ils ne devaient réellement aboutir qu'à assigner à peu
près la longitude de la planète cherchée, vers l'époque de sa plus
grande action sur la marche d'Uranus, et non ses véritables élé-
ments. Au fond, c'était tout ce qu'il fallait pour la découvrir.
Conséquences de cette découverte.
Elle a fait disparaître les seuls écarts notables que la théorie
rencontrât alors avec l'observation. Elle a presque doublé l'étendue
du système solaire déjà si élargi par la découverte d'Uranus. Par
la découverte du satellite de Neptune (due à M. Lassell), nous avons
appris que le monde solaire se divise en deux parts. Dans la pre-
mière, la plus voisine du Soleil, les rotations des planètes et les
circulations des satellites sont toutes directes. Dans la deuxième,
elles sont toutes rétrogrades.
LIVRE V. 207
LIVRE V.
PARALLAXE DU SOLEIL, PRECESSION, NUTATION
ET ABERRATION.
Ce Livre comprend la mesure de la distance de la Terre au Soleil,
d'oùTon conclullesdimensionsabsolues du système solaire, eirétude
des variations que subissent avec le temps les coordonnées des
astres, parle seul effet des déplacements progressifs ou périodiques
auxquels sont soumis les axes des coordonnées. Comme la lumière
ne se propage pas instantanément, il en résulte encore qu^aucun
point de l'univers n'est vu à sa vraie place par un observateur en
mouvement. De là des variations, purement apparentes, qu'il faut
défalquer des observations. Nous aboutissons ainsi au système com-
plet des corrections qu'il faut appliquer aux positions apparentes
des astres avant d'en pouvoir tirer parti pour l'étude de leurs
mouvements propres.
208 LIVRE V. — CHAPITRE XXII.
CHAPITRE XXIÏ.
DIMENSIONS ABSOLUES DU SYSTÈME SOLAIRE. PARALLAXE
DU SOLEIL.
>——
Nous connaissons les dimensions et la masse m de la Terre; les
opérations géodésiques nous ont donné les éléments des formules
P
P=ir(p)Mo»(i~îx)D,
P étant exprimé en kilogrammes.
Ces' éléments sont (l. I, p. 298 et 33^, t. II, p. aSg)
(p) = 6378393-,
D=i5,6,
Mais, en Astronomie, nous avons pris pour unités le derai-graod
axe a de l'orbite terrestre et la masse M du Soleil. Pour exprimer les
distances célestes et les masses en unités courantes, il faut donc
déterminer les quantilés qui entrent dans les formules
a
Tï = -nr—, 5»n\-^^ (^•«"- p. 141^*
et, comme (p^. G, T sont parfaitement connus, il ne reste plus qu'à
s'occuper dei-), parallaxe du Soleil. On voit que Terreur relative
qui |K)urra aflecler (t:^ se reportera en entier sur Tunité a et sur
toutes les dimensions linéaires de notre système; elle sera triplée
pour toutes les masses, parce que in') v figure au cul>e.
DIMENSIONS ABSOLUES DU SYSTEME SOLAIRE. 209
Mesure directe de la parallaxe du Soleil.
Pour déterminer la distance d'un point inaccessible M, les arpen-
teurs mesurent une base AB et les angles à la base du triangle ABM.
On obtient l'angle en M par i8o" — (A + B); la distance AM se
calcule ensuite par
sinB
AM=:AB
sinM
L'erreur probable a pour expression
AM
V V AB y "^UangBy "^V^aDgMJ
Le triangle est donc défavorable quand l'angle M est trop petit.
Cest le cas où se trouvent toujours les Astronomes. Comme, dans
leurs opérations, la base est parfaitement connue et les angles A et B
presque droits^ la formule ci-dessus se réduit à
^AM _ âM
AM ~~1Â"
La plus grande base que nous fournisse le globe terrestre est 2 (p).
Même avec cette base, le triangle ayant le Soleil à son sommet
donnerait M = 1 7" environ . Les angles A et B ne pourraient, certes,
pas être mesurés à la seconde ; la valeur de M conclue serait donc
aflectée d'une erreur absolue de plus de i"^'2= i",4' L'erreur
relative de la distance serait supérieure àY^,ou de ^. Les distances
absolues seraient donc connues à ^j près tout au plus, et les masses
^4- On sait, au contraire, avec quelle précision ces distances et ces
'basses sont déterminées quand on les exprime en unités astrono-
'tiques.
Ainsi Tangle en M est trop petit; la distance du Soleil est trop
^'^de pour pouvoir être mesurée ainsi. Mais, précisément
P^rce que les rapports de toutes les distances è celle-ci sont parfai-
^'^ent connus, on n'aura qu'à substituer, à celle du Soleil, celle
^Ue planète très rapprochée de nous.
II. 14
aïO LIVRE V. — CHAP1TRI-: XXII.
Parallaxe de Mars.
Le demi-grand axe de l'orbite de cette planète est i,5!>.; son
excentricité est de 0,098; la plus grande distance du Soleil à It
Terre est de 1,017. Par conséquent, si Ton observe Mars on
opposition lorsqu'il est au périhélie et la Terre à son aphélie,
sa dislance à la Terre sera 0,862, en sorte que l'angle en M sera
trois l'ois plus grand que dans le triangle précédent.
Il y a plus, par un artifice particulier aux astronomes, on mesure
cet angle directement, tout comme si robservateur se trouvait
en M, et cela avec une précision décuple. On peut ainsi espérer
obtenir la parallaxe du Soleil, par l'observation de Mars, a\ec
une certaine exaclitude.
Choisissons, sur un même méridien terrestre, deux stations A. A
aussi éloignées que possible Tune de l'autre, et plaçons-v deux
observateurs. Au moment où la planète Mars passera par le méri-
dien céleste des deux stations, chaque observateur mesurera mi-
crométriqucmenl, dans le champ même de sa lunette, la diflerence
Fig. 37.
de distance polaire entre Mars et quelque petite étoile très voisinf
dont le choix aura été convenu d'avance. Désignons par^i,rj
les distances zénilhales (non alFectées de la réfraction) de la
planète, distances qu'on n'aura même pas besoin d'observer c\
qu'on tirera d'une éphéméridc; par ^ ou A' Tangle compris, on
chaque station, entre le rayon terrestre TA et la verticale AZ. Les
corrections de parallaxe />, />', c'est-à-dire les angles AMT, A' MX,
seront
OIUENSIONS ABSOLUES UU SYSTEME SOLAIRE. 211
formules où nous omettons d'écrire le facteur 206265*. Désignons,
d'autre part, par a et ^ les petits angles mesurés micrométriquement
aux deux stations entre Mars et l'étoile E, c'est-à-dire entre le
rayon visuel AM et la direction AE dans laquelle apparaît
rétoile E. Comme les deux directions AE, A'E' sont parallèles, on
aura
par conséquent
a4-p=[psin(^, — iî/)-Hp'sin(s; — f )J ~.
Cette formule donnera D, distance de la planète au centre de la
Terre, en parties de l'unité linéaire qui sert à exprimer p et p',
c'est-à-dire du rayon équatorial (p) de la Terre.
Sans doute on obtiendrait aussi M par la relation
M -h 180" — {z, — 4/) -H 180 — {z\ -- ^') 4- X' — X — 36o";
mais alors on s'exposerait aux erreurs qui affectent les distances
zénithales, erreurs provenant de la graduation des cercles, de la
flexion des instruments, de la réfraction, etc. Ces erreurs dispa-
raissent dans les mesures différentielles de a et p, parce qu'elles
affectent également les deux astres.
Si lesdeux stations n'étaientpasexactementsur le même méridien
(elles doivent être choisies sur les deux hémisphères), il s'écoule-
rait un temps / entre la mesure de a et celle de p. Dans cet inter-
valle, la distance polaire varierait de -7- /, quantité qu'on tire
fort exactement des éphémérides de la planète ; on l'ajoute à la
dislance mesurée a pour la ramener à l'instant où jâ a été obtenu
dans la deuxième station.
Par de nombreuses observations faites simultanément sur
les deux hémisphères, on a obtenu la valeur numérique de
206265*' ^> c'est-à-dire la parallaxe de Mars à la distance D,
au moyen de triangles où l'angle au sommet était de 40" à 5o".
Cette distance D étant bien connue par les Tables de Mars, en
parties de a, on en a conclu
200265'' ^-^^u^8^85
a
aia LIVRE V. — CHAPITRE XXII.
pour la parallaxe horizontale du Soleil. C'est une première déter-
mination astronomique de cet élément capital. La méthode est
due à D. Cassini et a été appliquée, en 1671, par les astronomes
français. Ce sont eux qui ont effectivement mesuré, pour la pre-
mière fois, la distance de la Terre au Soleil. Leur résultat, 9^,5, était
un peu trop fort; cela tient en partie à l'insuffisance de la base
Cayenne-Paris sur laquelle ils ont opéré.
Parallaxe de Vénus.
Vénus, en conjonction avec le Soleil, se projette parfois sur cet
astre. Le rayon de son orbite presque circulaire étant 0,723, sa
distance à la Terre est, à l'époque de ses passages sur le Soleil,
de I — 0,723 = 0,277. ^^ outre, la circonstance que Vénus se pro-
jette sur le Soleil comme une tache noire parfaitement ronde
semble être de nature à faciliter les mesures. Donnons d'abord
une première idée de ces phénomènes célèbres, auxquels s'intéressent
en ce moment toutes les nations civilisées.
A cause de l'inclinaison du plan de l'orbite de Vénus sur l'éclip-
tique, celte planète ne se projette pas sur le Soleil toutes les fois
qu'elle est en conjonction interne avec lui : il faut encore qu'à
l'époque d'une conjonction la planète soit voisine de l'un de ses
nœuds. Celle coïncidence arrive à peu près deux fois par siècle,
à huit ans d'intervalle. Voici les dates de quelques-uns de ces
phénomènes :
i63i 7 déc Passage prédit par Kepler.
1689 4 déc Non observé
1761 5 juin ) rxt . ,
^f. o ' ' \ Observes par des astronomes de tous les pavs
I y OQ <J Juin. ... 1 "*
1874 9 déc Observé par des astronomes de tous les pays.
1882 6 déc Sera observé incessamment.
aoo4 8 juin. . . .
2012 6 juin
Deux observateurs, postés en deux stations très éloignées A cl A'
sur les deux hémisphères, voient au même instant la planète V
se projeter sur le Soleil, Tun en v, l'autre en i/. Évidemment, le
déplacement vi^ est un effet de parallaxe, et le Soleil joue ici le même
rôle que l'étoile à laquelle nous avons comparé Mars. Seulement,
DIMENSIONS ABSOLUES DU SYSTÈME SOLAIRE.
aiS
comme il n'est pas à Finfini, il a lui-même une petite parallaxe
qui, pour le point i^, sera Ai^'A'. En d'autres termes, de Vénus,
on voit la base AA' sous l'angle V, et du Soleil, en v^, on la voit
Fig. 38.
(r^---i-
•V^— -^>-,^__^^ \
SOUS l'angle v*. La différence est (^'Ar, distance angulaire des
deux points v et v^ sur lesquels Vénus se projette sur le Soleil. La
proportion, dont les Tables donnent le second membre,
sm(^
AV
?\ïiv' Xv \v'
fera connaître l'angle v' sous lequel on voit, du Soleil, la base AA',
pourvu qu'on ait mesuré l'angle i^'Ai^. Cet arc ne s'obtient pas
directement. Halley proposa d'y appliquer le procédé suivant.
Fig. 39.
L'observateur A voit Vénus se mouvoir sur le disque du Soleil
et parcourir, en un certain nombre d'heures, la corde ab. L'ob-
servateur A' lui voit décrire la corde a' 6'. Si l'on note en chaque
2l4 LIVBB V. — CHAPITBE XXII.
stalion Tinstant du contact du disque de Vénus avec celui du
Soleil, on aura le temps employé à décrire la corde correspondanle,
et on en déduira aisément la longueur ab de celle corde, car le mou-
vement angulaire de Vénus par rapport au Soleil, à tout instant,
est parfaitement connu. Dès lors Ja distance de la corde au centre
sera
A étant le diamètre angulaire du Soleil.
En faisant le même calcul pour a'b'^ la dislance des deux
cordes, c'est-à-dire Tare v'/ou son équivalent rAr', sera obtenu.
Tel est à peu près le procédé proposé par Halley; il avait à ses
yeux le méfile de substituer la mesure du temps à la mesure tou-
jours plus délicate des arcs. Halley croyait surtout qu'en obser-
vant ce phénomène comme une éclipse de Soleil par la Lune, c'est-
à-dire en notant les instants des deux contacts intérieurs du disque
de Vénus et du disque solaire, on obtiendrait une très grande
exactitude.
Prédiction d'un passage de Vénus.
Pour qu'il y ait conlacl, il faut que la dislance des centres de*
deux astres soit égale à la somme ou à la diCférence des demi-
dianièlres apparents. -R, o, * A étant les coordonnées géocentriqucs
du Soleil et son demi-diamètre angulaire à la date /, Noisine de
Finstanl du phénomène; .R', o', 7 A' désignant les mêmes donnée^
pour Vénus; //i, // les variations horaires de -i^ — .\\\ o — 0': la
distance variable d du centre des deux astœs sera le troisième
côti' du triangle sphérique SPV. On aura donc
cosd - co>o coso' -^ siiio sino' cosi .ft — --R'^.
Mettons pour cosd
i — 1 ûn-\d,
et pour cosuR — À\' )
I — a>in-I(.R — .R^,
il viendra
sin-ir/- :sin'J(o — 01 — sino sino' sin' J (.R — .f\').
DIMENSIONS ABSOLUES DU SYSTÈME SOLAIllE. 2l5
équation dans laquelle on peut remplacer, sans erreur sensible,
les sinus par les arcs correspondants. L^équation du problème
sera donc, à la date / -h 0 (en ajoutant à chaque quantité la varia-
lion horaire multipliée par Tindéterminée 6),
[ ; (A — A') -f-/?0]2 ir:(a — o' 4- /iO)2 H-(,^ _ ,ft' 4- „jO)2 sino sino'.
Les deux racines de cette équation, 0' et ¥, donneront H + 0',
H -h 0" pour les instants des contacts intérieurs vus du centre de
la Terre en temps moyen de Paris.
Gela posé, si Tobservaleur est placé, non plus au centre de la
Terre, comme nous venons de le supposer, mais en un point de la
surface ayant L et A pour coordonnées géographiques, il faudra
appliquer aux M et o géocentriques les effets de la parallaxe en
ascension droite et en distance polaire (p. 182), ce qui donne
[
, sincsinE
M — JR' -i- m(i -h (t: — tz') ^-^ —
sino
sin^sino'
[8 _ S' _^ ,ie -i- ( t: — r') sin2 cosE]2 HZ • ( A — A' 4- vO)5.
Ces termes ayant été calculés pour la date ty qui implique l'heure
locale H = Hp-j- L, on prendra pour Al, qui figure dans le calcul
de E, la valeur moyenne
II _ ^^^ .
2
Les coefficients m et n doivent comprendre et exprimer ici les
variations horaires des M et des 3 tels qu'ils sont vus par l'obser-
vateur, c'est-à-dire affectés de la parallaxe. C'est par ces calculs
préliminaires qu'on se prépare à l'observation du phénomène ; on
détermine même, à l'avance, le point du disque solaire sur lequel
Vénus fera sa première impression (p. 838).
Calcul des observations.
La même équation, moins les termes en 0, donnera la correc-
tion (^(71) de la différence ir — tt' des parallaxes, lorsque le phéno-
mène aura été observé, c'est-à-dire lorsqu'on aura déterminé l'heure
de chaque contact.
Al6 LIVRB V. — CHAPITRE XXII.
Désirons par H l'heure observée ; pour celle heure ou plut^
pour l'heure H -f- L de Paris, on lîrera des éphémérides les coor-
données des deux astres et leurs diamètres apparents; puis, en
nommant à(M), <^(o), à(Ji) et 0(7:) les corrections dont les diffé-
rences tabulaires M — JR', o — o', A — A', tz — ir' ont besoin pour
être mises d'accord avec robser>'ation , par N* la quantité
^ ' smo J
^[a_a'4_(^_.^')sinccosE]* — i(^ — ^')%
on aura une équation de condition de la forme
en négligeant, bien entendu, les carrés, les doubles produits, etc.,
de ces petites corrections.
Chaque observation de contact intérieur donne lieu à une
équation de condition de cette forme; mais, pour traiter leur en-
semble par la méthode des moindres carrés et obtenir ainsi les
valeurs les plus probables des inconnues, il faut que les obsenrations
ne soient pas entachées d'erreurs systématiques.
Déformations optiques à l'instant des contacts.
Malheureusement, ce genre d'observation n'a pas du tont
répondu à l'altente générale. Au lieu du contact géonnétrique de
deux cercles (le contour lumineux du Soleil et le contour noir
de la planète), on a vu apparaître, au moment décisif, une espèce
de ligament noir qui s'allongeait entre les bords voisins, et finis-
sait par se rompre lorsque les disques paraissaient être déjà loin
du contact. Delà des incertitudes singulières chez les observateurs.
Les uns prirent pour le moment à observer celui où les disques
prolongés par la pensée à travers la goutte noire leur parurent se
toucher; les autres le moment où le ligament noir ou la goutte noire
se brisait et laissait apparaître subitement un mince filet lumineux.
Le calcul de pareilles observations devait conduire à des résultats
fort diflerenls selon qu'on adoptait Tune ou l'autre interprétation.
Lalandc a donné l'explication fort simple de ces apparences
DIMENSIONS ABSOLUES DU STSTÊMB SOLAIRE.
117
par des causes purement optiques. Un point lumineux, une
étoile, par exemple, dont le diamètre angulaire est insensible,
prend dans nos lunettes des dimensions appréciables et présente
un petit disque factice dont Téclat décroît rapidement du centre
au bord. C'est un effet de diffraction compliqué des effets de
Pimperfection de l'objectif. Il doit donc se former aussi, autour du
disque du Soleil^ une étroite auréole factice qui l'amplifie un peu,
tandis que le disque de Vénus, vu en projection sur le Soleil, se
trouve rétréci d'autant par la même cause.
Gela posé, un peu avant le contact intérieur, le bord vrai du
Soleil, celui qui est en pointillé sur la fig, 4o, étant interrompu
xV 3.
Fig. 4o.
N» 2.
N» 1.
sur un petit espace par le bord réel de Vénus (n° 1 ) , les deux auréoles,
extérieures pour le Soleil, intérieures pour Vénus, se trouvent sup-
primées sur une largeur équivalente, et les deux disques apparents
semblent reliés par un espace noir. Celui-ci va en diminuant
jusqu'au contact représenté au n® 2. Alors l'espace noir se réduit
à un ligament noir qui se rompt subitement lorsque, entre les
bords vrais, réapparaît un filet lumineux du Soleil (n*^ 3). Celui-ci
est tellement brillant qu'un élément presque infiniment mince du
bord, très exagéré sur le n*^ 3, suffit pour faire reparaître les
auréoles factices des deux disques et dissiper la singulière appa-
rence que nous venons de décrire. L'instant du vrai contact n'est
pas, à la vérité, celui de l'apparition ou de la disparition de ce
ai8 LIVRE V. — CHAPITRE XXII.
filet lumineux, mais il n'en diffère que de bien peu, peut-êlred'aoc
fraction de seconde, tandis qu'il ne n*pondnullemenl au contact
apparent des disques, tels qu'une lunette nous les faJl voir ( * •.
Parallaxe conclue pour le Soleil.
Les astronomes du siècle dernier surent apprécier ces circon-
stances physiques : ils se décidèrent à rejeter les observations d«
contact géométrique dont Terreur est impossible à apprécier, cl
ne prirent que les observations de Tapparition ou de la rupture du
filet lumineux. Leur résultat, Ti^S^^Sia, très voisin de la vérité
comme nous allons le voir, est celui que Laplace a adopté dans la
Mécan ii]iu* céleste.
Malheureusement, un jeune astronome s'imaiîina,en iSo-i, quon
avait eu tort de trier les (>bser\ations. Il entreprit de déterminer la
parallaxe du Soleil sur rensemble de toutes celles qu'on a\ail
recueillies, en les traitant par la méthode des moindres carrés. Il
trouva ainsi 8^,5- avec une erreur prol>able de o*,o3. Chose sin-
gulière, la faiblesse de cette erreur probable frappa tout le monde:
on s'empressa de substituer ce faux résultat à la vraie valeur,
sans songt^r que la méthode des moindres carrés ne s'applique pas
à des observations dont une partie est visiblement entachée
d'erreurs s\>témati(|ues, e! que, dans ces circonslaoces, l'erreur
pix^bable qu'où en déduit n'est |>as une ijarantie « t. I, p. 0L^^ '.
L'adoption de celle \aleureut de sin;:ulières conséquences. Ler-
rtMir était dt* l^ sur la distance: elle devenait j^ nu — sur la nia>se
de la lerre. Le calcul de> perturbations causées par la Terre sur les
planètes xoisiues, \ énus et Mars, donna des résultats trop faibles
de ^, C.Vî.iil coîume s'il axait maïupié une fraction notable Je
<* Vu »1 riiuT pj^vâio. eu i"^*». U •» •>S'»-.T\u" 'ors onl fu < *\i\ «l'«'fiij»l.»\«'r Jf*
luarlîo^ i'U.^^iUlc^. inîM^'> ju jvMut *\ .* uu vm ptrlu*u!:trr. riu-icurs ti'rnlir O»
• ouï |<i* \u lo pu luriu-ue du Iu^iik'hI n.-ir: ta ix'vauohc. lU .>ul u.»tr. a i'iut'Uot
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Les iv>^ut;j:x vlc'o n»Miit»reu>*% ^ù»^*r\aii>'0'' ijîie^ À CT't.e tH'ru>ion n»* x»ot p**
<'ii.>^rv o.viuux i\.inp:c;c:iK*uî. V u ui^. r |s4r ov .{uî a de publie jus«)u'i i. il* ^'"^
lort vi.^.- 'î .i.tït^. lu :M.'.h.>vl»' jh : -^t jj :ii ju ■. «jue j 4\ui> |»r , t«>»-e iiii»;-iiicuKi
n\AttrjL:t jvi^ n n pîux A .mio i » r --'.a.^ t.;.:i ^ix-ûlsanl-. <.»n attend a^oc o»^
VMTte »i a:»\,e c le re^uîui de^ e\p -i. •.....!> .;ue i\»a prépara en c« luonieot p«>of **
|Mi>^fe Ue vKv,ml*ro (>r\s*b4iii. ci» in>'.
D1MENSX02<ÏS ABSOLUES DU SYSTEME SOLAIRE. 219
.a masse de la Terre. Après avoir cherché en vain à remplacer
la masse manquante dans la région de l'orbite terrestre par des
anneaux hypothétiques de matière invisible circulant autour du
Soleil, etc., on finit par reconnaître que ces discordances devaient
être imputées à une fausse parallaxe, et Ton chercha d'autres mé-
thodes que celle des passages de Vénus, qui avait autrefois inspiré
une confiance absolue. On s'adressa d'abord aux petites planètes,
malgré leur grand éloignement, parce qu'elles sont aussi faciles à
observer a>'ec précision que les étoiles, tandis que les planètes à
disques notables, comme Mars ou Vénus, dont il faut observer les
l)ords, donnent lieu à de singulières difficultés optiques. Il n'y
avait pour cela qu'à utiliser les oppositions favorables de Flore et
de Junon. Le procédé est identique à celui qui a été appliqué
à Mars; on en trouvera les résultats un peu plus loin. Enfin on eut
recours à des méthodes bien différentes, dont nous allons parler.
Déterminations fournies par la Mécanique céleste.
Les perturbations des planètes ou de leurs satellites dépendent
de leur éloignement mutuel et de leurs distances au Soleil. Il est
<JOnc naturel que, dans l'expression analytique de ces inégalités,
^là rencontre parfois la parallaxe du Soleil.
Inégalité par allaclique de la Lune, — C'est ainsi qu'une iné-
S^lilédu troisième ordre, dans la théorie de la Lune, a pour expression
m'
0,241 23 m . , _ ^^
^ — ; sinfanom. moy. (T — anom. moy.Q),
i \ n^ \a ni "^ '^
^ 6 n^ ' a m
'^ et a étant relatifs au Soleil, n\ a\ m' à la Lune. La masse m' de
*^ Lune s'obtient de diverses manières ; elle est de -7- à très peu près.
*-es moyens mouvements n et /i' du Soleil et de la Lune sont con-
^^s. Reste donc le rapport — > qui peut s'écrire
(?)
à sinir'
(p) sïiit:'
a
220 LIVRE V. — CHAPITRE XXII.
en désignant par i^ et tz les parallaxes de la Lune et du Soleil.
L'observation de la Lune au méridien permet de déterminer expé-
rimentalement la valeur numérique du coefficient de cette inéga-
galité; on a trouvé ainsi laS'', 2. De là la relation
. / m'\
„ sinir I
^ ^ =:120'',2.
I n
2
_jsm.(^i^-j
Avec les éléments de Torbile lunaire dont on trouvera plus loin
la valeur, on en déduit
i: = 8%8i.
Inégalité mensuelle de la Terre. — Dans la théorie de la Lune,
on trouvera l'explication d'une inégalité mensuelle de la Terre
due à l'action de la Lune ; l'expression analytique est
m'
a' In
a tn
I H
m
-sin(C-O).
Les observations méridiennes du Soleil donnent 6*^,50 pour le
maximum de cette inégalité. On en déduit
m'
sin 71 m ^ff f,
7 — ^ » «^»
sin tt' m
I H
m
d'où l'on tire
7:=:8\85.
Perturbations produites par la Terre. — Enfin un troi-
sième moyen de déterminer cette parallaxe se tire des p<*r-
turbations que la Terre produit dans les mouvements des pla-
nètes les plus voisines, c'est-à dire de Mars et de Vénus. Comme
ces perturbations sont proportionnelles à la masse de la Terre, on
comprend qu'elles offrent un moyen de déterminer cet élément,
c est-à-dire le rapport ^ • Or ce rapport s'exprime aussi, comme
DIMENSIONS ABSOLUES DU SYSTÈME SOLAIRE. 221
nous Pavons vu, en fonction du cube de sin??. De là un dernier
moyen d'obtenir cette parallaxe. M. Le Verrier a trouvé ainsi (sauf
une légère correction due à M. Stone)
iri=:8",83.
Méthodes physiques par la vitesse de la lumière.
Nous verrons que la vitesse de la lumière, telle qu'elle résulte de
l'observation des éclipses des satellites de Jupiter, ou plutôt du phé-
nomène de l'aberration des fixes, est
W :i^ -, ?: par seconde.
D'autre part, les physiciens ont réussi à mesurer directement cette
vitesse en mètres.
M. Cornu, en suivant la méthode de M. Fizeau, a trouvé
3oo4oo^"ifi 1000'"" par seconde. M. Michelson a obtenu, par la
méthode de M. Foucault perfectionnée, 299940*^*" ± 100''™. On en
déduit immédiatement a en multipliant ces nombres par 497>78;
( 0 )
puis on obtient tc parsinit^ -^- Le premier donne tz=z 8'', 799;
ce
le second 8", 81 3. L'erreur probable relative du nombre 497% 78 ^^^
de 7J57J d'après Struve; celle de la vitesse obtenue par M. Michelson
est 30*00» ^^ ^^ résulte j^^ ou o'',oo56 pour l'erreur probable de la
seconde parallaxe. Ce qui ajoute encore à la valeur de cette détermi-
nation, c'est que M. Helmert, ayant corrigé légèrement le résultat de
M. Cornu, est retombé presque identiquement (299 990''™) sur celui
de M. Michelson.
Résumé et conclusion.
Voici le Tableau des dix valeurs les plus récentes de cet impor-
tant élément, obtenues par neuf méthodes entièrement différentes.
(f
Par la parallaxe de Mars 8,85
Méthodes \ Par le passage de Vénus 1769 8,79
géométriques { Par le passage de Vénus 1874 8,71 ::
8^,82. / Par la parallaxe de Flore 8,87
Par celle de Junon 8,79
222 LITBE V. — CHAPITRE XXII.
Méthodes L Par rinégalilé parallaclique de la Lune 8,8i
mécaniques •! Par l'inégalité mensuelle de la Terre 8,85
8*, 83. ( Par les perturbations de Mars et de Vénus 8,83
, ( Par la méthode de M. Fizeau ^-799
physiques ^^^ ^^ méthode de M. Foucault 8,8i3
8 , 8 1 . \
Les huit premiers nombres comportent une incertitude qui va
de =i= o^jio à d= ©",05. Le troisième n'est même pas définitif et est
marqué douteux. Leur moyenne brute est 8%825.
Les deux derniers, qui se ramènent identiquement à 8'',8i3,onl
bien plus de précision. C'est le nombre que Laplace avait adopté
et que nous adopterons, après avoir constaté que les méthodes astro-
nomiques convergent de plus en plus vers cette valeur définiti\e.
Ainsi Tunité linéaire des astronomes, c'est-à-dire la moyenne dis-
tance de la Terre au Soleil ou demi-grand axe de Torbite ter-
restre, est de
28408 (p )z:i i5 ou iG^p),
ou, en mètres, de
149304000^'" i!r 100000^".
DÉPLACEMENT P^.m.AlRK DE l' KCLI PTIQU K.
'I'l3
CHAPITRE XXIII.
EFFETS DU DÉPLACEMENT SÉCULAIRE DE L'ÉCLIPTIQUE
SUR LES COORDONNÉES DES ASTRES.
L'observation nous a appris que l'obliquité de récliptique dimi-
nue de 48'' par siècle. La Mécanique céleste montre que cette va-
riation est due aux attractions planétaires, et qu'elle est accompa-
gnée d'un autre genre de déplacement dont voici la nature. Si l'on
prend pour plan fixe l'écliptique de 17JO, plan parfaitement dé-
terminé par les observations de l'époque, on trouve qu'outre
cette lente diminution d'obliquité l'écliptique tourne coniquement
de manière que sa trace sur ce plan fixe rétrograde à raison de 5"
par an. Si l'on veut comparer les coordonnées d'un astre observé .
à des dates différentes, il faut donc tenir compte des changements
qui se sont opérés dans la position des axes auxquels ces observa-
tions se rapportent. La Mécanique céleste de Laplace nous donne
l'expression complète de ces variations; le reste n'est plus qu'une
question de transformation de coordonnées.
La figure ci-jointe (^g- 40 représente en CA l'écliptique de
If.. 1 1.
I '
) I
\' r ^
1750, et en CA' celle de 1760 4- ^ C est le nœud descendant de la
deuxième sur la première. L'équateur v^Q, qui échappe aux déran-
3^4 LIVBB V. — CHAPITEE XXIIl.
gements causés parles attractions planétaires, à cause de la forme à
peu près sphérique de la Terre et surtout du grand éloignement des
planètes, coupe ces deux éclip tiques aux points y et y. Des fo^
mules générales de la Mécanique céleste on déduit, pour les
siècles actuels, les éléments du triangle C^y :
Cv S''2Z'5o'-^5',2ity
i o', 48892 1 — o',ooooo3o7 /*,
coo 23*28'i8' donné par l'observation en 1750.
Ce triangle est donc déterminé. On en déduit les trois autres
éléments dont voici les valeurs (en négligeant les termes en 0) :
Cy' a~o',i64i3/,
TT' o', 17926/,
w (0^ o',48638/,
Le plan fondamental des coordonnées, en i^5o-}-f, est donc
déterminé par rapport à celui de 1750, et, pour passer de Tun à
l'autre, il n'y aura qu'à employer les formules ordinaires de trans-
formation. Mais quand il s'agit seulement de quelques siècles (les
observations précises ne vont pas au delà de i65o, époque où
l'abbé Picard introduisit les lunettes dans les instruments de In^
sure), on peut se contenter de formules différentielles très simples.
Par exemple, les coordonnées d'un point B, en ijSo, étant
L =1 -^K -rzi CA — Cv,
elles ne diffèrent de celles de 1750 4- t
L'zzty'A'^CV-Cy',
P'.^9o»-BA',
que de quantités très faibles, faciles à déterminer, puisque nous
avons déjà, par ce qui précède, Cy — Cy. Considérons en effet CA.
CB comme les côtés d'un triangle rectangle CBA, dans lequel C^
est invariable et l'angle C varie de dC = 1. Les relations différcD-
tielles qui répondent à cette variation dans le triangle rectangle ABC
DÉPLACEMENT SÉCULAIRE DE l'ÉCLIPTIQUE. 226
de la page 64, t. I (*), sont
db ^= — tang c cos bdC^
de •=:.sînbdC.
lcidb=CA' — CA, de = BA' — BAet rfC=i; on aura donc
L'— L t= — o^I6443/ — cotp cos(L -+- Cy)o', 48892 t,
P'— ? — — sin(L -+- Cy)o%48892/.
Quant aux coordonnées équaloriaIes(^^. 40» elles étaienten 1 760
JR^^Q, 5=z9o«=iBQ;
elles seront en lySo -h f
^'~yQ — YtS o' = 9o°— BQ.
Par conséquent
JR' — JR — — o'',i 7926 1,
8' — 8 — o.
Ces variations séculaires, dues au déplacement de Pécliptique
sont donc très faibles. Elles ont pour effet de diminuer progressive-
ment, de o", 16443 par an, la longitude des étoiles placées près
del'écliptique. Au bout de vingt siècles, cette diminution se réduit
à 328''=5'28"« Elle a dû échapper complètement aux anciens
astronomes.
(*) En différentiant logarithmiquement la formule tang 6 = cos C tang a, on a
c?6 — — sin b cos b tang C c?C,
't, comme sin 6 = cotC tangc, cette formule se réduit à celle du texte.
Ht même, en diflerentiant sine — sin a sin G, on a
de dC
tangc tangC
comme sin 6 = tangc cotC, on obtient la relation ci-dessus.
II.
i5
226 LIVRE V. — CHAPITRE XXIV.
CHAPITRE XXIV.
EFFETS DU LENT DÉPLACEMENT DE LÉQUATEUR.
»•••■
Les variations que nous venons d*étudJer devaient, par leur pe-
titesse, échapper aux anciens observateurs. En revanche, les Anciens
ont découvert une autre variation bien plus considérable et d'ori-
gine toute diflérente, la précession, qui, depuis les temps d'Aristille
et de Timocharis, a changé les longitudes des astres de plus de 3o*.
Sans cette découverte capitale, dont la Science est redevable au
génie d*Hipparque. rAslronomie serait restée à l'état rudimen-
taire, comme chez les Chinois qui n*ont pas connu la précessioo,
bien qu'ils aient eu sous les yeux, pendant des milliers d*anoée$.
les effets les plus saillants de ce grand phénomène (*).
Découverte de ces déplacements par Hipparque.
Pour en donner une idée, nous allons comparer les coordonnées
d'une même étoile, a de la \ ierge par exemple, observées à de>
époques très difierentes.
Dates. L. B.
Hipparque — i4i 174. 7.30 o , ,
Bracllcy 1755 20o.a3.36 87.57.50
Piazzi 1800 201. 3. 6 87.57.43
Obs. de Paris i845 201 .40.49 87.57.33
Ces énormes variations en longitude ne répondent nullement à
(• ) Cfla lit*nt a ce que les Chinois employaient les coordonnées êquatorialf*'^'*
cloilc» cl non le> toor.!.>nn '•cs t'clipliques, comme le faisaient les Grec*. On *frr*,
p. 2)0, que les elToli de la pr^vessioa, e\lrèmemjnl simples sur les scconJcs. ^''^^
très compii^uis pjur les premières.
EFFETS DU LENT DEPLACEUENT DE L EQUATEUE. 2*27
celles que nous venons d'étudier. L'effet de ces dernières serait de
diminuer la longitude de 5' en dix-neuf cent quatre-vingt-six ans,
tandis que nous la voyons augmenter de 2 7** 33'. Il y a donc une
cause, toute différente des lentes variations de Técliptique, qui fait
croître les longitudes dans ce laps de temps de 27**33'h- 5', c'est-
à-dire de 5o" par an. Quant à l'autre coordonnée p, sa petite dimi-
nution de 10" environ s'explique par la cause précédente; par con-
séquent le nouveau phénomène laisse celte coordonnée intacte.
Cet effet, bien plus considérable que le précédent, puisqu'il va
à 10000" = 2''47'cn deux siècles, 'ne pouvait échapper aux astro-
nomes grecs. Effectivement Hipparque, en comparant les longi-
tudes observées par lui avec celles des mêmes étoiles, déterminées
deux siècles auparavant par Aristille et Timocharis, les trouva toutes
augmentées de 2**, 5 environ, tandis que les distances au pôle de
l'éciiptique étaient restées sensiblement constantes.
11 faut donc, de deux choses l'une, ou que le point y, origine
des longitudes, rétrograde de 5o" par an, ou que les étoiles soient
toutes animées d'un mouvement direct, parallèlement à l'éciiptique.
Dans le premier cas, le point vernal appartenant à l'équateur,
il faudrait que celui-ci, entraîné avec ce point, mais faisant toujours
le même angle avec l'éciiptique, roulât coniquement autour de l'axe
de Técliptique. Il en serait de même de la ligne des pôles.
Or, la Terre étant fixe d'après la conviction de toute l'antiquité,
le mouvement conique de la ligne des pôles ferait varier continuelle-
ment la colatilude géographique de chaque lieu, tandis que l'obser-
vation nous montre que ces colatitudes sont absolument invariables.
Donc ce sont les étoiles qui se meuvent lentement autour de l'axe
de l'éciiptique, en faisant le tour entier en
19,06000"
36o«
-=—=- ^= — V-s •= 20000 ans.
5o^ 5o
Ce mouvement d'ensemble n'avait rien d'étonnant pour les Anciens,
qui se représentaient les étoiles comme des points brillants incrus-
tés dans la concavité du dernier ciel.
On le réalisait géométriquement en imaginant une sphère exté-
rieure à celle des étoiles, tournant en vingt-quatre heures autour de
l'axe du monde PP et communiquant ce mouvement diurne à toute
la machine céleste. A cette sphère serait fixée, par deux tourillons
aa8 LIVRE V. — chapitre xxit.
E elE', une sphère intérieure porUntles étoiles. Celle-ci serait en-
traînée par la première dans son mouvement diurne autour des
tourillons P et P', mais elles auraient de plus une rotation propre
Fig. 4a
très lente dans le sens direct autour des tourillons E et E', rotation
qui devait s'accomplir en vingt-six mille ans(*).
Quant à la Terre, immobile au centre du monde, elle serait con-
stamment percée aux mêmes points /?, p^ par l'axe immobile PP|
en sorte que les coordonnées géographiques resteraient invariables,
tandis que l'observateur terrestre verrait les étoiles en niasse
tourner lentement (indépendamment du mouvement diurne)
autour du pôle E de Técliptique.
Le point Y serait immobile, mais les longitudes des étoiles aug-
menteraient peu à peu, parce qu'elles s'écarteraient peu à peu de
ce point dans le sens où les longitudes croissent. Par exemple, les
étoiles situées sur le parallèle de 23^ de distance au pôle E de
Técliptique délileraient devant le pôle P de Téquateur ou de U
dernière sphère, de manière à devenir étoiles polaires. Tune après
l'autre, dans la suite des siècles.
( ' ) Il fallait encore une sphère, intérieure à celle des étoiles, qui fût animée d'u
mouvement rétrograde en vingt-six mille ans, afin d'annuler les eifels de la préccf-
sion pour les sphères des sept planètes, plus une sphère extérieure, immobile po«r
porter les tourillons PP'. Ptolèmce emploie en effet onze sphères ou cieni cris-
tallins, sept pour les planètes (Lune y comprise), deux pour le mouTement de pré-
cessiun, une pour le mouvement diurne {primum mobile), une dernière pow
renfermer le tout.
EFFETS DU LENT DEPLACEMENT DE l'ÉQUATEUR. 2^9
Précession des équinozes d'après Hipparqne.
Les Anciens déterminaient la longueur de Tannée de deux ma-
nières distinctes qui auraient dû donner le même résultat : la
première en observant le retour du Soleil aux mêmes étoiles
(lever ou coucher héliaque de certaines belles étoiles); la seconde
en observant comme nous Tinstant de Téquinoxe, c'est-à-dire le
moment où le Soleil passe par Téquateur par TeiTet de son mou-
vement propre. La première évaluation est Tannée sidérale, la
seconde est Tannée tropique.
D'après la première, la révolution annuelle du Soleil devait
s'accomplir en 365J, a56. Hipparque avant déterminé, par les obser-
vations d'Aristille et de Timocharis, Tinstant de Téquinoxe deux
cents ans avant son époque, compara cette détermination avec les
siennes. Il suffisuit d'ajouter îoo fois 365^, 256 à la date de l'ancien
équinoxe déterminée par lui-même. Il trouva une différence de
3 jours. Son équinoxe observé arrivait 3 jours trop tôt, c'est-à-dire
précédait de 3 jours l'époque ainsi déduite des anciennes observa-
tions. C'est là le phénomène appelé précession des équinoxes. Il en
3j
résultait pour Tannée tropique une durée trop courte de — ^=0^,014»
c'est-à-dire de 365^,^42.
Si la révolution du Soleil paraît différente selon qu'on prend
pour point de départ une étoile ou le point vernal, c'est que l'un
ou l'autre de ces points n'est pas fixe. Il faut que le point vernal se
meuve en sens rétrograde, chaque année, de l'espace parcouru par
le Soleil en 0^,0 i4i c'est-à-dire de
o,oi4 X 59' S'' —^o"
à peu près, ou bien que les étoiles marchent en avant de celte
quantité-là.
On retrouve donc ici les mêmes conclusions que par l'étude
directe des coordonnées des étoiles. Lorsqu'on croit la Terre im-
mobile, on est forcé de conclure, comme Hipparque Ta fait, que
c'est la sphère des étoiles qui tourne lentement en sens direct
autour de Taxe de Técliptique. Dès lors, la véritable valeur de
alo LIVRE V. — CHAPITRE XXIV.
rann<*r serait i\innéc tropique, parce qu'elle est comptée à partir
(Pun point fixe, le point y*
La précession d'après Copernic.
Quand on admot, au contraire, que la Terre se meut annuelle-
ment autour (lu Scileil, en môme temps qu'elle tourne en un joar
autour (le la lij;no des pôles, les étoiles doivent être considérée
comme dos points distribués dans l'espace à toute distance, et Don
comme dos points d'une même sphère reliés entre eux par cette
surface mémo à laquelle ils seraient attachés. Dès lors on ne com-
piTud plus qu'elles soient toutes animées d'un même mouvemeol
angulaiiT autour do Taxe de l'orbite terrestre. C'est donc le point ';^
qui se déplace on sons rétrograde sur Fécliptique fixe, de manière
À déoriiY .'^60*^ on vingt-six mille ans. El comme ce point estrune
dos intorsootion< du confie de réoliptique avec celui de réqoaleur,
ooivlos dont Tanglo osl îk 1res peu près constant, il fautqueréquateiir
et aussi la ligne dos (Vdes tournent coniquemenlen vingt-six mille ans
nulour d'une jvarallolo à l'axe do l'êcliplîque. De la sorte, les lon-
gitudes do tous les astres augmenleni de 5o' par an, parce que If
jH^iut xonirtl rtvulo chaque annét^ de celle quantité. La vraie réTO-
lutJou du Soleil osl U sidérale. cVsl-à-*lire36!>J,^j*>; la révolution
li>qMquo n'ox* que Ki [htiv^xIo dos n^iours successifs du Soleil au
p^^Jut xonutl ou aux >ol>lîiv<.
Fu un nu^t, U prtx>t>^>îon dos ésjuinoxes est due à la rétrogradi-
hsM\ dos |v^iuls t\pnnovi,tux.
i^'jiutrx* jvArt. **>mmo K^ o\V^T\lonntVs gét^graphiques des points
d^ U IVnv xvxi^^î-ît uixjirîâWt'S, o\^l le clobe lerreslre tout entier
s.
qx^K xoxix r^ctu^'* à'uvo ojiu<<* re<l<>o înov^nnue à llopemio. lounw
\vnujuoîï>.'"\5 au: ^,:r ^îo îax:" ^i-* lV\**!puq«e. à jieii près comnie
\uw Usu^><\ >>svxî , Ax.' .io T\^:jfc:?x^n o<: -nxlinosurla verticale, tourne
d|4K^aUj)ai SMCiaùfiM i« lu
^^^ ^ivx:^.t ïsV, ■-*- Nf*K^ - <," rc^r-<>o*:e * «^-^vs so«s denx form^ —
à
EFFETS DU LENT DEPLACEMENT DE L EQUATEUR. 23 1
ligne des pôles (et de la Terre elle-même) autour d'une normale à
l'écliptique, ou comme un mouvement delà ligne des points équi-
noxiaux sur récliptique, l'obliquité restant constante.
Sous cette dernière forme, la précession offre quelque analogie
avec la rétrogradation des nœuds des orbites planétaires rapportées
à un plan fixe, et surtout avec celle de Torbite de la Lune sur
récliptique. Nous verrons en effet, dans le Livre suivant, que les
noeuds de cette orbite rétrogradent rapidement et font le tour du
ciel en dix-huit ans et demi, en laissant l'inclinaison constante.
El il est facile de voir que ce curieux phénomène est dû à l'action
perturbatrice du Soleil, tandis qu'on ne voit pas aisément com-
ment cet astre viendrait troubler de la même manière la rotation
de la Terre, et imprimer à la trace de son équateur un mouvement
rétrograde sur l'écliptique. Newton, à qui nous devons la pre-
mière explication de ce phénomène, adopta celle interprétation.
A.près avoir constaté que la Terre devait être aplatie aux pôles et
renflée à l'équateur, il fit voir que l'action du Soleil ne pouvait
être la même sur les diverses parties de la protubérance équato-
rîale. Il assimila cette protubérance à un anneau de satellites circu-
lant en un jour sidéral autour du globe terrestre. Un pareil anneau
^^evait, ainsi que la Lune, présenter le phénomène de la rétrogra-
dation des nœuds de son plan mojen (p. 3o3), et comme il
adhère au globe, il lui fallait en entraîner avec lui la masse en-
*'cre. Cette dernière condition devait ralentir singulièrement les
^"ets, et donner à la période de la précession une durée de
virigi-six mille ans.
Malgré la beauté de cette conception, on reconnaîtra qu'elle est
''^directe et même un peu forcée. On raconte que Newton vit
^Oïuber une pomme pendant qu'il réfléchissait à la force que la
* ^rre doit exercer sur la Lune pour la retenir dans son orbite.
^^t accident ramena sa pensée à la chute des graves, et le conduisit
^ chercher s'il n'y aurait pas identité entre la première force et la
Pesanteur. Si ce grand homme, pendant qu'il réfléchissait à la pré-
^^ssion, c'est-à-dire à la rolalion conique de la ligne des pôles
^^tour de l'axe de l'écliptique, avait vu un enfant faire tourner sa
^Upic, il aurait cerlainement saisi l'identité des deux phénomènes
^^ moment où l'axe incliné de la toupie se met à tourner conique-
'^enl autour de la verticale; il aurait alors traité la précession
a3'i
LIVRE V. — CHAPITBB XXIV.
comme une afTeclîon de la rotation terrestre. C'est effectivemeot
ainsi qu'on la considère depuis d'Âlembert.
Les personnes les plus familiarisées avec la mécanique des rou-
lions prennent plaisir à voir avec quelle facilité et quelle élégance
on reproduit ces phénomènes par un simple loton. L'appareil se
com|)ose d'une plaque circulaire de fer-blanc, évidée au centrera
laquelle on soude par quelques tiges une petite douille dans
la(|uolle un axe de rotation glisse à frottement dur. On amène
ainsi, à volonté, la pointe de Taxe au centre de gravité du petit
appareil, ou bien au-dessus, ou au-dessous de ce point.
La ligne autour duquel il tourne est évidemment un axe prin-
cipal d'inertie si l'appareil est bien équilibré, et la rotation autour
de cet axe esl parfaitement stable. C'est ce qu'on vérifie aisément:
quelque position qu'on donne à cet axe, en faisant tourner le loton,
il conservera sa direction tant que la vitesse de rotalion resien
grande par rapport au petit frottement de la pointe sur le support.
Uien de plus facile alors que de vérifier la règle bien connue delà
composition des rotations.
ences sur la composition des rotations.
Pressons brusquement sur le bord du loton dans le sens FG, de
manière à lui imprimer une rotation autour du diamètre équalorial
Fis. 5î.
OF. jvrrjVttJîcttUire à FÏv Or::e r^Utiv^o
U^UMx Iv^an^^r Jeii jitttv>«r de ^^ axe: eli*
sVfleclQcra pas si le
composera aTCC celle
EFFETS DV LENT DÉPLACEMENT DE L^ÉQUATEUR.
!l33
du totOD en forçant l'axe de rotation à se déplacer dans un plan per-
pendiculaire à BF. Portons sur BA et BD des longueurs propor-
tionnelles aux moments des deux couples et construisons sur ces
deux droites un parallélogramme. La diagonale sera, en grandeur
et en direction, Taxe du couple résultant. Et comme la rotation
doit s'exécuter autour de Taxe principal d'inertie de l'appareil,
celui-ci s^nclinera dans le sens AG et prendra la direction BC de
cette résultante, située, comme nous venons de le dire, dans un
plan perpendiculaire à BF.
L'effet est très frappant; à chaque impulsion donnée au loton
de haut en bas, dans la direction FG par exemple, on voit son axe
s'incliner aussitôt, non pas vers FG, mais dans la direction perpen-
diculaire, à gauche si la rotation est rétrograde comme sur la figure,
à droite si elle est directe. Il ne faut pas oublier que le moment du
couple perturbateur doit être porté sur BD, dans le premier cas,
et non sur BE, afin que les rotations qu'il s'agit de composer aient
le même sens pour des observateurs couchés sur leurs axes, les
pieds tournés vers le point B.
La seconde expérience consiste à placer le centre de gravité du
toton au-dessus du point d'appui B. G*est le cas de la toupie. Dès
que l'axe s'écartera de la yerticale, l'action de la pesanteur ten-
Fig. 4V
dra à le faire chavirer autour de sa pointe, en lui imprimant à
chaque instant une vitesse de rotation autour d'un diamètre hori-
zontal de l'équateur. Mais si l'on a communiqué une rotation au
234 LIVRE V. — CHAPITRE XXIV.
toton, on verra se produire le phénomène sî connu de la toupie; au
Heu de chavirer, Taxe BA. se mettra à tourner coniquemcnt autour
de la verticale BC dans le sens même de la rotation. L'inclinaison
CBA restera constante, la vitesse angulaire de la rotation ne sera
pas changée.
Lorsque le point d'appui est au-dessus du centre de gravité,
l'axe BA, une fois incliné, tendra à revenir à la verticale,. en fai-
sant exécuter au toton un mouvement de sens inverse du précé-
dent. Mais si le toton tourne, ce mouvement ne s'effectuera pas;
l'axe AB décrira un cône droit autour de la verticale, en sens op-
posé à celui de la rotation du toton. C'est ici Fimage fidèle du mou-
vemcntde précession de Taxe de la Terre, à cela près que la rota-
tion (le la Terre est dirccle et non rétrograde comme celle d<» la
figure, et que le phénomène de la toupie est compliqué de la réac-
tion du support, tandis que notre globe est entièrement libre.
Action da Soleil et de la Lune sur le renflement équatoriaL
Appliquons maintenant ces considérations à notre globe. Sa
rotation anlonr de son pins petit axe d'inertie est parfaitement
stable. Dans le mouvement annuel de son centre de gravité,
quelque peu troublé par les attractions planétaires, Taxe de rota-
tion se transporterait parallèlement à lui-même si les actions exté-
» •
EFFETS DU LENT DEPLACEMENT DE L EQUATBUB.
a35
rîeures se réduisaient à des forces dont la résultante passât con-
stamment par ce centre. Mais il est facile de voir qu'il n'en est pas
tout à fait ainsi pour les attractions du Soleil et de la Lune. Con-
sidérons d'abord le Soleil seul, et supposons-nous au solstice d'été
dans la figure ci-jointe.
L'écliptique étant représenté par un plan horizontal passant par
ST, Vsixc de rotation par TP incliné de l'angle m sur la verticale
TE, eeTéquateur coupant l'écliptique suivant la ligne Ty perpen-
diculaire au plan de la figure, le renflement équatorial que ce
plan, passant par le Soleil, divise en deux parties symétriques,
pourra être considéré comme engendré par la révolution, autour
de TP, des lunules comprises entre l'ellipse méridienne et le
cercle décrit sur le diamètre polaire. La masse de ce renflement
Fiç. 46.
S
est une petite fraction de celle du j^lohe, égale à peu prés à
3^7» du moins en supposant la Terre homogène. La résultante
des actions du Soleil sur les molécules de la sphère centrale passe
par T, mais non celle des attractions exercées sur la protubérance
équatoriale. La partie e étant plus voisine du Soleil que la région
e' de tout un diamètre de la Terre, la résultante passera un peu
au-dessous de T, et tendra à faire tourner le globe tout entier au-
tour deTy dans le sens direct. Si la Terre ne tournait pas, cette
faible rotation autour de Ty s'eflectuerait avec lenteur, l'équateur
marcherait vers Técliplique et la ligne TP vers la ligne TE.
Mais, en présence de la rotation diurne, le couple ainsi engendré
autour de Ty ne peut que se combiner avec le couple dont l'axe
est TP. Portons en Ty et TP des droites proportionnelles à leurs
236 LIVBB V. — CHAPITRE XXIT.
moments, en considérant que les rotations sont ici de même sens(');
la diagonale du rectangle construit sur ces deux droites sera, en
grandeur et en direction, le moment du couple résultant. Ltxe
principal TP sera dévié perpendiculairement au plan de la figure,
en TF; dans celle nouvelle position l'équateur coupera réclipliqiic
suivant une nouvelle trace Xy. Comme la force perturbatrice qoi
tend à faire tourner Téqualeur ee' ne cesse pas d'agir, à Finstuit
suivant Taxe polaire subira une nouvelle déviation infiniment
petite dans le plan FTy', et ainsi de suite. Finalement, il sert
animé d\in mouvement conique autour de TE, dans un sensop-
posé à la rotation diurne. Cela revient à dire que la ligne Tv S€
mouvra dans le sens rétrograde sur Técliptique.
L'angle PEF étant un infiniment petit du premier ordre, U
difleronce EF — EP sera un infiniment petit du second ordre;
jvar conséquent, le ravon du cercle décrit par le point P autour da
|H>inl E, sur une sphère quelconque de rayon TE, sera constant et
égal à fo. Le moment TF du couple résultant ne différant da
moment TP que d'un infiniment petit du second ordre, la rota-
tion de la Terre reste constante. Enfin Fangle PTF, c'est-à-dire la
vitesse angulain^ du mouvement conique de l'axe, ou celle du point
Y qui sVn déduit, serait invariable si le couple produit par l'action
perturbatrice du Soleil était constant. Mais il ne consene une
valeur constante que vers ré|H^que du solstice. Piirtout ailleurs
Taxe de ce couple ne coïncidera plus avec la ligne T^- Mais son
moment |H^urra éirt* décv>nijH^s-^ en tn^îs autres, suivant les direc-
tions rtvlaaî:uUirt*s r^' Tc^ et TP . Le premier continuera le phé-
nomène de la prtvessîon : le second produira une petite varia-
tion dans Tanirlo ETP- r t^:Ietrv^isîème produira une imperceptible
xarutîvMi dans la \itesse de rv^tation.
Eu vlcsî^nant jvir A, B, C les moments principaui. d'inertie, la
théorie des rvnalums moulrx* que les moments de ces couples sont
l^rv^jv^î-iivnuieU jiu\ ditTerx^nves C — A. B — C A — B. Or nous avons
\u. eu luNvle>îe, que U rerre e>l uq ellipsoïde de révolution; par
suite V B. et le vienùer niv^ment, celui qui influerait sur la rota—
EFFETS DU LENT DÉPLACEMENT DE L*ÉQUATEUR. 287
A ne considérer que le Soleil, la vitesse du mouvement conique
de TP autour de TE irait en diminuant du solstice à Téquinoxe
voisin, où elle s'annulerait, parce que, dans cette dernière position,
le Soleil se trouvant dans la direction opposée à Ty, le renflement
équatorial se présenterait à lui d'une manière symétrique, en sorte
€\ue le couple considéré serait alors nul. Mais Faction de la Lune (^),
plus rapidement variable et plus énergique que celle du Soleil,
d*opère dans le même sens^ de manière à produire finalement un
mouvement continu du pôle P, avec quelques inégalités périodiques
que nous examinerons plus tard.
Les astronomes décomposent en effet la précession en deux
parties, Tune proportionnelle au temps, l'autre périodique. La
première serait constante si l'angle a> était invariable. Mais nous
avons vu que cet angle diminue progressivement en vertu des
attractions planétaires ; il en résulte que la partie moyenne de la
précession présentera elle-même une légère variation séculaire,
c'est-à-dire un terme en /^, et il en sera de même de T incli-
naison de l'équateur sur l'écHptique fixe de 1750, que nous repré-
senterons par co'j, à une date quelconque i ySo -h t.
Laplace a donné, dans la Mécanique céleste, l'expression
analytique complète de ces déplacements en fonction des moments
d'inertie de l'ellipsoïde. Mais, pour calculer ceux-ci, il faudrait
Connaître la loi des densités des couches dont se compose le globe
^^rrestre. Il a donc fallu avoir recours aux observations elles-mêmes,
*^îtes à des époques très distantes, pour déterminer les coefficients
des termes principaux. De là les expressions numériques sui-
^stntcs, bien suflGsantes pour un laps de temps de quelques siècles.
PEF --=o^37572^ — 0% 0002436^»,
EP ~ (ù^ -+- o% 00000934^',
*e temps ^ étant compté en années tropiques à partir de 1750.
M m'
(') La force perturbatrice du Soleil cst^:-;; celle de la Lune -3; ; D = 3'|Ooo(p),
•* =6o(p), M = 33oooo/n, /n'=: r — .• Avec ces données, on trouve que l'action lu-
*^^tre est a,4 fois plus énergique que celle du Soleil.
438
LIVEE V. — CHAPITRK X\V.
CHAPITRE XXV.
PUÉCESSION LUM-SOLAIRE ET PRÉCESSION GÉNÉRALE.
——
I/éqiialciir terrcstne tournant coniquement autour de Vstxe dt
récliptique, en vortu de l'action exercée par le Soleil et la Luof
sur Iv nMiilonient cquatorial de notre globe, ses positions successives
î*oix>nt iv|)réscntées comme il suit.
Nous «un^ns
«« «• •• '
«v»^ j3*jS iS' — o^ 0000098/*,
i> A Ole don«o plus huut. A Kaîde de ces trois éléments du
Injiuj^lo i»^ '^ \ ou oulculonà les trvns autn^ :
X ''x
X a
»v
l\ U vom\ Îo^ cw'^r.î.^ani'es du yoinX B etJUEit. en i-5o.
* x\>* BV-
PaÉCESSION LUKI-SOLAIRK ET PBECESSION GÉNÉBALB. ^^
elles deviendront, en i j5o -h t,
p' — 9o« ^ B A' î
c't, comme CA' — CA= — /cotpcos(L 4- Cv), nous aurons
L'=^L-4-GY-CY''-icot?cos(L-i-CY),
p'-_^?-T-/sin(L-hCY).
Cette quantité Gv — Cy", commune à toutes les étoiles, est la
différence des deux, expressions déjà données
G Y -^-C^'"-\- 50", 87672 ^ — o*, 000 12 18^*
Cf--Cf-]- 0,16443^— 0,0002439^*
Gy — Gy''^^ 5o,2ii29^-i- 0,0001221 f'
C'est ce qu'on nomme la précession générale; elle est égale,
comme on le voit, à la précession luni-solaire moins le petit dépla-
cement du point vernal dû aux perturbations planétaires. On a
donné à ce dernier le nom de précession par les planètes, mais à
tort, puisqu'il est de sens contraire à la précession proprement
dite.
Coordonnées équatoriales.
Pour passer des coordonnées de lySo à celles de 1700 -h t, pre-
nons pour intermédiaire les coordonnées écliptiques L et P en 1 750.
Nous les rapporterons au point y en ajoutant à L Tare yy'", ou la
précession luni-solaire ; puis nous appliquerons à ces coordonnées
les formules de transformation
cos ô zi=. cos (Oq cos P -h sin (Dq sin p sin ( L 4- yy* )»
sin 0 sin ( .R H - y*^ T' ) ^ "^ ^'"^ *^'o ^^^ ? "•" ^^^ w'q sin p sin ( L 4- ^^')y
sin5cos(.fH-Y*Y')— sinpcos(L 4- yy*)-
Comme les JR en 1750 4- ^ se comptent de y" et non y"', nous
xrons dû ajouter l'arc y"' y" à l'arc yQ, c'est-à-dire à M, pour
X'oir l'arc yQ qui doit figurer dans ces formules. Nous aurons
24o LIVRE ▼. — CHÂPITBB XXV.
ainsi les coordonnées équatoriales pour 1750 + ^ par un calcul
rigoureux.
Mais les astronomes, ayant à chaque instant à transporter des
observations d^une époque à une autre peu éloignée, trou?eot
commode de calculer tout simplement les dérivées —z- > -— » et de
les multiplier par rintervalle de temps.
En difTérentiant les formules précédentes par rapporta il, 6 et
aux autres quantités "jY', ^"7", il viendra
— — . =(cos(i)o-+-sin(i)aCotosmiR) —^ î^j-î- ... ()
at ai ai
d^ . , „^TÏ^
-7: = — sincooCOSiR -37- •
ai ai
Une partie de ces termes peut élre calculée pour toutes les
étoiles. En posant
® di di
. drt"
/i^smco,-^;-,
on aura
m -— 46% 02824 -+- o'',ooo3o864^,
n =z 20^,0644^^ — o'', 00009702/
et, par suite.
•s •
d ^
-^ r=: m -h /icotôsin.R,
ai
dZ
-7- — — /icos.îl.
di
11 faudrait sans doute intégrer ces expressions entre i^DO-r
et 1 760 -h /'; mais on peut se contenter de calculer les valeurs numé-^
riqucs de ces dérivées pour l'époque intermédiaire 1700 H —
et de les multiplier par /' — /. Le résultat sera exact aux tennc^^
près du troisième ordre.
( * t On peut, sans erreur sensible, écrire ici A au lieu de A -h 7' -f* qu'il Canditi
mettre eu tuu;e rigueur.
PRÉCESSION LUNI-SOLAIRE ET PRÉCESSION GÉNÉRALE. ^4 1
En effet, iB| etOi étant des valeurs approchées pour i^So H >
l'ascension droite pour lySo -+- / sera
c»l pour I j5o -h l'
dt \ 7. ! 9. dt-
• • • •
Par conséquent, la variation totale pour /' — / s'obtiendra en
retranchant la première expression de la deuxième, ce qui donne
(It
Exemples numériques.
f^ii 1755, a de la Vierge avait pour coordonnées, le i*' jan\ier,
J{ i98"4'48'' 0 09" 59/28'.
"**'c:tilcr les coordonnées pour 184^, même date.
L e^pofjuo intermédiaire est 1800. On trouve aisément, par un
catc'ii) rapide fait avec les formules précédentes, en emplovant les
^•^l<'Urs hrutes de m et de u (*), pour 1800 :
.R îO«"î«>' 'T iOî)'*7'.
*-os coefficients m et // deviennent donc, pour la même date,
m i()', 0437 n '^o^jO Hj"»;.
^[^ f De 17.V) à 1800, il y a '|.'> »"«: \:^ m -. S\':W \ i()S":,'- - .1')' r m^s-'io'.
'**»H.Kx i5 = J'i'iS" — l'j' >^^; ••.'.'):)"'*•-' -^ »»' "i">'7'. Par cmséciuî'Mt on n, avec
** «^"xariiiiKle sufUsanle,
"*^f IVpoque inlcrmédiaiiv 1800.
'1^2 LIVRE V. — CHAPITRE XXV.
On aura ensuilo, en calculant à* cinq dccimales :
log/l I ,30'232
lofçcoio 9,25i'|6/i
lof;sin.!{ 9,5o523/i
o,oj9oi
\oinhrc i , i455
losr/i
1 , 3oi32 n
lojçcos-R
9,9765U
1,2788)
I'Ȕ;(/'-0
1,9542*
3,23^
Nombre
î7io'.6
**«••• • > •
/)..
^w,x,^.,^
/' -/..
47,i«<r^.
■>
4247,ojt8o
Préo.on .U.. 1 . 10. 17, o3
198. 4.48
.H ou iS i I . . un), i "». »■>,(>
l*réc. «'Il 0 .
99'.5i.i8
oi'iiiSi-) 100. io.SH.i»
S*il s*ai;issail d\:n laps de temps beaucoup plus grand, oumeoir
d'une éloile \ oi>ine du pôle, il faudrait recourir aux lorniub
ii:;oureu<es de Iraiistornuilitui des coordonnées.
i^n deinanile» par exemple, la distance polaire de rétoile (^n'*p"-
en Tan - »o. i>n IrouNC dans le (-a laloj;ue de rAssocialioiiBnliU-
nupie
I > »o
ru'4 0-Ni'»ii. \jr. M*c
! ellel do la pivVo^>ion p;»îo — 1 S-o ans ?• 1 .it ^ros^iéreintnl
1* »■
5» , ».
Par >uilo vMi ,=.ur,à* ^ .- i 11^7 ji>ur l\ pi ijue indiquée. ^''"
\vMdail p\i^ de pï\i'i-!x>n, il taudta't pin.dn" tlans I»* (lalal'»?'-'
î K xlo |\ loin* ou îr.énu' U au*^ ;);.< [^ î. f l ranii r.er i es « i>or«ionn»<-
à ro|'vvj:îe i^.v^p.ir !o^ vrt^e^^;^::^ îu <\ita!oi;ut^. ee qui. «ii"'"
v.;^, N^J >«tVïs,imuu'vt ; \..v l : ^r j&uruU .i:n>î
:\
= \^à .'1 '•'
L Cl z :
^ • %
; -- II' .' ji .'I •
PROCESSION LUNI-SOLAIRE ET PRËCESSION GÉNÉRALE. '2 i i
Puis on aurait, pour Tan — 20, parla formule de la précession gé-
nérale (p. 23g),
o
t 0
Cv — Cy'" 24.52.9.6,4
L, en 1750 loi. 3o. 38,1
L', en — 2() 76.38. 19.
?' iG5.5i .21
Kiiliii on calculerait o' par la formule
roso'^:z: costOy oos ^^ -+- sintu'^siuji sinL',
ri\ donnant à co„ la valeur 23**28'49 > tirée de la formule de la
piij^t; 7.38. On obtiendrait finalement
Kn l'an — 20, 0 de Canopus i i^'JS'Sj" { ' )
i') C'est par une erreur de transcription «(u'on a luis i'i-î^^o' à la paj;c «^3 «!ii
'«•inc ï.
vii
LIVRE V. — CHAPITRE XXVI.
CHAPITRE XXVÏ
NUTATION.
Dans cette exposition tout élémentaire du phénomène de la
précession, nous avons vu que l'action du Soleil sur le renflcmenl
équalorial atteint son maximum aux deux solstices et s'annul*
aux deux équinoxes. II en est exactement de même de la Luno:
son action devient nulle au moment où cet astre lravt»r-
Téquateur. Newton avait fait remarquer que la précession, c tM-
à-dire rintôgrale des actions susdites, doit présenter <leii\
petites inégalités périodiques dépendant du double de la lon-
gitude du Soleil et du double de la longitude de la Lune: mab
elles lui parurent trop petites pour qu'il fVil nécessaire de le>
calculer. Chose sinirulière. Newton et ses successeurs immé<lial>
ne remarquèrent pas qu'une inéîjalité analogue, mais bien plu^
eousivlt rahie, ile\ai* provenir de ce que Ja Lune >'éearte l;»n!«'l
plu<, lanlol nioin< de réqualeiir, | ar suite de la rélrojjratlaîi»»»
rapiile des lueiids de son orbite. Nous verrons en enVî, au Lv\n-
sui\anl, ipie Tinvlinaison de Cflî»^ orbite sur récliptitjuf <'^l
loujt^nrs d^ ^\ MKii-* que le rouleuienl coniijue de ce plan "f
celui de Tecliptique lait \arier son inclinaisou sur l'équateur «l»'
iS à >S'' AV. iS'.
Fi:. .-.
l.*» liiiuiv rt^pix'scutc cc> trois plans aux moments où le «•»•*'
NUTATION. 'i4^
i^scendant de Torbîte lunaire coïncide avec le point v et, dix-huit
ins et demi après, avec le point y 4- i8o^.
Il doit résulter de là, dans le mouvement conique de Tave ter-
restre, une sorte de trépidation analogue à celles dont nous venons
[le parler, mais beaucoup plus marquée, et ayant pour période
L-elle de la cause indiquée, c'est-à-dire la révolution des nœuds de
l'orbite lunaire. L'effet est assez semblable à celui qui se produit
sur un toton incliné, lorsqu'on en détruit la symétrie par Tadjonc-
lion d'une petite masse.
L'axe poursuit, comme auparavant, son mouvement coni([ue
lutour de la verticale, mais en décrivant un très petit cône ellip-
Lique (^fig' 49) autour de la position qu'il eût occupée avant la des-
truction de la symétrie.
Fig. 49-
C'est à Bradley que la découverte de cette nutation est due. Ce
[célèbre astronome avait institué, avec un secteur zénithal de
grande dimension, une série d'observations sur les étoiles qui
passaient près de son zénith, pour en étudier la parallaxe. Il ne
Darvint pas à mesurer les minimes effets dus au déplacement
annuel de la Terre, mais il découvrit à leur place l'aberration.
Or, après avoir tenu compte de l'aberration et de la précession, il
restait encore, dans les distances polaires conclues pour ces étoiles,
Jes variations régulières dont la période était d'environ dix-
huit ans. La cause qui les produisait devait donc avoir elle-ménie
une période de dix-huit ans. Cette simple remarque amena Bradley
à rattacher ce phénomène au mouvement des nœuds de la Lune, et
par suite à une inégalité non encore aperçue dans la partie de la
précession qui provient de son action. Cette inégalité devait être
de la forme
sin to(?L ^=z — V cos 2 0) sin N,
()u) ^ vcoswcosN,
•a|6 livre V. — CHAPITRE WVI.
N étant la longitude moyenne du nœud ascendant de rorbîte lunaire.
Ainsi le pôle décrit, en di\-hultans et demi, une petite ellipse donl
les axes sont v cos 2 oj et v cos w, tandis que le centre de cette ellip*<*
se meut circulairement autour du pôle de Técliptique. L'observalion
donne vr^ 10", o5 (d'après les calculs de M. Peters> ; par consé-
quent
()L r— — 17", 24 sinN,
Oiii -.=: 9,22 COSN.
Le point y, origine commune des iît et des L de tous les astres,
est donc soumis à une fluctuation périodique de 17", 24 d'am-
plitude de part et d'autre de la position qu'il occuperait en vertu
de la précession seule. En môme temps l'obliquité 01 varie, dans la
môme période de dix-huit ans et demi, de ±: 9", 22.
Les astronomes comprennent sous le nom de nulalion loiile*
les inégalités précédentes, dont voici les termes principaux :
c)L= -- 17,24 sinN 4-o'',2i sin2 N
— 1 ,27 sin 2© — o'',20sin2([;
c)to 9", 22 cos N — 0^,09 cos 2 \
o , 55 cos 2 O -h o'',o9 cos 2 ([; .
-1 .
Désignons par L et p les coordonnées éclipliques d'un aslr-
rapportées à l'équinoxe moyen, par L| et B| l<;s coordonnét'> rap-
portées à l'équinoxe vrai, par w l'obliquité nïONCnnc de rérlip-
tlque (non aflcctée de la nutation), par cj, robli<juilé vraie: jx»"
passer des premières aux secondes, on aura les formules
L| — L ~- - l7'^24 sin ^ -^ ....
?. - ? -■■ o,
oi, o> 9 ^^-2 cos N ....
La (connaissance des Temps donneccs valeurs pour toute l'anm'
Quant aux coordonnées équatoriales, on aura, en diflerenlianl I»*
formulesde transformation des coordonnées par rapport à L. <•>. ■''
et 0, et en remplarant ô\^ et cj par les valeurs ci-dessus :
M\ — A\z^ i7',24si"N(<'ostu4-siniocotûsiiiiR) — 9',22cosNcol5co'..B.
^1 —0 -. i7'',24 siiuN sinwcos.B — 9'',22 cosN siniR.
NITATION. 24/
Lorsqu'on calcule pour la première fois Torbile d'une comète
ou d'une petite planète, on néglige ces minimes corrections;
mais on en tient compte plus lard, lorsqu'il s'agit d*ohtenir les élc-
ments définitifs de l'orbite. Alors on ne saurait négliger les varia-
tions dues aux déplacements des axes des coordonnées, variations
qui n'ont rien de commun avec les mouvements de l'astre observé.
On aura donc soin de rapporter les L à l'équinoxe moyen d'une
même époque, en retrancbant de chaque longitude la nutation
correspondante, ainsi f|uc rcffet de la précession pour l'intervalle
compris entre le jour do l'observation et celui qu'on a choisi pour
époque.
Exemple. -- On demande la longitude du Soleil le lo dé-
cembre 1882, rapportée au point y moyen du i^^ jan\'ier de la
lïiéme année.
La Connaissanee des Temps (p. 5) donne 4 12", 81 pour la
nutation au 10 décemnre, et i- ^'j'\(iy pour relfel de la précession,
du 1^*" janvier au 10 décembre.
Elle donne en -outre (p. 43) pour le 10 décembre :
O rapportée au point 7 vrai du 10 décembre 258.22.34,5
Retranchez la nutation 12,81
O rapportée au point ^ moyen du 10 dt-ccmbrc 258. 22. 21 ,6y
Retranchez la précession 47 ï^'
O rapportée au point y moyen du i*^*^ janvier 258. 21.34,1
>«»^i>-.
2i8 LIVRE V. — CHAPITRE XWIl.
CHAPITRE XXVII.
EFFETS DIVERS DES VARIATIONS SÉCULAIRES.
Variabilité de Tannée tropique.
L'année tropique de 365^,242217 est Tînlervalle de lerap
compris entre deux retours consécutifs du Soleil au point •;'.
Pendant ce temps, le point v a marché lui-même à rencontre du
Soleil de 5o",2ii (précession générale). Quand le Soleil aura
atteint le point y, il lui restera à parcourir ces .">t/',2i 1 pour rno-
nir à son vrai point de départ.
Soient n la vitesse angulaire diurne du Soleil, /i' sa vitesse
diurne tropique (rapportée au point y), p la vitesse diurne de ce
dernier; on aura // = ii — />.
Or
n — -— ; — ■-■- 3.) \W, 33 1 , p — -— j — — o\ 1 3X.
3().> , M I >//> 30.>,24'2.>.
Par conséquent, la \ilesse réelle n = ij/\H" , it)3. On aura donc,
pour Texcès de Tannée sidérale sur Tannée tropique,
o.olJ i^i
Aiiih'»' tr<)pi(|iio ]G5,2Î2'2I7
Somiiio ou aiiiiro siilrrale 3Gj, '256368
La première règle les retours du Soleil aux mêmes lon,i;iluJe5.
par conséquent au point y où L et A\ = o, époque où coniiiiencr
le printemps; ou bien encore au point de Técliptique où L = 9«»
et .« = 90", commencement de Tété, (;tc... Ces*, la période dos
saisons et du calendrier.
La seconde est la véritable mesure de la révolution du Soleil;
EFFETS DIVERS DES VARIATIONS SÉCULAIRES. '249
c'est elle qui doit figurer dans les lois de Kepler. Elle est in-
k'ariable si Ton considère sa durée moyenne dans la suite des
siècles, ainsi que la vitesse moyenne diurne représentée par //.
L'année tropique, au contraire, est affectée d'une légère varia-
lion séculaire, due à celle de la procession qui figure dans la for-
36o**
mule T := En effet, nous avons vu (p. aSg) que, par suite des
i^ariations séculaires de Técliptique, la précession génrrale est, au
l)Out d'un temps /,
5o" , '.H I / -h o" , ooo I 2?. I l'.
Sa variation annuelle esl donc
5o'','îl I -h o'',OOOI22I t X 2.
Ainsi, à la valeur précédente de/>, il faut ajouter
T
Or, si au dénominateur de la fraction T = — '■ on aioute ((
' n -i- p **
petit terme, la durée de Tannée tropique diminuera de
'Mm"* o'', 00024/1^^ t (/', 000244''^ ^
[H t- />}- T ~ n-hp
Elle sera donc de 365^,242217 — oJ, 0000000688 t.
Il v a 2000 ans, du temps d'IIipparque, Tannée tropique était
donc plus longue de 0^,00001376 ou de 11* qu'aujourd'hui, tandis
que Tannée sidérale moyenne avait exactement la même valeur.
Influence de la nutation sur le jour sidéral
En vertu d'une convention universellement adoptée, le jour si-
déral commence en chaque lieu au moment où le point v passe au
uiéridieu. II s'agit ici du point y vrai, point où Trqualeur actuel
coupe Técliptique. Ce [Xïint n'est pas fixe, comme nous l'avons
su|)posr jusqu'ici: il est animé d'une vitesse diurne de
— ;,/.-. 7 -^ •: >2 : rosN J.N,
obv),24
•Jl5o LIVRK V. — CHAPITRE XXVI l.
expression où ON représente le mouvement moyen diurne du
nœud de la Lune, c'est-à-dire — 3'io". Le petit terme pério-
di(|ue 17", 24cosN sin3' lo" est insensible d'un jour à l'autre. 11
n'en est pas tout à fait de même du premier dont la valeur e^l
-o", 14. La vitesse de la rotation relative au point v éuul
3()o" -r o",i4 -i- i7",'-i4coSi\ sin3', la durée du jour sidéral seri
^celle de la rotation terrestre t'ijint 1)
I :>96ooo
I 29G000 -r- 0,1 4 H- ï7>'-^4 cos\ sin3
<.)n voit donc que le jour sidéral serait tout à fait constant saih
la nutation. Mais ce défaut d'uniformité est parfaitement n>j;li-
geahle d'un jour à Taulre. On n'en lient pas com[)te, bien «ju;'
l'effelaccumuléde jour en jour puisse aller de — 1* à -t-i^en divhuil
ans, parce qu'on n'évalue jamais de lon«:s espaces de temps enjoué
sidéraux, mais en jours niovens. Or, d'après la définition du jour
moven, le mobile considéré étant un Soleil fictif dont l'.B esterait*
à la lon:;itude moNonne du Soleil, celte longitude se coinpio a
partir du point y moven alfeot"- de la préces>ion, mais ni>n de U
nutation: celle-ci ne figure tpie dans ré(|ualion du temps t p. j'"
dont Texpivssion complète est
Kq. du contre Perlurb. — Nutatîua — Hod. à réqualeur.
Masse de la Lune et aplatissement du globe terrestre.
m-
u\
l.'an.dx se donne les t\i'rx">sioi;> théoriques de la préCfS>ion lu
>ol,iiv eî de \à nutation. O. ns io> t:\pressions, les masses dc^ de
a^tîcs» .iin>i que les nuv.ur.ls d in» r*îo prïnci|^u\ de n«»lre j^lobr.
tî;;tnvnl ne v v >v.ii.v 'u. nt. V\< ;i:.»îî; •':!- d inertie ou plutôt leurs raj>-
po:l^ >oiîl ■ï;c. nîu;>: nu .-», tii \>Linl ie> c\pr-s>ions d»* c^'-^ inéga-
aie^ ,«u\ N.ïUui^ v^.o .\ i ^: lAjt; \n -i^sî^ne a la précts>i<'n luui->i>-
L:nv cl À Li uuîÀi*v^;î, x^-^ ■!•:.; al des f qu4li«*ns doT-quellfS on |)eiil
vîi\lu.»e *».i ::î ^^v' ào iji Lur.e c*l *e r, pp »r! vies deux nionienl?
à iC.vîiîc via ^U^.v :vr:v>::v- IV vl r.-p;-.»rt • :i doiuirail T.iplali -
'^cuîï'iît, >î I.i !/; ^ vxjir.: i ru-.l.e :i •.ie:i>ilc xarie j l'intérieur de la
lVvt>* ; t.i*t o/'-r.r.iv* l v^:;:"^:<* .^r e v- l:1 :* .«? i ce sujet quedv-
■i\iN^;hv >\\-. .. .^,;t ^,' v/:i:t::t:r ie lirvr ôr* iri^ caîciiU une li-
KFFRTS DIVERS DES VARIATIONS SECULAIRES. 'ÀJl
mile supérieure de raplalissenient. Le calcul donne Tfô* L'apla-
tissement jj^ que nous avons trouvé dans le Tome I est effecti-
vement au-dessous de cette limite.
Température moyenne du globe et variation des saisons.
11 semble, de prime abord, que les variations séculaires dont
sont affectés les éléments de Torbite de la Terre et ceux de sa rota-
tion doivent avoir une grande influence sur la température et
expliquer certaines phases géologiques. Voici ce que nous pou-
vons dire à ce sujet.
1° La distance moyenne a du Soleil est invariable, ainsi que la
durée T de la révolution.
a" L'excentricité e va actuellement en diminuant, mais, à aucune
époque, celle-ci n'a pu et ne pourra drpasser la petite quan-
tité 0,077.
3" Le périgée est animé d'un mouvement progressif de 11", 6.
Sa longitude, comptée du point y, croît donc de 62" par an. Ce
point fait le tour du ciel en vingt et un mille ans.
4° L'inclinaison de réclipti(|ue sur le plan fixe de 1700 ne peut
varier qu'entre o" et 5**. Et comme l'inclinaison de réquateur'sur
ce même plan fixe est à peu près constante, Tobliquité de Tédij)-
tiquc ne varie que de 18" à 5î8°.
5° L'axe de rotation de la Terre coïncide avec le plus petit axe
d'inertie de notre globe, et n'a jamais dû s'en écarter sensible-
ment.
La température du sol est due à trois causes : la radiation des
divers astres de l'univers stellaire, la radiation du Soleil, le flux de
chaleur qui nous vient des couches profondes et par lequel s'opère
le lent refroidissement de la Terre. Il en résulte actuellement, pour
la surface de la Terre, une température moyenne de 288" (absolue).
On peut considérer les deux premières comme constantes pendant
une grande partie des périodes géologiques; la quantité de chaleur
reçue du Soleil, à diverses époques, ne doit donc varier qu'avec
l'excentricité e, et sa répartition entre les climats terrestres ne doit
varier qu'avec w, e et w.
Soit (f la chaleur reçue du Soleil dans l'unité de temps, à la dis-
aSa LIVRE V. — CHAPITRE XXVII.
a^
tance a; ijr — sera la chaleur reçue à la dislance /•, cl
f
sera la chaleur reçue en un an. En vertu de l'équation
/•- c/k' z=: n-\ I — e* n dl.
celle inlr*;^rale revient à
f
• o
7 = q == ^ ■, L
L'excentricité e restant toujours comprise entre o et 0,077, la
variation de celte quantité de chaleur ne saurait dépas-^er yj^j.
Ainsi, pendant tout le temps que la chaleur solaire aura élc con-
stante, la température movennede la surface terrestre ne saurait avoir
varié de 1°, en admettant que toute la chaleur lui vienne du Soleil.
Il ne paraît donc pas que les périodes glaciaires, même en supposant
qu'elles se soient étendues à tout le glohe, puissent être attrihuéi»^
à une cause astronomique de ce genre (* ).
Quant aux saisons, c'est-à-dire à la distribution de la chaleur
sur les deux hémisphères, elles dépendent de «o, de e el d»* ^^
L'obliquit'* variant de 18** à 28** dans la suite indéfinie du teiiip-.
les calottes polaires ont eu et auront une extension variable eiitro
ces limites: de même pour les zones tempérées et lorrides. L'autn*
cause consiste en ce que le mouvement du p'-rigée, par rapport au
[)oii)t •', trans[)orte successivement le périgée dans les quatre sec-
teurs angulairement égaux qui répondent aux diverses saison*.
Actuelh^ment sa longitude est 281**: il t*mil>«» dans le secl? ur 2"o"-
ii6o". qui répond pour nous à l'hiver. O secteur est donc parcouru
par \r raxon \ecteur en moins de temps que c«'lui de go**-!»*^*,
«>ii >e trouM* Tapogéi' et qiii répond à notre él<'*. (^est une dil-
lereure <le «-inq jours entre la durée i\r Thiver ■ 8*j' » et celle do VvW
"«'.••lUiro. sur Jc.>4Ufliv> nou> n\i\.»n* au> uft«' «i >iiiuc.
(y4^). En outre, le Soleil est plus proctie de nous en hiver qu'en
élé; la difTérence esl de^j pour les dislances, de yr pour l'intensité
de la cliaieur reçue aux moinenis extrêmes du périgée et de
l'apogée. L'hiver et l'été seraient donc plus lempéréî sur notre hé-
misphère que sur l'hémisphère opposé, si les autres circonstances
étaient pareilles. Mais le premier est en grande partie conlinenlal ,
drfirùitcmiu.
et le deuxième en grande partie océanique. 11 ne faudrait donc
comparer que des pays analogues, tels que le nord cl le sud de
l'Afrique, ou le nord de l'Afrique avec l'Austrahe.
Du reste, cet état de choses est assez rapidement variahle. Dans
loooo ans, demi-révotulion du périgée, ce point tombera dans le
secteur d'été, et les choses seront interverties. Alors sans doute,
comme aujourd'hui, on ne constatera pas de différence bien sen-
sible entre les températures moyennes des deux hémisphères.
Mais si les causes extérieures, astronomiques, ne paraissent pas
avoir une grande influence, il n'en esL pas de même de la chaleui-
centrale. Nous avons vu (Tome I, p. 3o4) que les grands mouve-
ments qui se sont accomplis peu à peu dans la croûte solidifiée de
la Terre proviennent tous du refroidissement qui a dil s'opérer,
d'abord avec moins d<; lenteur qu'aujourd'hui, mais toujours plus
énerçiquemcnt sous les mers que sur les continents.
VRE V. — CHAPITRE Kxrci-
ytWSPHERE BOHEAL
LIVRB V. — CIIAPITBE XXVII.
^llMlSPHtRE AVSTItAi
'à56 livre V. — CHAPITRE XXVII.
Influence de la précession sur Taspect du ciel étoile.
On a marqué, sur la Carte céleste ci-joinle, le cercle de a3*a8
de rayon que le pôle décrit en a6ooo ans autour du pôle de Téclip-
lique, dans le sens rétrograde. Ce pôle est actuellemcnl très près
de a petite Ourse, étoile de 2* grandeur qui joue, à cause de ccli,
le rcMe d'étoile polaire, rôle important à toute époque pour rorien-
tation. Il continuera à s'en rapprocher jusqu'à la distance de a8:
puis il s'en éloignera progressivement. Dans laooo ans ce sera
Véga (a de la Lvre) qui sera l'étoile polaire. Il y a 4<>oo ans, à
l'époque qu'on assigne vulgairement pour la construction de la
grande Pyramide, Tétoile polaire était a du Dragon.
En un lieu donné, l'aspectdu ciel change donc peu à peu j>ar l'effet
de la précession. Toute étoile cesse d'être visible lorsque sa dis-
tance zénithale méridienne 0 — A dépasse 90**, 5. Sur l'horixoii de
Paris, les étoiles dont la distance polaire dépasse i3i**4<>' ^
trouvent dans ce cas. La colatitude X étant invariable, il est aisé
de voir sur la Carte que Sirius, et même une partie de la constel-
lation d'Orion, étaient invisibles à Paris il v a 12000 ans. Ed
revanche, d'autres étoiles du ciel austral, que nous ne voyons plus
aujourd'hui, paraissaient alors sur notre horizon.
Effets de la précession sur les signes du Zodiaque.
Les Anciens avaient divisé Treliptique, route du Soleil, en ii«pai-
ties égales nommées siirnrs. Le signe >alail 3o° et constituait un»*
première subdivision de la circonférence. Chaque signe portail «n
nom propre et un symbole, absolument comme la rose des vents.
Encore au eoinmeiieemenl de ce siècle, on disait que telle planèlf
se trouvait par sS'* du sisjne du Scorpion, "\> 23", pour dire qiK
sa li»n^ilude était de 233". Encore aujourd'hui, la Connaissance
(irs Trmps donne la nomenclature de cette numération pour
laeiliter la lecture des anciens documents. Pour parler aux yeu\.
les Anciens avaient afleolé une constellation à chaque signe, en
groupant sous la figure d'un animal les étoiles zodiacales comprise^
dans les premiers Zo degrés, pui-i ilans la seconde trentaine e'
ainsi (le suite. Le premier point du IVlier s'écrivait ainsi To'.
EFFETS DIVERS DES VARIATIONS SÉCULAIRES. 25y
et comme c'est encore aujourd'hui rorigine de nos longitudes,
on a remplacé ce symbole par la lettre grecque y, qui lui ressemble
le plus. Mais lorsque les anciens astronomes grecs établirent
celle division et ces signes, ils ne se doutaient pas que la pré-
cession viendrait déranger leur correspondance avec les con-
stellations.
Aujourd'hui, quand le Soleil a passé au point y et se meut dans
le signe T (Bélier), il se trouve réellement dans la constellation
des Poissons {/ig' 5i). C'est que la division du zodiaque en Bélier
[o** — 3o®), Taureau (3o° — 60**), Gémeaux (60** — 90°), etc., a été
conservée, bien que les étoiles qui s'y trouvaient à l'origine s'en
soient peu à peu écartées en passant d'un signe à l'autre.
Quant aux Chinois, qui avaient divisé le ciel en 28 fuseaux
compris entre les méridiens de certaines étoiles, dites déterniina-
triceSy la confusion a été bien plus grande chez eux, parce que la
précession est bien autrement compliquée en M. qu'en L. Ces
étoiles déterminatrices passaient, avec le temps, d'un fuseau dans
l'autre; les méridiens limites s'enchevêtraient d'étrange façon; il
était impossible d'y rien comprendre, et l'on en était réduit à re-
commencer de temps à autre la détermination des heures, deve-
nues fort inégales, qui répondaient à chaque étoile déterminatrice.
Application à la Chronologie.
Si les anciens Egyptiens, qui ont si souvent figuré certaines
onstellations et même des zodiaques entiers sur les parois de
surs temples, avaient eu l'intention de représenter exactement le
îel de leur temps avec l'indication nette des points équinoxiaux
u solsticiaux, il serait aisé d'en conclure la date de la construc-
lon de l'édifice, car la précession fait rétrograder de 1° par 72 ans
^ position de ces points par rapport aux étoiles. Tel serait le cé-
-bre zodiaque de Dendérah que l'armée d'Egypte a fait con-
duire au monde savant et sur lequel les chronologistes ont si long-
'Oaps disserté. Mallieureusement il paraît que ces zodiaques ne
^Ht que des processions de personnages allégoriques sans rapport
^*^cl avec l'état du ciel de l'époque.
En revanche, l'orientation des monuments égyptiens, dont on
II. 17
l58 LIVRE V. — CHAPITRE XXTII.
a constaté Texactitude actuelle, montre que, si les pôles
déplacent sur le ciel et voyagent de constellations en constel
tions, ils restent toujours aux mêmes points sur la Terre, en so
que le globe terrestre a toujours fait corps pour ainsi dire a^
son axe de rotation.
ABERRATION. sSq
CHAPITRE XXVIII.
ABERRATION.
Origine de ce mot.
Lorsque Picard et Auzout imaginèrent, dans la seconde moitié
du XVII* siècle, d'adapter des réticules aux lunettes dont on ne s'était
5ervi avant eux que pour examiner la figure des astres, et de rem-
Jacer les alidades à pinnules des instruments de mesure par des
m cottes à réticule, les observations astronomiques acquirent tout
c^CDup une précision telle, que l'on conçut l'espoir de vérifier
r^ctement la doctrine copernicienne, en mesurant sur le ciel les
ï-î tes ellipses parallactiques des étoiles. Les équations (i), (2), (3)
Ispage 78 donnent L| — L pour une étoile dont les coordonnées
— lies seraient L et p ; en nommant D la distance de l'étoile,
nation (4) se réduit, à cause de la petitesse de ce déplace-
rit, à
R
sin p ( Li — L) =: j^ sin ( O — L)
>
ï^ aurait de môme
Pi-? = --^cos(0-L)cos? (»)•
Prenons, dans un plan tangent à la sphère céleste, des axes rec-
(•) En effet, l'équation (4) se réduit, en remplaçant cos (L, —L) par l'unité, à
D, sinp. =D5in? -hRcos(0— L).
En la combinant avec l'équation (i) on trouve
=^cos (0 — L) cosp
UngO, -p) = - -
1 — |r cos ( O — L) sin ?
a6o LIVRE V. — CHAPITRE XXVIII.
tangulaires se croisant au lieu vrai de Tétoile et dirigeons Taxe
des y vers le pôle de Técliptique ; les coordonnées de la position
apparente de Tétoile seront, en faisant y- = sinTw,
j:» =: sin p (Li — L) =: ir sin (0 — L),
J zr: p, — ? = - ir ces ( O - L) ces p,
d'où, en éliminant Q — L>
r' x^
(71 CCS P)* ' U' '
équation d^uie ellipse dont le demi-petit axe t: cos ^ est dirigé
vers le p(Me de l'écliptique, et dont le demi-grand axe tz est paral-
lèle à ce cercle.
Diaprés cela, si les étoiles étaient toutes à la même distance de
la Terre, comme le croyaient les Anciens qui les fixaient dans la
concavité du dernier ciel, elles décriraient en un an (période àt
l'argument © — L) des ellipses ayant même grand axe t:, et donl
le petit axe décroîtrait, d'une étoile à l'autre, en raison de cos 3.
Chose remarquable, les astronomes de cette époque trouvèrent
bien que les étoiles décrivaient ainsi chaque année des ellipses de
ce genre (t. I, p. 191); ces ellipses avaienttoutes 20'', 4 pourdemi-aie
parallèle à l'écliptique, et 20", 4 cos p pour demi-axe perpendicu-
laire au premier; mais leur mouvement sur celte ellipse diffé-
rait totalement des lois précédentes. Ainsi, au moment où
O — L = ()o°, on aurait dii avoir >' = 0, x =1 tz. Au lieu de celi
on trouvait chacjuc année
y=: — 20" cos p, X — o.
Lorsque le Soleil avait mémo longitude que Téloile, au lieu do
trouver >•-— — t: cos ^, x = o, les observations donnaient
y = 0, x-=i 20',
absolument comme si les formules étaient
sin p ( L, — L) — — -n cos ( Q — L),
pj— pi=:'ïrsin(0 — L)cosp.
ABERRATION. a6i
Cette contradiction frappante entre la théorie et l'observation
ne devait pas entamer la confiance qu'on avait dès lors dans le
système de Copernic ; en attendant qu'elle fût levée, on donna à ce
phénomène mystérieux le nom à' aberration des fixes.
Vitesse de la lumière par robservation des éclipses
des satellites de Jupiter.
Heureusement qu'une autre difficulté, en apparence de nature
toute différente, se présenta à la même époque. Galilée avait
appelél'attention des astronomes sur leséclipses fréquentes des satel-
lites de Jupiter, qui traversent le cône d'ombre de la planète presque
à chacune de leurs révolutions. Si l'on faisait des Tables exactes des
mouvements de ces satellites, de manière à prédire d'avance leurs
éclipses en temps d'un premier méridien, celui de Parispar exemple,
l'observation de ces phénomènes, en un lieu quelconque, faite à
l'heure du lieu, résoudrait immédiatement et sans calcul le pro-
blème de trouver la long^itude, dont la solution était de plus en plus
réclamée par les géographes et les navigateurs. Cassini avait con-
struit ces Tables en tenant compte de l'équation du centre de la
planète, et de quelques inégalités dont une observation suivie lui
avait révélé l'existence dans les mouvements des quatre satellites,
inégalités que Laplace devait rattacher, un siècle après, à la théorie
de l'attraction.
En comparant ces Tables aux observations des éclipses, Rœmer
remarqua une inégalité singulière qui avait échappé à Cassini.
-ï^ans le cours d'une année à peu près, Jupiter se trouve deux fois
^^ quadrature, à égale dislance de la Terre et du Soleil; alors
*cs dates observées des éclipses s'accordaient avec les Tables de
^^Siiini. Mais aux oppositions, l'observateur étant plus voisin de
•'•^pîter de près d'un rayon de l'orbite terrestre, c'est-à-dire de
**> millions de lieues, les éclipses des satellites arrivaient huit
"^■riules avant l'instant prédit. Non loin de la conjonction, au
^^■^ traire, la Terre étant plus éloignée de Jupiter de tout un rayon
^ notre orbite, les éclipses arrivaient huit minutes trop
^**<i. Rœmer prouva en outre que, dans l'intervalle, l'avance ou le
^t^rd des éclipses sur le calcul variait proportionnellement à la
*^ tance de l'observateur à Jupiter. Comme il était impossible
a6a LIVRE V. — chapitre xxtiii.
d^admettre que la distance de ces satellites à nous eût la moindre
influence sur leurs mouvements, Rœmer chercha et trouva la caiis^
de cette inégalité dans la propagation successive de la lumière, qui
devait mettre, d'après cela, seize minutes à parcourir le diamètre
entier de Torbite de la Terre.
Soient W la vitesse de la lumière, que nous supposerons parfaite-
ment uniforme, D la dislance d'un astre ; tout phénomène qui se
produira siir cet astre a Tins tant t ne sera perçu, par l'observateur
terrestre, qu'à la date ^ 4- ^> ce dernier terme exprimant le temps
Fig. Sa.
que la lumière met à franchir la distanc^'^ D. Par conséquent si, à
la date inconnue /, un sntrllite a- (/iff» Sa) s'éclipse en pénétrant
dans le cône d'ombre de Jupiter, nous ne verrons le phénomène
qu'à l'instant
Six mois après la Terre se trouvera en T', Jupiter en J'; le relard
T' 5'
sera -Ty-> et on aura, pour une nouvelle éclipse,
0' -r: /' -4
Par ronsiWjuent
0' -eiTT/'— ^
Tt'
^— ^ •
W
T^ j — T
Or rinlervalle t' — t des dates inconnues l et /' comprend un
nombre entier de révolutions s>nodiques de ce satellite, périodes
ABERRATION. l63
bien déterminées par Cassini. Cet intervalle est donc aisé à cal-'
culer et Féquation précédente donnera W. Le numérateur étant
connu en parties de Tunité de distance a , on a tiré de cette équation
en sorte que la lumière met 8™ 17% 8 à franchir l'intervalle qui
nous sépare du Soleil.
Effets astronomiques de la propagation successive
de la lumière.
Ainsi, quand nous voyons un astre dans une certaine direction,
c'est par un rayon de lumière qui en est parti quelque temps
auparavant. Pendant ce temps, si l'astre est ou semble animé d'un
mouvement quelconque, il a dû faire du chemin et arriver en un
point d'où le rayon de lumière lancé vers nous ne nous atteindra
que plus tard. Si D est la distance de l'astre, :^ sera la valeur de ce
temps, et, en désignant parnla vitesse angulaire de l'astre mobile, n -^
sera le chemin parcouru pendant le temps que la lumière aura mis
à venir jusqu'à nous.
Le Soleil, par exemple, dont la vitesse angulaire = 3548", 19
par jour, sera en avance de la direction où nous le voyons
D /7
de 3548,''iQ ;îi7î en faisant D = a, W= -, ^r? l'avance sera de
' ^W^ ' 497,8
g^r^ X 497» 8 = 20% 4j a peu près.
Ainsi le Soleil, tel que nous le voyons de la Terre, est toujours
en arrière de 20", 45 sur sa position réelle. II faut donc ajouter
ces 20", 45 à la longitude observée pour avoir la vraie longitude,
c'est-à-dire la direction suivant laquelle s'exerce leur attraction
mutuelle dont la propagation est instantanée.
(') En réalité Delambre a trouvé par ce procédé 493*; dans ces dernières années,
M. Glasenap a trouvé 499** Nous adoptons ici un nombre qui répond exactement
à la constante de l'aberration des étoiles déterminée par W. Slruve. On verra
plus loin la relation qui permet de conclure de Tun à l'autre.
264 LIVRE V. — CHAPITRE XXVIII.
Il en sera de même des planètes de notre système. Il convJcot
désormais de distinguer leur position apparente de leur vrai lieu.
On obtiendra celui-ci en ajoutant, aux coordonnées apparentes, le*
arcs décrits pendant le temps ^ que la lumière met à franchir
leur distance D, c'est-à-dire
_D ^ D ^
—j- et -j- représentant les vitesses en M et en o. Un peut aussi
considérer les coordonnées apparentes à la date t comme les coor-
données réelles, à la condition de retrancher de l le temps ^ que
met la lumière à venir jusqu'à nous, et de considérer / — ^ comme
la date à laquelle doivent se rapporter lesdites coordonnées.
Aberration des fixes expliquée par Bradley.
Mais quand il s'agit des fixes, le même raisonnement semblait
inapplicable.
Revenons maintenant à un phénomène que présentent les étoiles
lorsqu'on les observe jour par jour dans tout le cours d'une année.
Nous avons vu(t.I, p. 191) qu'elles ont un déplacement réel ou appa-
rent qui doit dépendre, mais d'une manière inexpliquée, du mouve-
ment de la Terre; elles décrivent chaque année, autour de leur
position moyenne, une petite ellipse tout à fait difierente de
l'ellipse parallactique qui, définitivement, échappait par sa petitesse
aux efibrts des observateurs. Pour l'étoile y du Dragon, par
exemple, les variations de la coordonnée 5 étaient
0 — 0' z= 2o''sin(0 ■+- II"*),
tandis que celles de la parallaxe auraient eu pour expression
0 — ô'i^— rocs 0-^ii«).
En étudiant ces niouvenionïs avec le plus grand soin sur v du
Dragon, Bradley avait été frappé de ce coefficient 20" qui rappelait
ABERnATION. 265
un nombre bien connu des astronomes depuis la découverte de
Rœmer, à savoir l'avance du Soleil sur sa position apparente,
causée par la propagation successive de la lumière. Le célèbre
astronome anglais remarqua que ce nombre exprimait au fond,
sous une forme singulière, le rapport des vitesses de la Terre
et de la lumière; car dire que, dans le temps que la lumière
parcourt le raj'on de l'orbite terrestre, le Soleil, ou plutôt la
Terre, décrit un arc de 20", 44^ ou, en parties de ce mémo rayon
. , 20", 445 I , 1. 11'^
pris pour unité, — Tr-^^. = > c est dire que la lumière va
^ ' 200200 10091 ^
10091 fois plus vite que la Terre. Mais comment la vitesse de
la Terre peut-elle nous faire voir les fixes ailleurs qu'ils ne sont?
On raconte que Bradiey, préoccupé de celte question, et se prome-
nant un jour sur les bords de la Tamise, fut frappe de voir que les
girouettes des navires en marche n'étaient pas orientées sous l'ac-
tion du vent comme celles des navires à l'ancre. Il y avait là une
combinaison évidente de la vitesse des navires avec celle du vent.
La direction des girouettes en marche devait être la résultante de
ces deux vitesses. C'était un phénomène semblable à celui
qu'éprouve une personne qui, pour s'abriter d'une pluie tombant
verticalement, place son parapluie au-dessus de sa tête si elle est
en repos, tandis que, si elle se met à courir, elle doit obliquer son
parapluie suivant la résultante des deux vitesses, celle de la pluie
et celle de sa course.
Cette remarque lui suggéra l'idée de composer aussi la vitesse de
translation de l'observateur terrestre avec celle de la lumière qui
lui vient d'une étoile.
SoientËun point fixe quelconque (Jlff* 53),TlaTerre,ETlerayon
de lumièrequi parvient en T, TT' =V la vitesse de la Terre, <?T= W
celle de la lumière. La résultante sera la diagonale du parallélo-
gramme Te' construit sur Te et TT' ; ce sera donc aussi la direction
suivant laquelle le rayon de lumière produira sur l'observateur
l'impression lumineuse. Celui-ci verra le point E en E', sur le
prolongement de Te'. E paraîtra donc dévié d'un angle a dont il
est facile d'avoir l'expression, en représentant par t l'angle e^TT'.
En effet,
TT' sina _ y^ _ 1
eT sina W ~ 10091
a66 LIVRE V. — CHAPITRE XXVIII.
OU, en angle,
206 205' . m Ê tt» '
a =: sin d =L 20 , 445 sin ».
loogi
Ainsi tous les points de l'univers, les fixes par conséquent, doivcol
paraître déviés d'un petit angle a = 2o'^,44î> sî" ^ ^Is^'ïs le sens vers
lequel la Terre marche. Le point E, ou l'étoile fixe, est vu en E',cl
l'on construira graphiquement la position apparente E' en menant
par E (position vraie) une droite EE' parallèle au mouvement de
la Terre et égale à ^^^^ de TE, c'est-à-dire de la distance de
Fi g. 53.
/ /
//'
:r
TV —
l'étoile à la Terre. Et comme d'un bout à l'aulre de l'année la vi-
tesse de la Terre a pris toutes les directions dans l'écliplîque lon
peut ici la supposer constante), le point apparent E' décrira autour
de E, dans un plan parallèh» à celui de récliplique, un cercle ana-
logue à celui de l'orbite de la Terre, sauf que le rayon EE', étant
le 777777 de la distance, ne sous-tendra, à l'œil de Fobserxalour.
qu'un angle de 20", 415.
Ce cercle, projeté sur la voûte céleste avec laquelle son plin
fait un angle ^ égal à la distance angulaire de l'étoile E au pôle de
l'écliptique, devient une petite ellipse dont le demi-grand axe |u-
rallèle au plan de réclipti(jue est 20", 44^? ^^ dont le demi-[.>etit aie
est 2o",44'J> cos^.
Après avoir calculé sur ces données la variation annuelle cor-
respondante en o pour Y du Dragon, Bradlev eut la satisfaction de
retrouver Texpression
0 - 0' - c^o^sin (0 -f- II»)
ABERRATION. 367
que les observations lui avaient doanée (t. I,p. 191) par une voie
purement empirique ^t dont il possédait désormais la signification.
Expression théorique de Taberration.
Soient ;r, r, z les coordonnées écliptiques vraies de Tétoile E à
l'époque /, rapportées à la Terre, Dsa dislance, Xi, j^'i, Zt ses coor-
données apparentes, c'est-à-dire celles du point E'; Ç, r^ les coor-
données du Soleil; t-> -r les composantes de la vitesse du Soleil
at at ^
dans son orbite, ce qui donne — -^> — -1- pour celles de la Terre.
Nous aurons, pour les projections de la ligne EE' sur les axes,
d\ W ^T) D
Par suite
on a d'ailleurs
et, par la page 66,
dt ly' dt W
Z^ = Zy
dri W
$ — Rcos O, T, - R sin O,
dl an . dr. an
37; = -Sin O, -r- = ces O,
en n'écrivant pas les termes constants en e s'inrs etecosnr, qui se
confondront avec les constantes x et y. Posons
an
— zn a
\/i — e^\V
>
et remplaçons les coordonnées rectilignes par les sphériques; il
viendra
Dj ces pi = Dcosp,
Disinpi cosL, ^^ Dsin pcosL -h R cosO 4- a D sin©,
Disîn^i sinL, - Dsin ^ sin L -h R sin0 — xD cosO.
268
LIVRB V. — CHAPITRE XXVIII.
On en déduira tang(L, — L)ettang(P, — P), et, comme les lerrocs
du second ordre en - = y:^ et en a sont parfaitement négligeables,
on écrira
(L, — L) sînp .-=:•« sîn(0 — L) — a ces (3 — L),
Pi — 3 =:7:oos3cos(Q — L) -h acos3sin(0 — L».
Les termes en tz représentent Ja parallaxe annuelle; les termes
en a Taberration. Ainsi on passe des premiers aux seconds en rem-
plaçant lu pelile parallaxe -n. variable d'une étoile à Taulre, pan,
et O par © — i)o*\ Sur IVllipse parallactique, on voit l'étoile Je-
placét* dans la direction même où se trouve le Soleil ; sur l'ellipse
d*aberraUon, on la voit déplacée dans une direction de 90" moins
avancée que le Soleil.
Aberration pour les coordonnées équatoriales.
Si les coordonnées étaient rapportées à l'équaleur, nous aurions
Di 00s 0, -- Dcoso -^ Rsin tusin 3 — xDsincoros 2^.
D, sin Oj cos .U» - D sin 0 00s ,R — R 00s 3 -^ a Dsin 0,
D|SinO| sin.R, :_ Hsincsin.R — Rcoswsin0 — aDcoswcoso-
d'où l'on déduira, en se bornant à l'aberration.
t. .Ri— .RWiiio
%
-^M
%
c
C'est en posant
- x^^^^^^o' ^*^*^ '^ 00s oj — si II O sin.R \
- - 2 00s 0 ■ >in .R 00s c cos «w — sin o siii w
— a sin 0 cos.R co?c.
si II .R 00s 0 oosw — sine >in w ^ m sin M.
cos .R oo-ic ~. m 00s M
que nous avons retrouvé o» — 0 sous la forme de la page ii)i du
tome 1 : •
2//I >iii ^"^ — M .
ABERRATION. 269
Aberration diurne.
Tout mouvement de robservateur donne lieu, pour un point
quelconque de l'univers, à une aberration spéciale. Le mouvement
diurne n'est pas absolument négligeable sous ce rapport. Désignons
celte fois par Ç, Ç, yj les coordonnées équatoriales de l'observateur
à la surface du globe, à l'heure sidérale II; nous aurons
ÇirrpcosX, Ç =1 p sin X ces II, r^mipsinH.
Leurs variations avec le temps seront
d\ • > • ïi <^1I
-;- =: — p sm A sin H —7- >
dt ^ dt
dr^ . > II ^'1
-7- =: 4- p smA ces 11 —r-»
dt dt
Portez-les dans les équations précédentes et vous obtiendrez
sin8(iRi — iR) = :^ -7-- p sinXcos(II — iR),
0. — 01= — r^v — 7-P sInX sin (II — M.) ces 8.
y\ dt ^
Comme H — IR = Mj on voit que l'aberration diurne est au
maximum en J^ quand l'étoile passe au méridien; elle est nulle
alors en 5. La vitesse angulaire ~j- de la rotation terrestre est
366,25 fois plus grande que celle de la circulation de la Terre au-
tour du Soleil, mais le rayon psinXdu petit cercle décrit par l'obser-
vateur autour de l'axe polaire est bien plus petit que le rayon a de
l'orbite terrestre. On aura donc la constante del'aberration diurne en
multipliant 20", 44^ P^r 366,256 et par - ou sin'n= sin 8",8i3. De
là la valeur o''',32 pour ce coefficient.
On en tient compte dans la réduction des observations méri-
diennes en ajoutant la constante o'',32 sin \ à l'erreur de collima-
tion c, car toutes deux doivent avoir le facteur -; — ;^ à la distance
sin 6
polaire S.
270 LIVRE V. — CHAPITRE XXVIII.
Aberration en longitude du Soleil.
La variation dQ de la longitude du Soleil a pour expression (p. 46)
dQ = ( I — e*; * ( i -+- e ces i')' n dt,
dans laquelle
t» = G — '"•
En remplaçant dt par le petit intervalle de temps
W ~(i -recosr)W'
nous aurons la formule complète de Tabcrration
an
, [ I -!-ecos(0 — m)l.
Cette expression revient à :rrv; la vitesse V de la Terre est une
an
quantité légèrement variable dont la partie constante est -;==. i')-
En prenant la seconde pour unilè de temps, on a
a ^^9o\^9
^<)7,78 8O400
d'autre part, e= 0,01677. ^^ ^^> '^ petit calcul suivant pour U
(•) En effet, dans la relation Y* = -^ remplacez ji par '^ — a'/i', rpir
a (! — «')
- - ; vous trouvez
1 -r- t cos v
» = — T ^» -4- e rosi* '.
V » — ^
ABERRATION. 271
partie constante de Taberration du Soleil en longitude :
log3548', 19. . . 3,55ooi
C* log 86400 5,06349 — ïo
CMog /i — e* 0,00006
log497»78 î», 69703
V
1 ,3 1059 = log ao',445 = log arc sin ^
Détermination par les étoiles de la constante de Taberration.
Il suflisait à la rigueur de comparer les coordonnées d'une étoile
observée au méridien aux époques où Taberration atteint ses efTets
maxima, en sens contraire, c'est-à-dire à six mois d'intervalle.
Après avoir corrigé ces observations des effets de la précession,
de la nulation et du mouvement propre, il n'y reste plus que ceux
de l'aberration, qu'il est aise d'en déduire. On choisit pour cela
une étoile circumpolaire, a de la petite Ourse, par exemple.
Il vaut mieux employer toutes les observations méridiennes d'une
année, et former des équations de condition où figurent comme
inconnues la parallaxe t: et la petite correction à ajouter à une
valeur provisoire de Taberration. Les M fournissent une série
d'équations pareilles; les o en donnent une autre série indépen-
dante de la première. Cependant il est préférable d^instituer des
observations spéciales pour cet objet, comme l'ont fait autrefois
Hooke, Molineux, Bradley, à Taide de grands secteurs zénithaux.
M. W. Struve, de Poulkowa, a eu recours à une méthode fort remar-
quable basée sur l'emploi d'une lunette semblable à la lunette
méridienne, mais tournant dans un plan vertical perpendiculaire
au méridien. En observant les deux passages, par ce plan, d'une
étoile dont le B ^ X, aux heures H et H', on a, pour Tangle
horaire, à l'instant d'un de ces passages, ^I = et l'on en
déduit 8 par la relation (triangle rectangle PZE)
tan g 8 zzi tangX ces. il.
On suppose X connu. La réfraction n'intervient pas ici, non plus
que les erreurs de division d'un cercle ou d'un secteur et les dila-
ara livrb v. — chapitre xxviii.
/
talions des vis inicrométriques. En diflférentîant, on a
IN
-r-n : — — dM tangiH ;
sinocoso
parconséqucnl, si Ton choisit des éloiles dont le S dépasse peu le
)v local, tang^H sera petit, et ce fadeur diminuera rinfluence des
erreurs de Tobicrvation de H ou de H', c'est-à-dire de A\. G*Ue
méthode, due originairement à Rœmer, a été tirée de Touhli par
Bessel, qui Ta appliquée à la mesure des colatitudes ^ dans ses
opérations géodésiques. M. W. Slruve a fait construire un in-
strument spécial pour observer ainsi, avec une exactitude remar-
quable, une nombreuse série d'étoiles culminant près de son zénith.
De la discussion des 8 ainsi obtenus, il a déduit
a r- 20 , .|4'> - O , 01 I .
Vitesse de la lumière mesurée par les physiciens.
Comme la lumière a une vitesse de 3oo millions de mètres par
seconde, elle met ^j^ôô ^^ seconde à parcourir 65''™. C'est à peu
près la plus grande base qu'on puisse choisir dans ces expériences;
par conséquent la méthode doit permettre d'apprécier -^^ de
seconde avec une grande exactitude. Il y a pour cela deux admi-
rables procédés : celui de M. Fizeau et celui de M. Foucault. \a
procédé de M. Fizeau a été appliqué avec un [)lein succès par
M. Cornu. H consiste à envoyer, [)ar l'intervalle de deux dents
d\inc roue dentée, un faisceau de lumière parallèle qui >a frapper
normalement un miroir immobile placé à 32^*", et qui revient ainsi à
la roue dentée après avoir parcouru 65"^"*. Si l'on imprime à celte
roue une grande vitesse de rotation, de 1600 tours par seconde,
par exemple, cette roue se sera déplacée très sensiblement pendant
ce trajet de la lumière, bien qu'il ne dure que —^ de seconde; le
rayon, à son retour, repassera donc, non par le premier intervalle
des dents, mais par un autre, le vingtième ou le vingt-unième par
exemple, qui sera venu prendre la place du premier. Si le ravoa
tombe sur une dent, il y aura éclipse; sur un intervalle il passera.
Ln comptant les écbpscset les réapparitions du faisceau de lumière
ABERRATION. 278
qui se produisent successivement, à mesure qu'on augmente la
vitesse de rotation, on se rend compte du rang de l'intervalle au-
quel on s'arrête. Toute la difficulté se réduit à mesurer avec exacti-
tude la vitesse de rotation de la roue.
M. Cornu a trouvé ainsi
W = 3oo4oo^'" ±1 1000''".
M. Helmert a corrigé un peu ce résultat et l'a réduit à
•
La méthode de M. Foucault consiste à appliquer le miroir
tournant de Wheatstone à la mesure du temps employé par la
lumière à parcourir un espace beaucoup plus petit. Elle a été
singulièrement perfectionnée dans ces derniers temps par M. Mi-
chelson, des Etats-Unis. Un rayon de lumière, lancé par un miroir
tournant, est réfléchi normalement par un second miroir fixe qui
1^ renvoie sur le premier. Le double trajet était, dans les expé-
'^cnces que nous mentionnons, d'environ 1200"*. Le rayon de
'"Giour, rencontrant le miroir tournant dans une position nouvelle,
^^^ réfléchi vers l'observateur qui mesure la déviation. Celle-ci
^ accroît avec la vitesse de rotation, dont il faut connaître exacte-
'^^nt la valeur (' >
Le résultat obtenu par M. Michelson est
W = 299940^'" ±1 loo*^™.
Nous adopterons ce second nombre, si bien confirmé par le pré-
^^dent. Son erreur relative est d'environ âQ^ô*
En rapprochant cette valeur de W de celle qu'on déduit de la
^^nstante de Srruve par
an ff //"
: 20 , 4 P
^/,_t'^\V
(*) On y parvient optiquement à l'aide d'un diapason dont le nombre de vibra-
*^os par seconde est connu exaclcmcnt. Ce diapason porte à l'une de ses branches
'^'^ petit miroir qui réfléchit une inia^e du miroir tournalit. Celle-ci est immo-
"^ lorsque le nombre de tours de celui-ci est égal au nombre des vibrations du
^'«pason.
II. 18
274 LIVRE V. — CHAPITKE XXVIII.
OU encore
497% 7»
On voit que Ton peut en déduire en mètres la distance movcDDe
a ou, ce qui revient au même, la parallaxe du Soleil. Nous avons
trouvé ainsi (p. 221)
7: — 8^8I3:ho^oo56.
CATALOGUES D^ÉTOILES. - 2^5
CHAPITRE XXIX.
CATALOGUES D'ETOILES.
Réunissons les variations des coordonnées éclipliques dues à
la précession, à la nutalion et à raberration, en nommant
L et p les coordonnées rapportées au poinf y moyen et à Técliptique
de i85o;
Li et pi les coordonnées rapportées au point y vrai et à Técliptiquc de
i85o-T-r;
N la longitude moyenne du nœud ascendant de la Lune;
et posons Cv = S^i^'oi" -{- 5", '22 1; on aura
= L-f- 5o', 21 13/ -h 0,000122^* j Précession, et var.
— 0,489* cotp cos(L -H G^) \ séc. de Técliptique.
— 17,25 sinN — 1',27 sin20 Nutalion.
— 20,44^ sccp co3(L — 0) Aberration.
= P - 0,489/ sin(L -h Gy ) Var. séc. de l'écl.
-1-20,445 cospsin(L — O) Aberration.
En désignant par [x et v les mouvements propres de Tétoile en L
et P, il faut encore ajouter à L le terme [x/, el à jî le terme v/.
Voici les formules applicables aux coordonnées équatoriales :
iRj = iR-H /n-4- nsiniîlcotS Précession.
— (1 5', Si 4- 6', 87 sin iîl cot S ) sin IS j
— 9', 22 cosiRcot8 cQsN > Nutation.
— (1,16 -h OjSisin Jlcot8)sin2 3 /
-- 20,445 8iDiRséc$sin0 i ,
,,. ^ ' - /-x Aberration,
— 20,445 cosiRcosw sec OCOS0 )
276 LIVRE V. — COAPITRE XXIX.
5| = 5 — nt cosiR Précession.
)
— 9',22 sifiiRcosN
— 0,55 sin^R COS2O . ,
^ Nutation...
-T- 6,87cosiRsinN
H- o,5i cosiR sin2 0
-f- 20,445 cosiR cososinQ i ,
^ { AberralioD.
— 2o,4i5(siniR cosô cosw — sino sinw)cosQ. . . 1
Même remarque que ci-dessus pour les mouvemcnls propres
en JR et 0.
Catalogues d'étoiles.
Suivant les usages consacrés en Astronomie on considère le
mouvement du point y comme composé de deux parliçs : l'une,
sensiblement proportionnelle au temps, est la précession générale;
Tautre, périodique, est la nulation. Le j)oint y niovcn à la dale
i85u4-^ résulte donc d'un simple calcul de précession; la position
du point Y vrai résulte de la précession et de la nutation. Quant aux
coordonnées apparentes d'une étoile, telles qu'elles seraient
données par l'observation, il faudrait encore, pour les obtenir»
ajouter aux coordonnées rapportées au point y vrai reflet Je
'aberration.
Réciproquement, si l'on a observé les coordonnées d'une étoile
en 1 85o 4- /, on n'a que les coordonnées apparentes rapportées ao
point Y vrai. Si Ton en retranclie l'aberration, on obtient les coor-
données vraies rapportées à l'équinoxe vrai du jour de Tobsona-
tion. Si on retranche les effets de la nutation, on a les coordonnées
rapportées au point y ou à l'équinoxe nioven de i85o -+- i. Enfin
si vous en retranchez la précession j)Our t années, vous aurez les
coordonnées nio venues de i85o, c'est-à-dire rapj)ortées à l'équi-
noxe moven du cette dale (').
Afin de faciliter les calculs relatifs aux coordonnées équatoriales
dont on se sert le plus souvent, on les a mis sous la forme sui-
(') >\î pas oublier que loulci les corrcclions, calculées par nus formules o«
prises dans les epli 'iiiLTiLies, doivenl être ajoutées (algébriquemcot) uui coor-
d(»iiuées moyennes pour pus>er aux coordonnées vraies, et, quand il s'agil «te
l'aberralion, aux co.»rd<»nnées vraies pour passer au:., coordonnées apparentes. If*
épli -niérides donnent t >uj )urs les coordonnées ajiparcntcs des planètes et de*
étoiles, pour le centre de la Terre.
> •
CATALOGUES D ETOILES.
•i77
vante (Bessel). Posons
Asinll
A ces II
^sinG
^cosG
/
i
on aura
-i8%76cosO
— 20,45 sinQ
— 9,32 ces N
-+- 20,o5(^— o'',34sinN)
46, 09 ( / — o", 34 sin N )
— ^18,76 tangu) cosOî
^, = ^4-/4-^ sin (if^ hG)coto-f-Asin(J\-hG)coséc5
— ^cos(iR-hG) — /icos(iRH-G)— isinô.
a, tr-,a
La Connaissance des Temps publie, de dix jours en dix jours,
les valeurs des quanlitésy, G, H, g^ h et i.
Pour donner une idée de ces catalogues d'étoiles, nous insérons
ici le commencement de celui de Baily.
Catalogue de 8370 étoiles de rAssociation Britannique.
ROM
de
Tètolle.
4Ccli
Sculptons.. . .
3 Ceti
a .^ndromeda
Ceti
Cephei
0 Cassiopea*..
87 Pegasi . . . .
K^hœnicis . . . .
Sculptons. . . .
K Phœnicis.. .
^'•••••«••« - •
Canopus
a
7
6
7
I
7
1\
K
6
6
6
4
3\
MOYE^I.^E
Janvier i,
h m s
0.0. 3,06
0.25,79
o.3i, I I
o.Z8,55
I. 3,01
I. 10.87
1 . 1 2 , 07
I .i8,5i
1.27,58
1.41,91
i.l7»43
PRLCES-
SIOX
anauelle
6.20.87,^6
-1-3,071
3,069
3,070
3,078
3,070
3, 106
3 , 082
3,078
3,059
3,o65
3,060
VARIATION
«éculairtf.
— 0,0018
—0,020^
—0,0017
-f-o,oi6i
— o,ooi5
-ho, i554
-ho,o'|88
-t-0,0095
—0,0420
—0,0168
- 0,03l2
MOVVE-
MË.NT
propre.
i,3'j8 — 0,0017
4-0,002
-HO, 008
— 0,ûo8
-1-0,018
-1-0,006
-1-0,057
-1-0,067
-1-0,013
-l-o,oo'|
4-0,018
+0,029
8 II0TE!INS
Jaavlor r,
ivSo.
98.22.57/4
12'}. II .56,9
98. .6.58,5
61.11.14,1
98. 3.2l,6
II. 7.18,2
3f. 40.38,1
72.87. i5,8
1 I |.5o.22,3
I 18.49. •7'2
i36.3l.24,7
PRÉ-
CESSION
annuelle
-20,06
20,06
20,06
20,06
20,06
20,06
20,06
20,06
20,06
20,06
20,06
4-0, Oi2;il2. 86. 56, 4 4- 1,80
VARIA-
TION
sâcalaire
-1-0 , 00 1
0,001
0,001
0,001
0,00.^
0,002
0,002
o,oo3
o , oor*
o,oj3
o,oo4
MOC-
VEMEIfT
propre.
+•0,198
H
—0,08
4-0,16
-0,06
4-0, i3
— 0,01
4-0,08
4-0,17
—0,02
-ho, 20
—0,10
4-0,02
0,00
278 LIVBE V. — CHAPITRE XXIX.
Pour obtenir la position moyenne d'une de ces étoiles eni85o-f/,
il faut, conformément à une prescription de la page 240, calcaler
la précession annuelle pour l'époque intermédiaire i85o -H 7/. Elle
est égale à la précession annuelle du catalogue H — *■ '- ' x-J.
On aura ainsi M moyenne, pour i85o -f- t, par
M moy. i85o -f- (préc. ann. -h- mouv. prop. ) t.
C'est presque toujours de la position vraie, à la date susdite, que
l'on a besoin. Il faudra dès lors prendre dans la Connaissance des
Temps la valeur des coefficients F, G, H. ... pour la date indi-
quée, et achever le calcul comme on Ta dit plus haut.
Formation d'un Catalogue d'étoiles.
C'est là un des objets les plus importants de Tactivilé des grands
Observatoires. On y observe chaque année un grand nombre
d'étoiles de toute grandeur pour former le Catalogue des positions
moyennes de tous ces astres, rapportées au point y d'une date con-
venue, époque du Catalogue. Pour cela, on retranche de chaque ob-
servation l'aberration et lanulation ; puis on compare cette position
à celle d'un Catalogue beaucoup plus ancien, afin d'en tirer la préces-
sion + le mouvement propro pour le laps de temps écoulé. Celle
comparaison fait connaître le mouvement propre. Enfin, par un
calcul de précession où Ton tiendra compte de ce nouvel élément,
on rapportera l'étoile au y de l'époque adoptée pour le Catalogue.
C'est en comparant les positions ainsi obtenues à celles que les
astronomes ont déterminées antérieurement qu'on obtient la con-
stante de la précession et les mouvements propres en .-R et 0.
La plupart des étoiles présentent en effet des mouvements
propres soit réels, soit dus à des erreurs d'observations. L'erreur
probable d'un >R ou d'un 0 étant de 1" à 2", celle des différences
Mi — ^^l, 0, — 0, pour deux étoiles observées à des époques diffé-
rentes, sera de i",4 ^ '.>'",8. Si l'intervalle est d'un siècle, l'erreur pro-
bable du mouvement propre conclu sera de o",oi à o",<>3. On trouve
un assez bon nombre d'étoiles dont les mouvements propres sont
dix et même cent fois plus grands que celte erreur probable. H
CATALOGUES D ETOILES. 279
n'y a donc pas à douter de leur réalité et il importe de les étu-
dier.
Outre les erreurs accidentelles de Tobservation, ces mouvements
propres qu'on est conduit à regarder comme uniformes, du moins
dans le court laps de temps qu'embrassent les observations, sont
nécessairement afTectés de toutes les erreurs constantes des Cata-
logues. Par exemple, les M d'un Catalogue peuvent être trop fortes
par suite d'une erreur commise dans la détermination du point y.
Il y a aussi l'erreur propre à la constante de la précession qu'on
emploie pour transporteries coordonnées d'un Catalogue à l'époque
d'un autre.
Nous ignorons d'ailleurs si les mouvements propres eux-mêmes,
abstraction faite de ces causes d'erreur, sont dirigés au hasard,
sans loi, ou bien s'ils présentent quelque particularité commune.
Il n'est pas impossible en effet que beaucoup d'étoiles appartiennent
à quelque système très vaste dont les mouvements intérieurs seraient
réguliers.
En second lieu, si le Soleil se meut comme les autres étoiles,
nous participons à ce mouvement, et nous le transportons en
sens inverse à tous les points de l'univers.
Ce que donnent les mouvements propres des étoiles.
Cette question est capitale; la détermination exacte de la con-
stante de la précession en dépend. Malheureusement sa solution
complète exigerait la connaissance de la distance des étoiles, ré-
sultat auquel l'Astronomie actuelle ne saurait prétendre. Sir W.
Herschel a déterminé le premier la direction du mouvement de
translation du système solaire, par un procédé graphique qui
n'exige pas les distances (t. I, p. 28); mais le seul astronome qui
ait abordé ce problème en son entier est M. O. Struve. Voici un
aperçu de son travail et de ses résultats.
Soit une étoile ayant L, p, r pour coordonnées* à une époque t,
Uf P', r' à une époque /'. Désignons par -^^^ et b les coordonnées
du point vers lequel marche le Soleil et e l'espace qu'il a parcouru
dans le t-emps t! — t. On aura évidemment, en passant par les coor-
données rectangulaires et en nommant Ç, i, yj les projections de
%So LIVRE V. — CHAPITRE X\IX.
la petite droite e sur les axes,
x' =: j: -f- 5,
et par suite, en coordonnées polaires
r'cosp' mrcosp -+- ecosb^
r'sinp'cosL' rrr rsinpcosL -+- esinôcos^,
/•'sinp'sinL' nz: rsinp sin L H- esin^sin^^
r'
On éliminera Tinconnue —et on aura ainsi pour chaque étoile
deux relations entre -> à, J^ M. Otto Struve, à l'aide de supposi-
tions très plausibles sur les distances r des diverses catégories
d^étoiles par lui calculées, a trouvé, en introduisant dans ses
équations comme inconnue la correction £ à appliquer à la
constante de la précession :
e = 4-o'',oi34,
j. - o%339,
4^~255<»59' (M,
b -— 29°2l'.
La distance r est ici relative aux étoiles de première grandeur;
elle vaut à peu près un million de fois la distance a de la Terre au
Soleil. L'espace e est donc
o,33q
X looooooa.
206265
Dans un an la Terre parcourt 2 ira. On trouve ainsi que la vi-
tesse de translation du système solaire est le quart de la vitesse
de la Terre dans son orbite annuelle.
( * ) M. Struve s'est servi des JR et 6 des catalogues sans passer par les L et p. Ln
formules restent les mêmes, sauf en ce qui concerne la précession. II a trouvé poir
les coordonnées équatoriales du point cherché : Si = aôi^ar, 5 = 52» 24'.
LA LUNE. 281
LIVRE VI.
LA LUNE,
<•••>
L'attraction du Soleil, a et T étant rapportés au mètre et à la se-
conde comme unités de longueur et de temps, est ^, = ^, . , . •
Désignons par jx' cette attraction de la masse solaire à i" de dis-
tance, et par ^ sa valeur à la distance moyenne du Soleil à la Terre.
Il est facile de voir qu'elle est i656 fois plus faible que l'attraction
terrestre G à la surface de la Terre, c'est-à-dire à la distance (p).
Si donc la Terre était fixée dans l'espace, les corps placés à sa sur-
face, du côté du Soleil, perdraient ^-—g de leur poids; ils en gagne-
raient tout autant du côté opposé, et les eaux des océans afflue-
raient violemment sur l'hémisphère tourné vers le Soleil. Mais la
Terre est absolument libre; elle obéit donc loutentière à cette faible
attraction comme si sa masse était condensée en son centre
(p. 112). Les poids des corps placés à sa surface ne sont altérés
qu'en vertu de la différence des attractions que le Soleil exerce
sur le centre et sur la surface. Cette différence produit des effets
tout autres que ceux que nous venons de^ décrire. Elle diminue de
la même quantité les poids des corps placés du côté du Soleil et
de ceux qui se trouvent sur la Terre à l'opposé du Soleil, parce
que les premiers sont plus attirés que le centre, tandis que le
centre est plus attiré que les seconds. Différentions "^ par rapport
à a ; -~- da exprimera cette force perturbatrice si l'on donne à da la
valeur (p). Le calcul montre qu'elle n'est, au maximum^ que
la 1 9380000* partie de G. On a donc raison de n'en tenir aucun
a8'l LIVRE TI.
compte dans les questions de Mécanique ou de Physique lerreslres.
Elle passerait complètement inaperçue si la surface de niveau des
mers ne formait un vaste appareil sensible aux moindres forces,
et ne décelait celles-ci par Timperceptible phénomène des marées.
On sait du reste que les marées se produisent également du côlé
du Soleil et du côté opposé, montrant ainsi que la diminution do
poids des corps s'opère eflectivement de la même manière sur ces
deux faces.
Si on lançait horizontalement, près delà surface de la Terre, an
projectile avec une vitesse de 8000" par seconde, ce corps cir-
culerait indéfiniment autour de notre globe (abstraction faite de
la résistance de Tair; il n'éprouverait de la part du Soleil aucune
perturbation bien sensible.
Mais, à mesure qu'on s'éloigne de la Terre, à une distance
variable p, l'attraction de ce globe diminue en raison du carré de
la distance p, tandis que l'action perturbatrice du Soleil -^ p aug-
mente proportionnellement à cette même distance p. Le rapport
des deux forces varie donc comme p'. Un corps porté à la dis-
tance de 60 (p), (p) étant le rayon équatorial, et participant, bien
entendu, au mouvement de la Terre, décrirait, s'il était lancé avec
une vitesse double de celle d'un boulet de canon, une orbile
identique à celle de la Lune. Mais, pour ce projectile, Faction per-
turbatrice du Soleil serait déjà -j-^ de l'attraction terrestre. Enfin,
à la distance de 27o(p) environ, ces deux forces seraient égales,
et un corps lancé dans ces conditions finirait par circuler autour
du Soleil et non autour de la Terre (comparez avec ce qui a été dil
pour les comètes, p. 188).
Chaque planète a ainsi une sorte de sphère d'attraction, res-
treinte par la présence du Soleil, à l'intérieur de laquelle elle
peut avoir et conserver des satellites. Si le Soleil venait à
disparaître, à être anéanti, chaque planète poursuivrait sa roule
dans l'espace, avec sa vitesse et dans sa direction actuelles, empor-
tant avec elle ses satellites. Ces petits systèmes seraient à peine
atteints par la catastrophe ([ui dissoudrait le monde solaire.
Si, au lieu de considérer le mouvement du satellite par rapport
à la planète, on veut en étudier le mouvement absolu, on trouve
que le satellite décrit une épicycloïde autour du Soleil. La nature
LA LUNE. a83
de celte courbe dépend du rapport des deux vitesses, celle de la
circulation autour de la planète et celle de la circulation du petit
système autour du Soleil. Ce rapport est tel, pour la Lune, que son
épicycloïde est allongée, sans boucle ni point de rebroussement,
en sorte que le mouvement delà Lune, vu du Soleil, est toujours
direct ( * )• H en est de même pour les deuxième, troisième et quatrième
satellites de Jupiter. Le premier, au contraire, décrit dans Tespace
une épicycloïde à boucles; vu du Soleil, son mouvement offre
des parties rétrogrades et des parties directes; il a des stations
el des rétrogradations comme les planètes vues de la Terre. Mais
nous n^aurons à étudier que le mouvement de la Lune relative-
ment à la Terre.
(') Il est facile de montrer que cette épicycloïde décrite par la Lune autour du
Soleil n'a môme pas de points d'inflexion et présente partout sa concavité au Soleil.
— ■ ■»> ■
aS4 LIVRE VI. — CHAPITRE XXX.
CHAPITRE XXX.
PHASES DE LA LUNE ET OBSERVATIONS MÉRIDIENNES.
i*«ai
Phases, Lunaison.
Néanmoins il est impossible de ne pas tenir compte du Soleil
dès les premiers pas que nous faisons dans cette étude. Le Soleil, en
efl'et, éclaire la Luneetlarend visible à nosyeux par une successionde
phases semblables à celles des planètes. De plus^ il agit comme
masse perturbatrice, et son action, qui lait dévier la Lune de For-
bite elliptique qu'elle devrait décrire autour de la Terre, varie sans
cesse connue les phases elles-mêmes auxquelles ces perturbations
se rattachent intimement.
Considérons la Lune dans la position l^{Jig, 54) lorsque l'angle
Fig. 5|.
i/^-
%^
yo - —
T- \
.180
tr
sr-*:^
S5
no
en Test do p"^. l/hémi>phôre tourné vers la Terre a pour limiîe lo
cerclt' <f' Joni lo plan est |)«:T[>on.licii[aire àTL. L'hémisphèn- éclain*
par !e Soleil a pour L aso !«' coivlo il dont le plan est perp'^n»iii*u-
laire à LS. Dè^ lor:>, la seule partie visible pour nous sem le Itiseau
PHASES DE LA LUNE ET OBSERVATIONS UERIDIENNES.
a85
projeté en iL(/ sur le plan de la figure. L'angle de ce fuseau est
évidenimenl égal à Tangle LTS ou C — O, dlflerence des lon-
gitudes géocenlrlques des deux astres, du moins quand on néglige
la petite inclinaison de l'orbite lunaire sur le plan de l'écliptique
où Ton compte les longitudes. La figure donne le rabattement du
disque lunaire; la portion visible est le mince croissant compris
entre le demi-cercle du contour apparent, toujours nettement ter-
miné, et la demi-ellipse projection du cercle d'illumination ii\
toujours déchiquetée par les saillies dont le sol de la Lune est
hérissé. Le reste du disque n'est pourtant pas absolument invisible ;
il est éclairé faiblement par la lumière que la Terre lui envoie, et
nous apparaît (lorsque le croissant est. très mince) d'une teinte
bleuâtre, qu'on nomme la lumière cendrée.
Comme l'action perturbatrice du Soleil se réduit à la différence
des attractions qu'il exerce sur la Terre et sur la Lune, celte action
dépend évidemment de l'angle LTS qui règle les phases. Les Anciens
ont donné le nom d'aspect k certaines valeurs de cet angle qui re-
viennent continuellement dans cette étude.
Anf le T
ou (£;— 0
Aspect.
Phase.
C . . .
Conjonction
Nouvelle Lune
45... .
i*- orlant
90....
Quadrature
1*^ quartier
i35... .
'^* octant
•
180
Opposition
Pleine Lune
2Sl5
0* octant
'270...
Quadrature
2" quartier
3i5. ...
4* octant
Éclipse possible de 3
Eclipse possible de C
On nomme aussi syzygies les deux aspects de la conjonction et
de l'opposition pris ensemble.
La période de ces phases, c'est-à-dire la révolution synodique
de la Lune, s'obtient ainsi. I^a révolution sidérale étant
de 2jJ,320i6ô', le moyen mouvement diurne de la Lune est donc
Celui du Soleil
n — 1 3. 10.34 ,9
n! ~ 0.59. 8,2
Vitesse relative,
n — n —12.11 .27,7
28G LIVRE VI. — CHAPITRE XXX.
36o«
Par suite, révolution synodique 7 --^ 29^,5306.
C*est la durée d^une lunaison. A chaque lunaison les phases se
reproduisent dans le même ordre, et il en est de même des actions
perturbatrices que le Soleil exerce sur la Lune.
Distance, Parallaxe.
Nous adopterons les symboles a, e, r, T, /?i, . . . pour désigner
le demi-grand axe, Texcentricilé, le rayon vecteur, etc., de la Lune.
Les éléments analogues pour la Terre porteront un accent. Nous
devons prévenir de suite le lecteur qu*ici l'unité astronomiqoe
n'est plus a', mais (p), rayon équatorial de la Terre. Il n'y a pis
moyen de mesurer la distance r de la Lune à la Terre en parties
de a', comme nous l'avons fait (p. 97^ pour les satellites des autre:^
planètes. Il faut l'obtenir directement par la méthode des parallaxes:
or, ce procédé donne la distance en parties de la base prise comme
unité, et cette base est (p). Il semble d'abord, en se reportant àU
figure des phases, que Ton pourrait déterminer la distance de la
Lune à la Terre par le triangle TLS, au moment où la Lune est en
quadrature, c'est-à-dire quand L = 90** ou ajo". En effet, à ce
moment, la Lune est dichotome, c'est-à-dire coupée en deux par
la ligne de séparation d'ombre et de lumière. Si à cet instant, qu'il
semble aisé de déterminer avec quelque exactitude, on niesu re Tanglt'
en T, le triangle rectangle SLT donnera le rapport de TL à ST.
c'est-à-dire de r ou de a à a'. On a trouvé ainsi ~ pour ce rapport,
et nous verrons plus loin qu'effeclivement la Lune est à peu près
400 fois plus près de nous que le Soleil. Mais ce procédé ne com-
porte aucune précision, parce que la ligne de séparation d'ombre
et de lumière manque de netteté ; elle est d'ailleurs trop affectée
par les irrégularités du sol de la Lune.
Disons aussi que les astronomes ne se servent guère des nota-
tions /• et a dans cette théorie, mais de leurs inverses - ou -> et
r a
comme le numérateur i représente le rayon équatorial de la
Terre (p), - est le sinus de la parallaxe horizontale équatoriale P
PHASES DE LA LUNE ET OBSERVATIONS MÉRIDIENNES. '287
de la Lune. On remplace donc le rayon vecteur par cette paral-
laxe.
C'est un élément variable dont la constante - = sin 5 n' 2". 66.
a '
De là on tire a = 60,26728 rayons équatoriaux de la Terre.
Les variations de la parallaxe P dépendent de l'excentricité e= ,-*g.
Elles vont de 6i' à 54'.
Diamètre apparent, diamètre linéaire.
Reste un dernier élément, à savoir le diamètre angulaire A de la
Lune vue du centre de la Terre, c'est-à-dire à la distance r. Si on
représente par v le rayon de la Lune, on a
sin|A 3= - =vsinP.
' r
A varie donc avec r, en vertu de Texcentricité de Torbite. Sa
valeur, à la distance moyenne a, est de 3i'6", 24? ses valeurs
extrêmes sont 29^22" et 32'5o", de sorte que la Lune, vue du
centre de la Terre, parait tantôt plus grande, tantôt plus petite que
le Soleil, car le diamètre apparent de ce dernier est compris
cnlre3i'28'^et 32'36". De la valeur moyenne on déduit t =0,27264?
l'unité élant toujours (p). Ainsi le rayon de la Lune est à peu près
le quart de celui de la Terre.
Le diamètre apparent, pour un observateur placé à la surface
de la Terre, diffère sensiblement de celui-là. Sur la figure ci-jointe,
Fi g. 55.
L
LO = r, AL = Ti ; les distances zénithales!^, Ç|, rapportées, non
pas à la verticale AZ', mais au rayon terrestre prolongé AZ, donnent
r _ sin î A, _^ sinC,
/', sin J A sinï
288 PHASES DE LA LUNE ET OBSERVATIONS MÉRIDIENNES.
En désignant par p la parallaxe ALC, par ^ l'angle ZAZ',
par Zy la dislance zénithale ordinaire Z AL on a les relations fort
simples, pour le méridien,
C = Ci— />, ^x — ^x — ^^
sinz? ::= - sinÇ, r= p sin Psîn(w, — <J/).
r
Si robservation se faisait hors du méridien, Ç| ne serait plus
égal, rigoureusement, k z^ — ^5 le triangle sphérique ZZ'L don-
nerait
cos![, 1= ces ^1 ces 'J' -H sin-Si sin ^ ces A,
A étant l'azimut de la Lune, formule qui se réduit, à cause de b
petitesse de ^ (vol. I, p. 292), à
Ç, n: ^, — <j/cosA.
Ainsi le mouvement diurne, en faisant varier r^ de tout an
ravon de la Terre, fait varier le diamètre angulaire de la Lune
de Yjj- environ pour l'observateur A. Elle lui paraîtra donc plus
grande de ~ au zénith qu'à Thorizon ( ' ).
Les coordonnées .R et 0 varient si vite qu'on est obligé de lc$
donner, dans les tphémérides, non pas de jour en jour, comme
pour le Soleil et h s planètes, mais d'heure en heure. Autrement
rinterpolation serait par trop pénible. Voici un extrait de la Con-
naissance des Tent us pour 1S82 :
G
/uiHet 1882.
\ uriatioii
Variation
llrurcs.
A\.
pour i"
0.
piiur i".
1
>
A.
P.
0.. .
23
h m s
.56. 7,58
il
2,229
87 . 34 . 27 , 7
— 12*88
16'.
15*8
>0
.35:1
1 .. .
38.21, 3*2
2,229
21 .35,7
12,86
1 5,5
34,1
'2.. .
4o.35,o3
2 , 228
8.44,7
12,84
l5,2
33,1
3. .
42.48,71
2 , 228
80.55.55,2
12,81
'4,9
32,1
4...
45. 2,3G
2 , 227
43. 7,3
'•^>79
14,7
3i,i
5...
47. iG,oo
2,227
3o . 2 I , 0
12,76
74,4
3o,a
{* ) La Lune, à l'horizon, nous parait au contraire beaucoup plus grande qu'ao
zénith; mais ce n'est qu'un circt d'optique atmosphérique (voL I, p. 11 ), qui dis-
parait dans les mesures.
PHASES DE LA LUNE ET OBSERVATIONS MÉRIDIENNES. 289
Ces mouvements sont les plus rapides de tout le ciel, sauf ceux
de certaines comètes. Lorsqu'on dirige la lunette d'un équatorial
bien réglé sur une étoile, la lunette suit Tastre dans son mouve-
ment diurne et reste exactement pointée sur lui. Il en est à peu
près de même pour le Soleil et les planètes; mais, quand il s'agit
de la Lune, quelques secondes manifestent déjà le mouvement
propre de notre satellite. Pour le suivre, malgré la variation d'^îl
opposée au mouvement diurne, il faut agir sur le moteur et lui
imprimer un retard d'environ 2* par minute de temps sidéral. Il
faudrait aussi tenir compte du mouvement de l'astre en distance
polaire; on vient de voir que, le 6 juillet, il était de i3'' par minute.
Ce qui achève de compliquer ces effets, c'est la variation inces-
sante de la parallaxe et de la réfraction en JR et en 3.
Observations méridiennes.
Lorsqu'on observe la Lune à son passage parle méridien, comme
ce plan contient à la fois la station M et le centre O de la Terre,
l'instant de ce passage est le même en O et en M, autrement dit
^ VJR. observée n'est point affectée par la parallaxe. Seule la distance
zénithale exige, de ce chef, une correction qui doit lui être appliquée
si l'on veut obtenir la distance polaire géocenlrique 0. Supposons
que la lunette méridienne décrive exactement le méridien, que
l'observation ait été faite régulièrement à tous les fils du réticule,
enfin que H et H' soient les moyennes des observations faites aux
deux bords du disque lunaire; on aura, comme pour le Soleil
(p. 29) , âJR étant la variation de iR en 1%
Il ~f- IV __ ir-^ii _ jA
relations dont la première donne, pour le centre de la Terre, l'as-
cension droite du centre de la Lune, et la seconde, le demi-diamètre
angulaire de cet astre.
Si, au même instant, on a mesuré au cercle mural les distances
zénithales z^ et z\ des deux bords supérieur et inférieur (corrigés
de la réfraction), on aura
^i ^^ ^1
2
II. 19
;î ^l~T""*l n_J_> Il li 1\
0— ^ /?H-A, ^ —k^u
290 LIVRE VI. — CHAPITRE XXX.
p étanl calculé (p. 210) par
sinp = p sin P sin ( — ^ — 4' ) '
formule dans laquelle P est donné pour l'heure de l'observalion
par la Connaissance des Tçnips. Enfin on obtient -jA par
sin^A
sini .lL±Jll_4,__^j
sinjA, . /^i4-
si„(iii£l_^^
Ces deux manières de déterminer le diamètre apparent de la
Lune, en deux sens rectangulaires, donnent constamment le mèiotr
résultat ; parconséquenl, le disque de cet astre est circulaire. Comin»*
la Lune tourne toujours vers nous la même face, cela ne prt>u\<»
pas qu'elle soit sphérique; elle pourrait avoir la figure d'un ellip-
soïde de révolution, à peu près, autour du diamètre qu'elle dirij^v
vers nous. La théorie montre qu'il doit en être ainsi, mais lalloD-
gement de cet ellipsoïde à trois axes inégaux est très faible ; la Lunf
peut être considérée ici comme sphérique sans erreur appréciable.
Nous avons supposé que les deux bords étaient observés au
passage de la Lune au méridien. Cela n'arrive que rarement,
à l'époque de la pleine Lune. D'ordinaire on n'observe quo le
pi*emier bord, lorsque la Lune passe au méridien avant minuit, ou
le second, lorsque Tobservalion a lieu après minuit. SuppoM»n>-
nous dans le premier cas : à Theure II, moyenne des observati«ni*
faites aux cincj fils de la lunette, c'est-à-dire à l'heure du pas>a|:'
du premier bord, il faudra ajouter le temps employé par le demi-
diamètre horizontal à passer au méridien. Ce temps, c'cst-à-dirr
ii
(i.*)" — JJ<)sino'
se trouve tout calculé dans la Connaissance (tes Temps, heure par
heure.
De même, au cercle mural ou au cercle méridien, il est bien
rare qu'on observe à la fois les deux bords; il n'y en a presque
jamais qu'un qui soit bien terminé. Supposons qu'on ail obsent
le bord inférieur : pour avoir la distance zénithale du centre, il
PHASES DE LA LUNE ET OBSERVATIONS MERIDIENNES.
291
faudra retrancher, de celle du bord, le demi-diamètre apparent {A| ,
et c'est pour la distance zénithale apparente z\ — ^A| qu'on cal-
culera la parallaxe p. Mais ici se présente une petite difficulté : les
éphémérides donnent^! et non ^A,. Or, pour calculer^ A,, il faut
recourir, dans ce cas, à la formule {Z,\ = z\ — ^)
sin^A, _ sin(;;~iA|)
sin|A sin(C,— AA, — jy)'
On lèverait cette difficulté en calculant p à l'aide de la distance
zénithale approchée du centre C — ^A; on en conclurait jA, et on
reprendrait le calcul de p avec cette nouvelle approximation.
Il vaut mieux éviter le calcul de-jAi et employer des formules
ensLCtes.
Soient ÎJ'j la distance zénithale Z'AB du bord inférieur (Jfg. l'îô),
Fig. 56.
k'ùïe
,-:'^'
2^ celle du ceqtre L vu du centre O de la Terre, et p' la différence
de ces deux angles. Menons par L la droite LA' parallèle à BA. Le
triangle LOA' donnera
sin// sin Ç',
OA 4- AA' ~~^*
Et comme
OA = p, AA^ — . ^, , -=siny, -:=sinP,
^' siiiÇ, p '' r
on aura
Par suite,
sin/?' = 2psinPsin|(Ç'i -l-x)coi(Ci — /.)•
en désignant par z\ la distance zénithale ordinaire du bord infé-
rieur. A Paris y = i5"5i', logp = 9,99916,^= ii'4>"î74-
iga LIVRE VI. — CHAPITRE XXX.
Corrections insimmentales.
Quand on obsen'e le passage du bord de la Lune à ud fil autre
(|uc celui du milieu du réticule^ Tinslant de ce passage est légère-
ment affecté de la parallaxe, parce que l'observation est faite hors
du méridien. Mais les fils latéraux étant répartis s^-métriquement
pur rapport au fil du milieu, ces petits eflets disparaissent de la
movonne. Si robser\'ation n'a pu être faite à tous les fils, par
suite des ondulations atmosphériques ou du passage d*un petit
nuage sur le disque de la Lune, il faut réduire au fil du milieu les
observations faites à chacun des fils latéraux, et tenir compte alors
do la parallaxe.
Soit, on pivjoction sur le plan deThorizon {fig. 5 7), le méridien
Fis. 3;.
I
>\ '."^^^rrS t* .'t : i ,'1 ^ ,it: i .1 :;.>,jT':-f iz^sltiiy r'dufit du
•ti Si ,vv.v>,." ^i- ,'> 1 *i ?viji-; :u. *t i»:ri îf Ia Lune touche
,v i S /.'f f»,'rv ti-*: r.. c f'i :'i :a r^Tr-sifEte par L|L le
,v^ ■ ,î\*- ,«. .1 .ai av. , il l'XTi : 1 I_ -»i !• --i: cv-rTe>p-'*ndanl
• l » » . i ,\»f ' -•«; .1 * ,'-f :';ii.- .l:^<•^»'i:fL^. liocU» horaire
4,.">.\i. \-i ,>^ 1 .X f! .'v'tir 1: .v'jcrv su n Tirre. il est ao
iiv^iiv iiv.*u»v»K i /*. a. ^ ,>î. .^ lunji.T rw Jî è<;o3 d* la Lune
PHASES DE LA LUNE ET OBSERVATIONS MÉRIDIENNES. agS
a réellement à franchir pour atteindre le fil du milieu ou le méri-
dien. Les triangles ZPL, ZPL< donnent
sinifl sinPZL sin^fli sinPZL,
sin:; sin3 sin^j sinO}
Par conséquent,
/n itii — : — :r ^ i
smô sm:?!
'■■•l — / .i^n j «-» \ -•_ 2» >
d'autre part,
l
(i5''— diR)sinoi
donc
Al = l ^ iiîii.
(i5 — (^ifl)sino sinx?!
Voici un exemple de ce genre de calculs, que je prends dans un
Mémoire d'un lieutenant de vaisseau, M. de Bernardières, observant
aux îles d'Hyères , par o'*i5°* de longitude et 46'' 53' de colalitude.
L'observation de la Lune, i" bord, du 17 mars 1878 a donné :
Il m 8
i"Til 10.56.28,0
>.• fil 56.42,0
3« fil 56.56,4
.;• fil 57. 10,6
j« fil »
La distance de ces fils, non pas au fil du milieu, mais à un fil
idéal coVrespondant à la moyenne était, en temps :
s
I*"^ fil -\- '27,412
2* fil -}- 13,781
3» fil -!- o,o38
4* fil - i3,744
5"
fil * — 27 , 5o6
La Connaissance des Temps donne
e)^^il?|2i_^i^:^o%5647(«), a = 85"3o', P = 6i',4,
DO, 104
(*) La Connaissance des Temps donne d]B< = 2', 2661 pour 1" de temps moyen 1
c'est-à-dire pour 00", 164 de temps sidéral.
294 LIVRE VI. — CHAPITEE XXX.
Le cercle de la lunelte méridienne donnait z^ = 39^16'. Oaen
déduit p = 39', z = 38^37'.
Pour avoir en temps les angles horaires de Lune répondant aoi
fils, il faut multiplier les nombres ci-dessus par le facteur
i5 sin^
logiS 1,17609
C*log 14,4353 8,84o58
CMogsino o,ooi34
logsin>5 9,79^36
CMogsin^i 0,19864
0,01201 0,01201 0,01201 o.oiaoi
log distance des fils i, 43794 1,13928 8,57978 i,i38ii
ï, 44995 i,i5i29 8,592 i,i5oi"i
28', 18 i4*,i7 -+-o%o4 — ii',iJ
Passages observés lo*'. 56". 28", 00 42% o 56', 4 ^7". 10*. <»
10. 56. 56, 18 56,17 56, 4{ 56.S6.4:
La moyenne de ces quatre observations ramenées au fîl idéal
moyen est io**56"56%32.
Il resterait à multiplier, par le même facteur
I sinû| sine
i5 — ôM sinS sine,
la somme des corrections instrumentales qu'il faudrait appliquer
à cette moyenne,*c'est-à-dire
a sine, -f- / cose, 4- c
sino
Quant au^ cercle mural, aucune correction nest nécessaire si
Tobservation a été faite au méridien. Mais si Ton a pointé sur le
bord de la Lune t secondes après le passage du centre au méridien,
il faudra appliquer ici deux corrections :
I® La réduction au méridien, d'après la formule de la page 1^3
du Volume :
2o6265'tang*^ifl8in2 8 — ...,
PHASES DE LA LUNE ET OBSERVATIONS MÉRIDIENNES. 29^
en ayant soin de calculer Al par la formule
a« La variation que o a subie dans l'intervalle ty par suite du mouve-
ment de la Lune en distance polaire. Elle a pour expression tdoy do
étant la variation pour i* prise dans la Connaissance des Temps
pour la date de l'observation.
Nous avons cru devoir insister sur ces corrections minutieuses,
parce que les observations de ce genre servent souvent à la
détermination des longitudes géographiques. Ce sont, en réalité, les
observations les plus délicates et les plus difficiles de toute TAstro-
nomie pratique.
296 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXI.
CHAPITRE XXXI.
ÉLÉMENTS DE L'ORBITE LUNAIRE. LEURS VARIATIONS.
Nous avons vu que les éléments des orbites planétaires, sauf les
grands axes, sont soumis à des variations séculaires extrêmement
petites, en sorte que les planètes décrivent autour du Soleil des
ellipses lentement variables de forme et de position. Après avoir
calculé la position d^une planète, suivant les lois de Kepler, en
employant les éléments actuels de son orbite, on ajoute à ses coor-
données les perturbations représentées par de petits termes pério-
diques. Ces petites variations séculaires et ces petites inégalilés
périodiques proviennent des attractions planétaires. Il en est de
même pour la Lune. Son grand axe et la durée de sa révolution
sont invariables ( * ) ; tous les autres éléments varient, mais avec une
rapidité étonnante. Les inégalités périodiques elles-mêmes sonl
démesurées en comparaison de celles des planètes. Enfin il n\ a
ici qu'un seul astre perturbateur, mais c'est le Soleil, dont la
puissante atlracliori explique, à elle seule, ces grandes déviation*
de la marche purement elliptique.
Commençons par les deux éléments invariables, le demi-grand
axe ou la distance movennc de la Lune à la Terre, et la durre de
la révolution sidérale.
Durée de la révolution.
Les coordonnées rqualoriales ayant clé transformées en coor-
données éclipliqnes, on compare des longitudes séparées par l«*
])his grand intervalle possible, après les avoir corrigées des in'*ga-
lilés périodi(|nes, ou bien en a>ant soin de choisir des obsor>a-
(') Sauf une minime variation séculaire dont nous nous occuperons plu> loin.
ÉLÉilENTS DE L'oRBITE LUNAIRE. 297
lions faites à deux époques où le Soleil avait la même position
relativement à la Terre, à la Lune et au périgée de Torbite lunaire,
en sorte que les inégalités dues à l'action de cet astre affectent
les deux longitudes de la même manière. On en déduit la durée
de la révolution tropique (par rapport au point y)
27i,32i5822,
puis la révolution sidérale
27i, 32 16608.
Mesure directe de la parallaxe.
La détermination du demi-grand axe a se confond avec celle
(p)
de la parallaxe horizontale équatoriale dont le sinus est — — ou
simplement — > en prenant ici pour unité le rayon (p) deTéqualeur
terrestre.
On y applique le procédé que nous avons décrit pour Mars. Ici
le triangle AMB de la page 209 n'est plus désavantageux, car, en
choisissant convenablement les stations, on peut porter à près de 90'
l'angle au sommet. L'Académie chargea, au dernier siècle, Lalandc
et Lacaille de cette mesure. Le premier alla se poster à Berlin ; le
second, au Cap de Bonne-Espérance. Leurs observations ont donné
pour la parallaxe de la Lune, dans sa distance moyenne à la Terre,
57'3%2o.
En combinant des observations beaucoup plus récentes, faites en
Angleterre et à TObservatoire que les Anglais ont établi au Cap,
non loin de la station choisie par Lacaille, M. Henderson a trouvé
** t n
07 2 ,20.
Enfin, par des observations encore plus récentes aux deux mêmes
stations, M. Breen a obtenu
57'3%i6.
'JtgS LIVRE VI. — CHAPITRE XXXI.
J'ai réduit ces trois déterminations à la valeur actuelle de Tapla-
lissement jj-^ ; la moyenne est
57'2%85.
Détermination théorique de cette constante.
Si la Terre avait un autre satellite dont les éléments fussent par-
faitement connus, on en déduirait le demi-grand axe a de rorbile
lunaire par la troisième loi de Kepler. Or tout corps qui tombe sur
notre globe, tout pendule qui oscille à sa surface peut être considërt
comme un satellite de la Terre et conduire au résultat cherché.
Imaginons un satellite circulant autour de la Terre dans un
cercle de rayon ( p ) ; soit T' la durée de sa révolution en secondes
de temps moyen; nous aurons, en désignant par m' la masse deb
Terre et en prenant (p) pour unité,
De même pour la Lune, en désignant par m sa masse, par a et T
son demi-grand axe et la durée de sa révolution,
Mais nous avons vu (p. i48) que la durée de la révolution du
i*"' satellite a pour expression
2
v'^="\/5;'
(G) rlaut ratlraclion terrestre sur un point extérieur, à la di<-
tance (p) prise pour unité, et exprimée en parties de celle même
unité.
(•) Ce facteur Dumérique a pour but de tenir compte de la partie non pcnu-
diquc de Taction perturbatrice du Soleil. Celle-ci a pour effet d'affaiblir de y|: 1**1-
traction de la Terre sur la Lune. Voir le Tome III de la Mécanique céleste, p. i**-
Le facteur employé dans cette page est un peu différent; en l'adopUnt, on lro«-
verait 57'2'', 4f »" *««" de 57'2'',6C.
ÉLÉMENTS DE l'ORBITE LUNAIRE. '299
La première relation se réduit (Jonc à
/(/n') = (0).
En la combinant avec la seconde, on trouve
_ s/(G)T» 357
^~y 47:» 358
m
» + -,)•
I
e
Nous verrons plus loin que la masse de la Lune est -^ de cell
^ ^ 80,72
de la Terre. Voici le calcul de « ou de P = arc sin - •
a
T 27i,32i66i logG.... 0,9911.(19
logT 1,4365071 log(p).. 6, 8047113
log864oo.. 4,9365i37 log(G).. 4,i8643o6— lo
CMogair.. 9^2018201 ^i^gL.. ,,,,496818
• 'p ait
'^&J^ 5,5748409 35
ïogo— ^^^ 0,0053472
80,72
loga'... 6,3402448
loga 1,7800816 log - ... 8,2199184
a 60,26728 P 57' 2', 66
C'est là la constante de la parallaxe que nous adopterons ; elle ne
diffère que de o",i9 de la parallaxe directement mesurée. Elle est
certainement connue à moins d^une demi-seconde près, ce qui
porte son erreur relative à moins de ~yï ^^ TôVô* Pour exprimer
la distance movenne de la Lune à la Terre en mètres ou en lieues
de 4ooo"> il suffit de multiplier 60, 26728 parla valeur du rayon
équatorial de la Terre en mètres ou en lieues. On trouve ainsi
96102 lieues avec une incertitude de di i4 lieues.
Position da plan de Torbite.
Deux observations convenablement choisies, dans le cours d'une
révolution, donneraient e et N par la formule
sin(L — N) = coticot 3;
3oO LIVRE VI. — CHAPITRE XXXI.
mais, dès les premiers pas, on est arrêté par un phénomène bien
remarquable. L'inclinaison i varie fort peu, tandis que la longitude
N du nœud change rapidement, même d'un jour à l'autre. Voici»
pour fixer les idées, une série de positions de la Lune, non pas ob-
servées, mais calculées d'après les Tables de Hansen, et tirées delà
Connaissance des Temps pour 1882. Elles nous permettront de
suivre ces phénomènes avec tout autant de sûreté que si noos
opérions sur les obser\ations elles-mêmes.
Coordonnées de la Lune au commencement de i88'ji.
longitude latitude Parallaxe
Dates. L. 90" — ?. arr*iu-«
o # Or r •
Janvier i 67.2:1 — o. 8 55.58
•2 79.54 — I. 0 55. 28
3 92.16 — 2. 4 55. 3
4 104. io — 3. 2 54. 4^
5 116.35 — 3.5i 5|.24
6 128.35 --4-29 54.10
7 140.29 - 4-55 5}. 2
8 i52.2i — 5. 8 54- •-*
9 164.12 — 5. 8 54. 8
10 176. 7 — 4.54 5{.24
11 188. 9 — 4.28 5Î.49
12 200.23 — 3.49 55.24
i3 212.52 — 2.58 56. 9
14 225. 1 3 -- 1.58 ^7. >
I 5 238 .59 — o . 49 57 . 58
16 252. i3 - 0.2 5 58.56
17 2r>(> .56 - - 1 . 40 59 . 5o
18 281.35 - - 2.5o 61). 34
I *) 29t> .35 3 . 5 1 61.3
ELEMENTS DE L'oRBITB LUNAIRE. 3oi
Coordonnées de la Lune au commencement de 1882.
(Suite.)
Longitude Latitude Parallaxe
Dates. L. 90" — p. arc sio -
r
Janvier 20 3ii.47 -l- 4*35 61.14
21 327. o -I- 5. o Ci. 5
22 342. 4 -+- 5. 5 60.39
23 356.49 -f- 4.48 60.0
2{ II. II ---4.14 59.12
25 25.6 -r- 3.26 58.21
26 38.36 -4-2.27 57.31
27 5i.4i 4-1.22 56.44
28 64.27 H- o.i5 56. 3
29 76.57 — 0.52 55.28
3o 89.14 — 1.55 54.59
3i 101.22 — 2.5i 54.36
Février i ii3.24 — 3. 40 54.19
2 125.22 — 4»i8 54. 6
3 137.16 — 4*45 53.59
4 i49- 9 — 4*59 53.56
5 161. 2 — 5. o 53.59
Jn coup d'oeil sufGt pour voir que l'inclinaison est voisine de
Elle ne varie, dans le courant de l'année, que de 4°59' à 5® 18';
valeur moyenne est de 5**8'47''» Q^^^^t ^" nœud ascendant, on
trouvera la longitude par une simple interpolation entre le
et le 16 janvier. On aura celle du nœud descendant en opérant
même entre le i*^' et le 2, ou entre le 28 et le 29. Si l'on ajoute à
dernières 180®, on obtiendra deux nouvelles déterminations
N:
N = 248<»5o' 1" janvier
2/48. o i5-i6,
247.15 28-29.
^n calculant N à diverses époqujs par la formule précédente, on
ra que le nœud est tantôt direct, tantôt rétrograde, mais qu'en
3oa LIVRE VI. — CHAPITRE XXXI.
somme, au bout de chaque mois, le mouvement rétrograde remporl*»
toujours. Il est facile d^en déterminer la vitesse moyenne en compa-
rant des valeurs de N à des dates très éloignées. On trouve ainsi
Moven mouvement diurne du Qz=z — S'io'.ôS.
Longitude moyenne du nœud à la date t.
No — i90%63^
No étant la longitude moyenne à Tépoque ^ = o. La durée de la
révolution rétrograde du nœud est de i8*"%6.
Il est utile d'évaluer par rapport à ce point la révolution de Ij
Lune. Son moyen mouvement -=- est égal à
i3<»io'34%9,
d*oii la vitesse relative au nœud
i3°i3'45%53.
La révolution synodique cherchée ou révolution draconitiquc
est donc de 27^ , 2 1 229. Ce nom singulier vient de ce que le signe du
nœud ascendant, que nous avons remplacé sur nos figures par unÛ,
était et est encore pour les astronomes le symbole d'un dragon
tortueux Q^, C'est le dragon céleste qui, d'après de bien vieilles tra-
ditions, guette la Lune à son passage dans l'écliptique et produit le^
éclipses.
L'orbite de la Lune, ou du moins sa perspective sur la voûte céleste,
forme une suite de spires enchevêtrées qui occupent un espace do 5"
au nord et de 5° au sud de l'écliptique, ce qui donne au zodiaque
(zone parcourue par les planètes, suivant les anciens) une lar-
geur de 10** (*). Les conséquences de ce mouvement du plan de
l'orbite lunaire, dont l'inclinaison reste à peu près constante pen-
dant que sa trace fait le lour du ciel en 18 ans, sont des plus re-
marquables.
(*) Les forlcs latitudes gcoccniriques de Vénus ont même obligé les aociei'^
donner au zodiaque une largeur de 17 à 18*.
ÉLÉMENTS DE l'oRBITE LUNAIRE. 3o3
Action perturbatrice du Soleil.
La figure L représente Torbite lunaire ÛDLD', . . et sa projection
sur le plan de récHplique. La et T rf sont, en grandeur et en direc-
tion, les attractions du Soleil S sur la Lune et la Terre. Décomposons
la force La suivant la droite LT, et suivant hb parallèle à TS. La
composante Le s'ajoute à la force centrale qui sollicite la Lune
Fi p. 58.
/^
^
■'I C V _, . - - '" ' " -^
ti
dans son orbite; elle n'a aucune action sur la position de ce plan.
L'autre composante La ne troublerait pas les mouvements de L par
rapport à T, si L 6 et Trf étaient égales. La force perturbatrice qui
tend à faire sortir la Lune du plan de son orbite actuelle et, par
suite, à déplacer ce plan est donc Le — Trf. Dans une partie de
l'orbite la force perturbatrice est dirigée dans le sens ÏS ; dans
l'autre, elle est de sens opposé, parce que la différence L/> — IW
devient négative. Il y a deux points morts D et D', j/oints où la
Lune, en quadrature, est aussi éloignée du Soleil que la Terre.
Cette force varie évidemment comme le sinus de Tangle LTD.
Déplacement imprimé à la ligne des nœuds.
Considérons une région voisine du nœud et projetons l'orb.to»
lunaire et l'écliptique sur un plan perpendiculaire à leur intersec-
tion {Jig- 59). La Lune y est figurée à trois instants différents en L,
L', \J' . Soit D l'un des points morts, et admettons que le Soleil 5e
trouve à droite. A.u-dessus de D, la force perturbatrice sera dirigée
vers la droite; au-dessous de D, elle sera dirigée vers la gauche. En
L', la résultante de la vitesse propre de la Lune et de celle qui lui est
imprimée par cette force sera dirigée suivant L'û'. L't)' sera donc tan-
3o( LIVRE VI. — CHAPITRE XXXI.
gente à Torbitc instantanée décrite alors par la Lune, et TQ! sera
la trace de ce plan sur Fécliptique, c'est-à-dire la nouvelle ligue
des nœuds. On voit que celle-ci aura rétrogradé de TÛen Tff. Il
Fig. 59.
....-jz^^-"^^^
en sera de même en \J"^ lorsque la Lune aura franchi l'arc ûD.
Mais entre (let D en L'^ ou bien, dans la région opposée, entre Û
et D', la même construction donne un mouvement direct pour la
ligne des nœuds. Il est facile de voir que la vitesse du nœud, al-
ternativement direct et rétrograde, produira, au bout d'une révolu-
tion, un déplacement rétrograde dont nous avons évalué plus haut la
vitesse moyenne, c'est-à-dire la partie constante. Newton a fait voir
que la partie périodique était proportionnelle au produit des sinus
des trois distances angulaires de la Lune au point D, de la Lune au
nœud, et du point D au Soleil. En intégrant à sa manière l'expres-
sion algébrique de la vitesse, il a trouvé, pour la longitude du
nœud,
iN = No-i-v/-l-Ksln2[(N)— ©],
No étant la longitude moyenne du nœud à l'époque / = o, v !?on
moyen mouvemcnl diurne, (N) sa longitude moyenne à l'époque/,
c'est-à-dire Nq 4- v^. Ces coefficients v et K ont pour valeurs, en
T
fonction du rapport =^= x(*),
yt 3. vî _J ? -vS t S^ 6_ ^J i_
' i ^ ^^ 3 â • • • » **■ u '^ 16 "^ ....
Ce sont les premiers termes de séries rapidement convergentes.
o— 3'ii
Il est facile de calculer ces coefficients en faisant x = "l' .-2
(*) T cl T', rcvolulions sidérales de la Lune cl de la Terre.
ÉLÉMENTS DE L'oRBITE LUNAIRE. 3o5
(environ ■—). On les réduira en secondes en les multipliant
par ao6a65'^, et on aura
N = No--(3'i2'')/ + (i025'35'')sin2[(N)— O],
formule qui représente parfaitement les observations, bien qu^elle
ne leur emprunte rien que la valeur de la constante Nq introduite
par rintégration.
Inclinaison de rorbite lunaire.
L'inclinaison de Torbite varie également, mais non d'une ma-
nière progressive. Il y a ici une compensation qui revient à chaque
révolution. La figure précédente fait voir, en effet, que si Tincli-
naison en U tend à augmenter d'un petit angle correspondant
àÛL'Û', l'effet contraire se produit dès que la Lune a franchi
le point D, car en L" l'inclinaison diminue d'un petit angle cor-
respondant à ÛL'"Û'''. Ces deux effets contraires se produisent et
se compensent à chaque révolution. Ainsi l'inclinaison i oscille
simplement et fort peu autour d'une valeur constante ({).
Newton a trouvé
tange = tang(i) + |îctang(f)cos2[(N) — O],
ce qui s'accordait bien avec les observations de Tycho-Brahé. Ce
célèbre astronome, à qui l'on doit la découverte de ces inégalités
périodiques du nœud et de l'inclinaison, en donnait môme une
figuration géométrique saisissante. L'argument a [(N) — 0]a pour
période la moitié de la révolution synodique du nœud dont voici
le calcul :
Vitesse moyenne du Q "^ ^9- ^'» '9
Vitesse moyenne du nœud — 3.io,63
Vitesse relative i" 2.18,82
d'où révolution synodique du nœud = 346^,6195, dont la moitié est
de 173 jours. La rétrogradation moyenne du nœud étant repré-
sentée par un mouvement conique uniforme de l'axe du plan de
II. 20
3o6 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXI.
l'orbite lunaire autour de l'axe de récliptique, sous un angle con-
stant ( i), imaginez que le premier axe soit une ligne fictive autourde
laquelle Taxe du plan actuel tourne coniquement en i ^3 jours, sous
un angle de |xtang(«) ou de 9' : la combinaison de ces dcoi
rotations coniques représentera, à tout instant, la direction réelle
de Taxe du plan de Torbitc lunaire, et par suite les variations do
nœud et de Tinclinaison.
La théorie mécanique de ces mouvements et celle d*une iné-
galité lunaire dont on parlera plus loin ont été données parNewtoD,
et Ton a vu qu'il a déduit de la première, par une analogie plau-
sible, la théorie de la précession et des termes à courte période de
la nutation. Cet ensemble de recherches, d'un genre aussi profond
que nouveau, a jeté une vive lumière sur de grands problèmes
dont on n'avait môme pas entrevu la connexitc depuis 2000 ans.
Si ces résultats frappants de la doctrine de l'attraction n'ont pas
été appréciés par les contemporains de Newton, c'est que l'analyse
entièrement nouvelle qu'il y a appliquée était masquée par les
procédés d'exposition synthétique auxquels il se croyait tenu de
s'astreindre, par respect pour les grands géomètres de Tantiquité.
Hypothèse géologique de la chaleur centrale.
Cependant son explication de la précession n'est pas de naluir
à donner une idée complètement juste du phénomène. Aprc5
avoir isolé par la pensée la protubérance équatoriale, \e\*ton
montre que la rétrogradation de ses nœuds s'opérerait de la même
manière, que les matériaux fussent discontinus, comme une série d<*
satellites, ou à l'état fluide, ou même formant un tout solidifié el
résistant. Dès lors cet anneau, relié à la sphère interne, doit agir
sur elle langenliellcment et communiquer à sa masse énorme b
quantité de mouvement dont Taniment les faibles actions |)ertttr-
batrices de la Lune et du Soleil. En suivant cet ordre d'idée>.
quelques géomètres se sont dit que cette communication de mou-
vements, de la masse rigide de l'anneau à celle de la sphère intérieure,
nese ferait pas sans frottements ou déformations, si celle-ci était
à l'état de fluidité incandescente ; que, dans cette hypothèse, la
précession observée devrait difl'érer de la précession calculée. Or,
ÉLÉMENTS DE l'oRBITE LUNAIRE. 3o7
3inme il y a accord entre la théorie et l'observation, il faut en
inclure, suivant eux, que la masse intérieure possède une rigidité
Dmplète, que le refroidissement s'y est opéré depuis longtemps et,
nalement, que l'hypothèse des géologues sur la chaleur centrale
si fausse.
Mais il y a là une erreur de fait. La Terre n'est pas homogène,
omme le supposait Newton. Elle se compose de couches de
ensités croissant vers l'intérieur, et ces couches ont chacune leur
platissement particulier. L'action du Soleil et de la Lune ne
exerce donc pas sur une masse rigide extérieure au noyau sphé-
ique, mais sur chacune des couches dont la Terre se compose.
•es matériaux à entraîner ne se distinguent pas de ceux qui sont
lUs; ils n'en sont pas séparés par un bras de levier considérable;
lais, à cause de leur mélange et de l'énorme compression qu'ils
iibissent, les choses se passent comme si l'action perturbatrice
'exerçait sur la masse entière, affaiblie seulement dans un cer-
lin rapport.
Variation du périgée et de rexcentricité.
Nous avons maintenant tout ce qu'il faut pour passer, des coor-
onnées écliptiques, aux coordonnées dans l'orbite par la formule
lang(L— N)=i:cositang(-^— N),
u au moyen de la série connue qui la remplace. En comparant
es longitudes à leur expression théorique (pour le mouvement
lliptique)
4^= ^ + 71/ -h Al sin (^0 + 'î^ — w) -+- . . . ,
n déterminerait les trois éléments 4;^o> ^j w« Mais, dès les premiers
as, on rencontre un phénomène bien remarquable. La direction
u grand axe, donnée par la longitude u du périgée, change con-
nuellement d'un jour à l'autre, comme le nœud, mais plus vite
Dcorequelenœud. Le tableau de la page 3oo montre, sans calcul,
ue l'apogée, correspondant au minimum de -> tombe le 7 janvier
►ar 146** de longitude. On le retrouve le 4 février par i49°> tandis
[ue le périgée, qui devrait être à 180° de là, tombe le ao janvier
3o8
LIVRE VI. — CHAPITRE XXXI.
par 3i2°. Pour alténuer reflet de ces inégalités considérables, on
comparera des observations très distantes et on constatera qoe le
périgée fait le tour du ciel, en sens direct, dans une période de Dcof
ans, et que son moyen mouvement diurne est de -i- 6'4<>"',92.Cc$l
un eflet de la force perturbatrice du Soleil estimée, dans le plu
même ({e Torbite, suivant la tangente à Torbite et le rayon vecleor.
On se rend compte facilement de l' eflet de la composante tangeo-
tielle(/î^. 60). Soient T la Terre à l'un des foyers de Tellipsc
Fig. 60.
lunaire, F' le second foyer, PTA la direction du grand axe. Lia
Lune, L5 la force perturbatrice appliquée en L parallèlement à
TS, r et r^ les rayons vecteurs. Si l'on désigne par aa le grand axe,
on aura r -f- /•'= 2 a. La composante tangenlielle L^ augmente ici
la vitesse V de l'aslre; elle ne modifie ni r, ni la force centrale ;i.
et, comme on a toujours
/• a
en dlfl'érenliant, on aura i\ d\ = ^da; ainsi a et, par suite, r
augmentent en même temps que V. Si r' = LF' augmente, le second
foyer F' ira se placer en/'; par conséquent, le grand axe se dépla-
cera, dans le sens direct, de l'angle ATa, et rexcentricilé aug-
mentera. Des eflets analogues se produiront sur la partie DAD' àt
Torbile; ils seront inverses sur l'autre partie.
La composante radiale a un rôle non moins efficace, mais plus
compliqué. La question ne saurait être traitée complètement qur
parTanalyse. On trouve alors que le mouvement du périgée présente
une inégalité de la forme asina[(Tn) — Q] et qu'à ces fluctua-
ÉLÉMENTS DE l'oRBITE LUNAIRE. Sog
lions répond une variation dans rexcentrîcîté qui s'exprime
par aecos2[(m) — ©].
Ainsi on peut appliquer à l'étude des mouvements de la Lune
les formules du mouvement elliptique, à la condition de prendre
pour T7, à la date t,
Wo-h 6' 40", 92^ — asin2[(Tïy) — Q]»
et pour excentricité
e-+- aecos2[(Tïj) — Q],
C'est ainsi que Newton a présenté les choses, mais, lorsqu'il a
voulu calculer théoriquement la principale constante de la pre-
mière inégalité, ou, ce qui revient au même, le mouvement du
périgée pendant une révolution de la Lune, il a trouvé i°3o' ^
lieu de 3°3' (6' par jour) que donnent les observations. Longtemps
après lui les géomètres les plus éminents, Euler, Clairautetd'Alem-
berl, essayèrent en vain de résoudre ce point faible de la théorie de
Tattraction. Clairant en vint même, en désespoir de cause, à pro-
poser à TAcadémie de modifier la loi de l'attraction et d'y ajouter
un petit terme proportionnel à l'inverse de la quatrième puissance
de la distance. Buffon protesta hautement contre cette complication,
qu'il jugeait incompatible avec la simplicité des lois primordiales
de la nature. Clairaut vit enfin que l'erreur de Newton provenait
de ce que le coefficient a se compose d'une série peu convergente
de termes qui ne peuvent être obtenus que par des intégrations
successives. Newton s'était arrêté au premier, qui ne représenle
guère que la moitié de la valeur définitive. Clairaut rétablit l'accord
entre la théorie et l'observation, et fit ainsi disparaître l'objection
la plus grave qu'on pût faire à la nouvelle théorie.
Le mouvement moyen diurne du périgée étant de -|- 6'4o'»92
parjour, on en conclut la révolution de laLune par rapport à ce point
mobile :
Révolution anomalistique = 27J,554Goo.
3lO LIVRE VI. — CHAPITRE XXXI.
CHAPITRE XXXII.
PRLN CIPALES LNÉGALITÉS. TABLES DE LA LUNE.
Ëvection.
Les anciens ont connu les singulières variations que nous venons
d'indiquer. Bouillaud leur a donné le nom di élection y pourexprimcr
qu'elles faisaient sortir la Lune de la position que lui assignaient !«
lois du mouvement excentrique. Pour Ptoléraée, la longitude avait
pour expression
long. nioy. -h équation du centre -+- éverlion,
ou bien, avec nos notations,
long. moy. H- 5°i'sin(C — w) -h2<»32'sin((C — 0)cos(ot — 0).
A ujourd'hui on écrirait (Tables de Damoiseau, p. 3i5)
long. mo}. H-G''i7'sin((C — nj)-i- l'^iG' sin [2(C — Q) — (C — n].
i'ormule qui donnerait le même résultat que les prescriptions de
^e^vton (p. 3o()). Il est bien aisé de s'assurer, en développant \t
second sinus, qu'elle est identique à celle de Ptolémée. 1^ con-
stante f)''!' que ce grand astronome assignait à réquation du cenirr
répond effectivement à la somme de nos deux termes aux s\i\'
gies observées à 90^ du périgée ou de Tapogée. Ptolémée ra\aii
calculée par trois éclipses de Lune observées, à Bab\lone.
700 ans avant J.-C. et par trois autres éclipses observées par lui-
même à Alexandrie. Delambre ayant voulu vérifier ce calcul |»ar
les formules modernes a retrouvé le même nombre à i' pK'S (' •
(• ) On ne saurait assez admirer rcflbrl de génie qui a conduit IHoIcmcf * \*
PHINCIPALES INÉGALITÉS. TABLES DE LA LUNE. 3ll
Variation, équation annuelle.
Nous ne ferons que mentionner Ja variation, inégalité qui mé-
rite bien son nom, car elle change tous les trois ou quatre jours.
Nulle dans les syzygies, c'est-à-dire quand la Lune est en conjonc-
tion ou en opposition, elle est nulle encore dans les quadratures et
atteint ses maxima dans les octants. Ainsi sa période est la moitié
de la révolution synodique de la Lune, et cette inégalité a pour
expression
39'sin2(C — O).
EUle a été découverte en 1600 par Tycho-Brahé, mais il parait que
les astronomes arabes l'avaient déjà notée.
\^ équation annuelle^ découverte aussi par Tycho-Brahé, offre
plus d'intérêt. La distance de la Terre au Soleil est variable; la
force perturbatrice du Soleil est au maximum lorsque la Terre est à
son périhélie, au minimum lorsqu'elle est aphélie. Cette force
ayant poureffet général d'écarter un peu la Lune de la Terre et d'aug-
menter le grand axe de son orbite, la durée de la révolution doit
varier, conformément à la troisième loi de Kepler, dans l'inter-
valle d'un an et repasser l'année suivante par les mêmes valeurs.
Nous y reviendrons un peu plus loin, à l'occasion de l'accélération
séculaire du moyen mouvement de la Lune. L'argument de cette
inégalité est évidemment l'anomalie du Soleil; sa formule est
1 i'sin(0 — ^)'
Équation séculaire du moyen mouvement.
Enfin, pour terminer le chapitre des inégalités dont la décou-
verte est due à l'observation, indépendamment de la théorie, men-
découverte de cette loi compliquée. Ptolémée est môme parvenu à la concilier avec
la règle de n'admettre pour les astres que des mouvements circulaires et uniformes,
en faisant marcher la Lune sur un épicycle dont le centre se mouvait sur l'excen-
trique pris pour cercle déférent. A la vérité, si les anciens avaient fait un peu at-
tention aux diamètres apparents de la Lune, ils auraient vu que cette hypothèse, qui
exige une variation dans ces diamètres du simple au double, est inadmissible.
3l2 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXII.
tionnons Taccélération séculaire du moyen mouvement de la LonCf
que Halley a découverte en comparant les observations de son temps
avec des éclipses très anciennement observées par les Arabes et les
Grecs. Supposons que les anciennes éclipses nous conduisent à
assigner à la Lune, il y ajuste 2000 ans, une longitude moyenne A
(longitude dépouillée de ses inégalités), mille ans plus tard, une
longitude B, et aujourd'hui une longitude G. Pour en tirer le moyen
mouvement annuel, on aura les équations
^o=A, ^-f-iooo/i = B, ^0-4- 2000/1 = G.
Halley remarqua que ces équations ne sont pas compatibles, que
donne pour n une valeur plus faible que En introdm-
1000 * ri 1000
sant un terme séculaire mt-, les équations deviennent
4^= A, ^o-f* looo/i-h ioooooo/w=B, ^0-+-2ooo/i-t-4oooooom=iC;
on en tire
G — 3B4-A -
m =: =i o ,001.
2000000
G'est l'accélération annuelle de la Lune. Elle se réduit à — Vr *
chaque révolution mensuelle. Gette infinitésimale accélération n'en
produit pas moins o",ooi x 10000 = 10" par siècle, 40*^ au bout de
deux siècles, 90" au bout de trois, et 4000" ou plus dei°en ^îoooanç.
Or, quand il s'agit d'éclîpscs observées, même dans les temps le*
plus reculés, il est impossible de s'y méprendre, car quelque*
minutes de plus ou de moins sur la longitude de la Lune rendraient
réclipse totale possible ou impossible dans les régions où les histo-
riens en font montion (p. 33 1). On ne saurait donc méconnaître
la rc'alité de cette accélération séculaire.
Laplace a\ant établi, comme une conséquence inévitable de la
loi d'attraction, l'invariabilité des grands axes et des moyens mou-
vements dans tout le système solaire, du moins lorsqu'on ne tient
compte que des attractions mutuelles des corps qui^ le composent,
il semblait qu'il fallut conclure ici à l'intervention de forces élran-
j;ères au système, telle que la présence d'un milieu très rare dont
la résistance, en diminuant la vitesse linéaire, rapprocherait la Lune
*lr la Terre et produirait l'accélération du moven mouvement.
PRINCIPALES INÉGALITÉS. TABLES DE LA LUNE. 3l3
Mais ce milieu ne saurait agir sur la Lune sans faire sentir
aussi son action sur les planètes et leurs satellites. Or on ne
trouve nulle autre part trace de la moindre accélération. Le pro-
blème devait donc recevoir une autre solution. Laplace remarqua
que la variation produit précisément une variation dans la durée
de la révolution, périodique à la vérité, due à ce que la force per-
turbatrice du Soleil varie avec sa distance à la Terre, c'est-à-dire du
périhélie à Taphélie. Si donc cette distance augmentait peu à peu,
la Lune, de moins en moins écartée delaTerreparTactiondu Soleil,
se rapprocherait insensiblement de notre globe, et la révolution
mensuelle irait en s'accélérant. La distance moyenne a' de la
Terre au Soleil est invariable, mais Texcentricité e' de son orbite
subit une diminution séculaire. Or Laplace a découvert, dans
l'expression théorique de la longitude moyenne de la Lune, un
terme séculaire qui dépend précisément de cet élément, à savoir
La théorie du Soleil donne (p. iZi)
e'=: e\ — 0,00000042/1 ty
tétant exprimé en années. Par conséquent,
e'^ — e^ nz — 0,0000008/48 e^ t.
En intégrant, on trouve qu'il faut ajoutera la longitude moyenne
de la Lune
« « 0/0 / • 1206000'' , «^
|x' X 0,000000848 eQfit^y avec n =: — cl c^ — 0,0168,
ou, en prenant le siècle pour unité, H- io'',3/î^-. C'est justement le
résultat des observations.
Cependant il est arrivé ici, comme pour la progression du périgée,
que le coefficient ^ x- n'est que le premier terme d'une série fort peu
convergente dont la suite réduit beaucoup l'importance du premier.
La série complétée parM. Adams ne donne plus que 5'', 7 pour l'accé-
lération séculaire de la Lune. L'excès ^",6 de l'effet observé sur
reflet calculé n'a été rattaché par personne à la résistance d'un
3l4 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXII.
milieu, car on n'en retrouve nulle part ailleurs la moindre tracc{'),
mais à un ralentissement excessivement faible de la rotation ter-
restre, que M. Delaunay attribue aux marées.
Tables de la Lune exclusivement basées sur la théorie
de rattraction.
Telles sont les inégalités que les astronomes avaient démêlées
dans une longue série d'obser>'ations de la Lune. Lorsque Newton
eut réussi à les rattacher à sa théorie, il pensa que cette théorie,
plus développée, fournirait bien d'autres inégalités qui avaient
échappé aux observateurs. Laplace réalisa complètement cel
aperçu en donnant l'expression analytique de toutes les inéga-
lités sensibles, en fonction des éléments des orbites de la Lune cl
du Soleil. Ces éléments sont, comme on l'a vu, pour la théorie,
des constantes arbitraires qu'on ne saurait déterminer autrement
que par l'observation; mais, une fois ces valeurs obtenues, celles de
toutes les inégalités de la Lune en résultent sans qu'il soit néces-
saire de recourir aux observations. Avant Laplace, les Tables de
la Lune étaient entachées d'empirisme, en ce sons qu'on détermi-
nait, par les observations, les coefficients des inégalités sans se
soucier de les mettre d'accord avec la théorie. M. Damoiseau, de
l'Académie des Sciences, est le premier et jusqu'ici le seul qui ait
produit des Tables exclusivement basées sur la théorie. Le succè'i
le plus complet a couronné ce grand effort; voici un bref aperçu
de ses Tables.
Origine du temps, \" janvier 1801 à minuit, temps moyen de Paris.
Longitude moyenne iii.36.4^jB -4-(3o7".52'.4i'j6)i
Anomalie moyenne 205.29.58,4 ( mombre da »ièci« drpiu i««
Longitude moyenne du nœud 1 3. 54. 54, 2
Inclinaison 5. 8.59,8
Excentricité en secv>ndes.. . . G. 17. 19,7
(') Pour bien faire saisir la portée de cette remarque, il faut insister sur ce que
cette accélération du mouvement moyen de la Lune est accompagnée d'ane iné-
galité séculaire dans ceux du périhélie et des nœuds dont Laplace a rendu romplf
en les rattachant à la même cause, la diminution séculaire de rcxccnlricile de
l'orbite terrestre. Si l'on essayait d'attribuer la première à toute autre cause, telle
que la résistance de l'éthcr ou la propagation successive de la gravite, il serait
impossible d'étendre cette explication aux variations des deux autres clèinest^.
car il ne ft'co produirait aucune dans l'uDC ou l'autre de ces hypothèses.
PRINCIPALES INÉGALITÉS. TABLES DE LA LUNE. 3l'J
Telles sont les valeurs des éléments fournies par l'observation. La
théorie donne :
Equation séculaire delà longitude moyenne.. 10,87861* -4-0, 01 6e'
Equation de l'anomalie moyenne SojoSgai* -f-o,073ï'
Equation du nœud 6,6690** ^-0,0101*
Mouvement séculaire de l'anomalie moyenne 198*. 49'. 55*, o
Mouvement séculaire du nœud 1 34 . 9 . 57 , 5
Avec ces données, on est en état de calculer, pour une date
quelconque 1801 + ^, la longitude moyenne «, l'anomalie
moyennes, la longitude moyenne C — longitude moyenne Q = x,
l'anomalie moyenne Q = z^ enfin j^ = j: — longitude moyenne
du nœud ascendant. On a, pour la longitude vraie (sans passer
par celle de Torbite et la réduction à l'écliptique) (') :
Equation du centre. ... w -4- 6. 17. 19,7 sin x -+- 12.48,8 sin a a: -h. . .
Evection H- 1 .i6.28,2sin (2*: — a?)-t- 3i*,o sin2(2T — x)
Equation parallactiquc. — 2. 2,1 sin t
Variation -H 39.29,7 sin 2 t. . .
Equation annuelle — ii.i3,o sin ^ -h. . .
— 6.5i ,8 sin 2X
H- 17,5 sin (a: — t) — 3'. 3 1', 9 sin 2(0: — t)
-h 3.12,2 8111(2X^-0-)
•+- 3.26,7 sin (27 — z — x)
1,1 sin ( 5 — ô )
0,7 sin( 5 — V)
La parallaxe dont la constante elle-même a été déterminée par
la théorie a pour valeur
Constante 57. 0,9
Équation du centre -+- 3. 6,5 cosa: -1- io',2 cos 2ar -f- o',6 cos3a:
-+- 34,4 C0S(2T — x)
— I ,0 COST
-î- 28,5 COS2T
— 0,3 COSZ
~\- 3,1 C0S(2T — x)
H- I,4COS(2T — Z — JT),
(*) La somme totale des quatre-vingts inégalités prises avec le signe + est
de 8«57'29',8.
3l6 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXII.
La latitude go** — ^ a pour expression, en notant d'un accent
les symboles précédents, pour avertir qu'il faut leur ajouter la
somme des équations de longitude, c'est-à-dire que ce sont des
longitudes ou des anomalies vraies :
5**. 8. 59,8 sin y -h 12', 6 sin iy
-4- 8.|7,8sin(9. t'— /)
-h 14, 4 sin (/ — y)
-4- !25,8 sin (2j:' — f)
-4- i5,6sin (a:' H-y — a-:')
-f- 1,0 sin (2t' h- y) -t- o',8 sin (3y — a-r')— o'',7 sin {y' — t').
M. Delaunay, poussant encore plus loin le développement ana-
lytique des inégalités lunaires, en a calculé i4oo. Le Bureau des
Longitudes fait en ce moment construire de nouvelles Tables delà
Lune d'après cette théorie, la plus complète qui existe. Elles
remplaceront les Tables de Hanscn, qui ne sont pas exemptes d'em-
pirisme et qui commencent déjà à ne plus représenter sufBsam-
ment les observations.
Parallaxe du Soleil et aplatissement du globe terrestre déduits
des inégalités lunaires.
Il s'agit de celles dont les coefficients dépendent de la paral-
laxe du Soleil et do raplatisscment du globe terrestre. En ce qui
concerne la première, nous venons de voir que la théorie en fait
connaître le coefficient algébrique et l'argument. Avec Fargu-
ment t = (^ — Q? ^"^ choisit les observations où sinT prend les
valeurs voisines des maxima 4-1 et — 1, c'est-à-dire les syzvgies,
et les époques où il s'annule, c'est-à-dire les quadratures. De là on
conclut la valeur numérique du coefficient. C'est en comparant ce
nombre à son expression théorique que nous avons obtenu 8', 81
pour la parallaxe du Soleil (p. 219).
L'inégalité due à Taplalisscment a pour expression, d'après la
Mécanique céleste,
— ( l^ — lf/) ' • f ' . ^
^-^— sur- smtocosw sm (^.
.^' — ^
Les observations de Groenwich assignent 8"', 09 à ce coefficient,
PRINCIPALES INÉGALITÉS. TABLES DE LA LUNE. Si;
dans lequel [jl désigne Taplatissement, q le rapport de la force cen-
trifuge à la pesanteur (à Téquateur) et ^ — i le rapport du
moyen mouvement du nœud au moyen mouvement de la Lune.
Voici le calcul :
ir'rir 57' 2"',66 logsinÎTi' 6,43984
w = 23°28' log(^ — i)... 7,60411
en 1801. 8,83573
log sin b) cos o) . 9 , 562G3
8,39836
log2o6265' 5,3i4{3
3,71279
log8',59 0,93399
Iog([X — \ q), 7,22120
[A — \q 0,0016642
\q 0,0017339
fA 0 ,0033980 = ï^T
Nous trouvons, par cette singulière voie, un aplatissement très
voisin de j^ auquel nous conduisent aujourd'hui les opérations géo-
désiqueset les observations du pendule. En se reportant à ce qui a
étédit(p. 219) sur l'inégalité parallactique, on trouvera bienjustifiée
cette remarque de Laplace : «Un astronome, sans sortir de son obser-
vatoire, en comparant ses observations de la Lune à la théorie, est
donc en état de déterminer à lui seul la distance de la Terre au Soleil
et la figure de notre globe, résultats qu'on ne croyait pouvoir
atteindre que par de vastes triangulations et par des expéditions
organisées à grands frais sur les deux hémisphères. »
Calcul de Tinégalité mensuelle de la Terre.
Le petit système Lune-Terre se meut autour du Soleil comme
si sa masse entière était réunie en son centre de gravité. Les deux
astres décrivent autour de ce point des ellipses semblables, mais
de dimensions inversement proportionnelles à leurs masses. Pour
le faire comprendre, considérons, à un instant donné, les trois
corps T, L, S avec leurs masses /w, /n', M. Désignons par r, R, z-'
les distances ST, SG, SL, par a, ci les distances GTct GL au centre
3l8 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXII.
de gravité G, par o l'angle aigu en G, par a, a les angles en S.
La force qui meut la Terre vers le Soleil sera*^' ^ ; celle qui
Fig. 6i.
8_
"*"*"" V
*
*
«
r
meut la Lune sera*^ \,^ » En les multipliant par ces a et ces T'y on
aura leurs composantes parallèlement à SG. Les triangles donnent,
en prenant R pour unité,
I-t-rtCOSO , I — rtCOS:^
» ^^^\.r^ mm' •
cosa= i, COSOt^i:
> -w^- — ,
La résultante des forces mouvantes, appliquée au centre de gra-
vité G, sera donc
I-h«C0SîP ^,, ,1 — rt'cos^'
fWni ' ■ -+-/Mm'
,.3 ' ^ — p>2
Les mêmes triangles donnent
r'=: I -h 2acoso -h a',
Développons (i H-rtcos'^ + a*) ^ et (i — aa'cos'^ -j- a'^) ^ en
nous bornant aux deuxièmes puissances des petites quantités a
et a', puis divisons par la somme des masses m 4- m'; nous aurons,
pour Taccélération en G,
/M
m -+- m
/M
7 ni — la m cos z — à^m ( ces' s |
-, m' + 2 aV/i' cos^ — a'^m'l- -cos'^ j ;
m -\- m
mais, G étant le centre de gravité, on a
a
m'
7P
—
•
>
m
PRINCIPALES INÉGALITÉS. TABLES DE LA LUNE. SlQ
d'où, en désignant a H- a' par d,
dm' , dm
a = : a=
m -h m' m -h m'
Par substitution, les deux termes du premier degré en d se détrui-
sent, et il vient finalement, en rétablissant Rd'abord pris pour unité,
Force accélératrice en G •^.^rr i — rrr ; r-i \ cos* c? | •
H* L K* (m -f- m )* \ 2 2 ^/J
Le second terme est insensible, car
iL — (—\ — '
H* "" \38G; "" i5oooo'
mm' i
et T r-r = iT-> comme nous le verrons tout à Theure.
(/n-t-m)^ 82
On trouverait de même que la force accélératrice perpendicu-
laire à SG est tout à fait insensible. On voit donc que la seule force
appréciable qui sollicite le système TL est dirigée vers le Soleil,
est appliquée au centre de gravité G et a pour expression *~j-«
Par conséquent c'est le point G qui décrira autour du Soleil une
orbite elliptique conformément aux lois de Kepler. Seulement la
masse sera m H- m', et c'est aussi celle qu'on donne ordinaire-
ment sous le nom de masse de la Terre,
La longitude du point T sera égale à celle du point G, calculée
suivant les lois du mouvement elliptique et augmentée de a, angle
qui se déduit de
a , d m'
sin ot zz= - sin 9 = t: ; sin '>& >
/ ^ H /n 4- m '
à très peu près.
Or cp = T — a est sensiblement C — ©. Il résulte de là une
petite inégalité dans les mouvements de T, dont la période sera le
mois lunaire, c'est-à dire 29^,5. Elle aura pour expression
206265" H ^'' ; sin (C — O).
n m-r- m'
En comparant des observations du Soleil faites aux époques où
C — O cst.de 90° ou de 270°, c'est-à-dire vers les quadratures, on
320 LIVRE VI. — CHÀPITBE XXXII.
a trouvé 6",5o pour la valeur de ce coefBcient. On aura dooc, en
, d simr'
remplaçant TT par —. — >
_ _ -- sin Ti' m ^m f
200265 -; 7 = 6 ,5o.
simr m H- m
Masse de la Lune.
On en déduit
logC'.So 0,81291
C»log 206266'. 4,68557
logsioTr' 8,21995
C logsimr'... 4, 8693 1
8,08774
m' I j, , /n' I
, = ô ' d ou — = 3
m-\- m! 81,7 m 80 , 7
L'erreur probable de ^" ^^o est au plus de iiio"',o5; celle
/7i' • * I •
de — est donc inférieure à ih -rr environ, et celle du dénomÎDa-
m 1 00
teur 80,7 à zh o,G.
Le rayon a de la petite orbite décrite mensuellement par la Terre
autour du point G est ^ > ou, comme rf = 60, 3 (p) à peu près,
ol ,7
elle ne dépasse pas les j du ra>on de notre globe. Le point G esl
donc toujours dans rintéricur de la Terre. De là une inégalilé
mensuelle du rayon vecteur de la Terre. Après Tavoir calculée pour
le point G, par les formules du mouvement elliptique, on doit lui
ajouter
6"^ DO
Comme Torbitc lunaire est inclinée de 5** sur récliplîque, plan
de Torblte décrite par le centre de gravité G, la Lune se trouvera
tantôtau-dessus, tantôt au-dessous de ce plan, et laTcrro, par contre,
tantôt au-dessous, tantôtau-dessus. Ces petits écarts du centre de
la Terre, vus du Soleil^ sous-lcndront un angle égal à moins d'une
seconde. Réciproquement, le Soleil, vu de la Terre, paraîtra
s'écarter de ce petit angle-là du plan de Técliptiquev De là une
PRINCIPALES INÉGALITÉS. TABLES DE LA LUNE. 3ai
petite latitude du Soleil dont les variations dépendront de C — Q.
On en tient compte dans les éphémérides et dans les calculs qui
exigent une grande précision.
Rotation de la Lune.
La Lune nous présente toujours la même face. Elle tourne donc
autour d'un axe à peu près perpendiculaire au plan de Técliptiquc
dans un temps égal à celui de sa révolution autour de la Terre, c'est-
à-dire en 27^,321. Le jour, sur la Lune, est égal à sa révolution
sjnodique oude 29J ^. En observant les taches de la Lune, Cassini
a reconnu que son équateur est incliné de 2°45'sur l'écHptique et que
le nœud descendant de cet équateur coïncide constamment avec le
nœud ascendant de Torbite lunaire. Newton, Lagrange et Laplacc
ont fait voir que ces relations si précises, qu'on ne retrouve dans
aucune planète, sont dues à une seule et même cause, l'attraction
que la Terre exerce sur le renflement ellipsoïdal de la Lune. La
théorie montre en effet que la Lune doit avoir la figure d'un ellip-
soïde à trois axes légèrement inégaux dont le plus long est tourné
vers la Terre et la suit constamment, en oscillant un peu de part
et d'autre de cette direction.
Ces oscillations mêmes, nommées libration, n'existeraient pas
si le mouvement de translation autour de la Terre était uniforme
comme la rotation. Laplace a prouvé que, si la rotation lunaire ne
peut suivre les rapides variations périodiques du mouvement de
révolution, elle est forcée du moins de participer à sa variation sé-
culaire, en sorte que la merveilleuse égalité qui existe aujourd'hui
entre les deux périodes se maintiendra toujours.
Nous voyons ici un exemple frappant de l'intime solidarité de
tous les membres du système solaire. L'action perturbatrice des
planètes fait diminuer*peu à peu, de siècle en siècle, l'excentricité
de l'orbite terrestre; cette diminution provoque une accélération
séculaire dans la révolution de la Lune autour de la Terre, et la
rotation de la Lune est forcée à son tour, par l'attraction de la
Terre, de participer à cette accélération.
Ces effets n'iront pas en s'accumulant indéfiniment. Ce n'est
que pour quelques centaines de milliers d'années que l'excentricité
de notreorbite ira en diminuant; dansla suite des âges, cette diminu-
IL 21
^22 LIVRE VI. -' CHAPITBE XXXII.
lion s'arrêtera et sera remplacée par une augmentation longtemps
progressive. Les variations séculaires des éléments, que nous avoDs
représentées par at -h bf^ -|- . . • , ne sont au fond que des varia-
tions périodiques à périodes immenses; Lagrange et Laplacc ont
montré entre quelles limites elles seront maintenues.
Il est bien peu probable que la Lune ait été placée dès r ori-
gine dans de telles conditions. La rotation d'un astre étant, en
général, absolument indépendante de son mouvement de translation.
Tégalité rigoureuse actuelle de ces deux durées n'a pas pu e3âster
à Forigine. La Lune a dû avoir une rotation très diflercnle de cellf
qu'elle possède aujourd'hui et dont la lenteur extrême est si excep-
tionnelle. Tout porte à croire que la Lune a été à l'origine en pleine
iusion d'incandescence, qu'elle a été recouverte ensuite par umr
mince croûte solidifiée, et que les fortes marées produites dans b
masse interne par l'attraction de la Terre ont ralenti progressive-
ment sa rotation, de manière à l'amener, vers l'époque de sa conso-
lidation définitive, à l'état actuel, qui est celui d'un équilibre lés^è-
rement oscillatoire et qui ne conserve plus d'autres traces de FéUl
primitif que l'énorme marée lunaire qui s'est figée dans la direc-
tion de notre globe.
APPLICATIONS DIVERSES DE LA THÉORIE DE LA LUNE. 32^
CHAPITRE XXXIII.
APPLICATIONS DIVERSES DE LA THÉORIE DE LA LUiNE.
Calendriers lunaires.
On retrouve ces calendriers chez toutes les populations nomades.
Les phases de la Lune ont servi primitivemenrt de signal pour
indiquer les époques de réunion aux tribus disséminées par la vie
errante des premiers âges; elles ont donné la première division du
temps. Les saisons n'ayant pas alors le rôle important qu'elles
ont pris chez les populations agricoles fixées au sol, les premiers
calendriers n'eurent qu'un rapport fort mal défini avec Tannée.
En revanche, la période des phases fut étudiée et fixée avec exac-
titude. Nous avons vu qu'elle est de 29^,5306 ou 29^^ à peu près.
Le calendrier des Turcs et des Arabes est fondé sur cette donnée.
On compte par lunaisons, qu'on fait alternativement de 29 et de
3o jours, et qu'on groupe par douzaines, afin de tenir compte gros-
sièrement du mouvement annuel du Soleil, dont la révolution est
de 12 lunaisons et ^. Une année lunaire se compose donc de
29^,5 X 12 = 354"'. Elle ne saurait suivre longtemps la marche du
Soleil; l'erreur serait de 34 jours, c'est-à-dire de plus d'un mois
en trois ans. Elle est donc totalement impropre à guider les travaux
agricoles ; aussi les populations fixées qui, par tradition, ont conservé
leur calendrier lunaire, doivent-elles en suivre un autre, exclusi-
vement solaire, pour les besoins de tous les jours, à moins de les
combiner tous les deux, par quelque compromis, comme ont fait
les Hébreux.
Quant au calendrier purement lunaire, encore en usage aujour-
d'hui chez les Musulmans pour les usages civils et religieux, il a
été réglé avec une précision parfaite. L'alternative de 39 et de
3o jours ne tenant compte que de la fraction 0,5, il reste oJ,o3o6
324 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXIII.
t
d'erreur sur chaque lunaison. Au bout de trente années lunaires
de douze mois chacune, cette erreur produirait un écart de
o,o3oC X 3o X 12 = 1 1 jours à très peu près. On en tient compte
en intercalant 1 1 jours complémentaires en trente années, c'est-
à-dire en donnant 3o jours, au lieu de 29, au dernier mois de cer-
taines années. Celles-ci se nomment abondantes.
Grâce à celte intcrcalation, le calendrier arabe suit les phases de
la Lune moyenne à moins d'un demi-jour près. Au bout de la pre-
mière année d'un cycle de 3o ans, l'erreur est de ^ de jour, de H au
bout de la seconde, et ainsi de suite. Convenons de prendre, pour
fixer le rang de l'année dans cette période, celle dont le jnillésime
divisé par 3o laisse pour reste i , et, pour la trentième, celle dont le
reste est zéro. Voici la règle instituée par les astronomes arabes:
L ^ année sera abondante quand le rang de Vannée, dans le cycle
trentenairCy multiplié par —^ dépassera un nombre entier
de ^ ou de plus de ~.
L'ère est riiégyre, date politico-religieuse qui répond au ven-
dredi 12 juillet 622 ap. J.-C. Les mois sont
Joart
MohaiTcm 3o
Safar 29
Rcbi 1" 3o
Rébi 2* 29
Djoiimada 1"^ 3o
Djouinada -à* 29
Redjeb 3o
Srliaaban 29
Ramadan 3o
Schouàl 29
Dzou'l Cadeh 3o
Dzou'l Iledjeh 29 ou 3o
354 ou 355
La semaine est une très anlique subdivision du mois lunaire en
sept jours. Comme il est impossible de la maintenir en harmonie
avec la Lune, ( lie sort simplement à compter les jours par de>
noms propres et à ré-ler les jours Itrirs revenant à courte période.
Mais ellcconstiuie, à clic seule, une chronologie indépendante qui
permet, en beaucoup de cas, de contrôler les dates ordinaires.
APPLICATIONS DIVERSES DE LA THÉORIE DE LA LUNE. 325
lorsqu'on y énonce à la fois le quantième du mois et le jour de la
semaine. Voici les noms des jours chez les musulmans.
Youm-el-ahad Dimanche.
Youm-el-thany Lundi.
Youm-el-thaleh Mardi.
Youm-el-arbaa Mercredi.
Youm-el-khanis Jeudi.
Youm-el-djouma Vendredi (jour férié).
Youm-el-scbt Samedi.
D'après la règle d'inlercalation trentenaire, le i*^"^ de chaque
mois répond à la nouvelle Lune, ou plutôt à la première apparition
de son croissant, le soir, à Touest, peu après le coucher du Soleil,
et la pleine Lune au i4 de chaque mois.
Nombre d'or.
Lorsque des populations entières se fixèrent au sol, adoptant la
vie agricole, elles conservèrent leur ancien calendrier pour les
époques légales et religieuses, mais elles sentirent bien vite le
besoin d'un calendrier des saisons, réglé sur la marche du Soleil.
Il fallut établir entre les deux computs une concordance quel-
conque, de manière à conclure aisément de l'un à Tautrc. Les
Athéniens envoyèrent dans ce butMéton en Orient (433 av. J.-C);
il en rapporta le nombre d'or. Voici en quoi consiste ce cycle :
I année solaire =: 12,368265 lunaisons,
ou bien, en fraction continue,
I an = 12 H
I
1
I -+-
I
235 I
A la troisième réduite, on trouve-^— ^, rapport approché à
19 120000
près. Ainsi les phases de la Lune reviennent en coïncidence avec les
mêmes datés du calendrier solaire tous les 19 ans. Il suffit donc
326 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXIII.
d'avoir noté, pendant la durée d'un pareil cycle, les dates des nou-
velles et pleines Lunes pour être en état de rédiger les calendriers
des années suivantes, c'est-à-dire d'y marquer d'avance les phases
principales de la Lune, car ces phénomènes s'y reproduiront juste
aux mêmes dates. On trouve à la première page de la Connaissance
des Temps \enon\hTe d*or pour Tannée courante 5 c'est le rang de
cette année dans le cycle de Melon.
Le cycle solaire est relatif aux calendriers solaires et aux jours
de la semaine. Quatre années juliennes contiennent 365^,25 xi
ou365J X4+ iJ. Par conséquent 28 années juliennes contien-
dront 365 X 4 + I semaines. Au bout de 28 ans, les jours de
même nom répondront aux mêmes dates. Si le 1 5 avril i88o,Meux
style, est un mardi, le i5 avril 1908 sera encore un mardi^ et dans
aucune autre année intermédiaire on ne retrouvera la même coïo-
cidence. C'est donc un moyen de vérifier les dates.
Fête de Pâques.
Cette fête a été fixée, d'après l'Exode, au quatorzième jour du
premier mois lunaire de l'année, le mois où mûrissent les épis (en
Egypte). De là, pour les Hébreux, la nécessité d'un calendrier
lunaire concordant avec les saisons. Dans un tel calendrier, le qua-
torzième jour d'un mois quelconque est le jour de la pleine Lune.
Le concile de Nicée ayant adopté le calendrier solaire des Romain*,
et voulant suivre autant que possible la tradition, fixa h» jour de
Pâques à la première pleine Lune du printemps ; plus cxaclement,
au dimanche qui suit la pleine Lune qui tombe le ai mars ou apn"*
le 21 mars. On a imaginé pour ce calcul l'artifice des l'^pactrs, basé,
comme les calendriers précédents, sur une lune fictive a>ant même
longitude moyenne que la Lune réelle, absolument comme les
jours solaires moyens se règlent sur un soleil fictif ayant même
longitude moyenne que le Soleil vrai. Ne pouvant exposer ici ce
système, nous donnerons, sans démonstration, la règle de Gaussqui
le remplace. Soit M le millésime de Tannée : désignons par c/, b.
c, d, e les restes des divisions suivantes
■9' T' 7' — 1^' -. '-'
APPLICATIONS DIVERSES DE LA THÉORIE DE LA LUNE. 327
La fête de Pâques sera le 22 -{- d -{- e mars ou, ce qui revient
au même, led-^e — 9 avril. S'il s'agit du calendrier julien,
X =: i5, j' = 6, à perpétuité. Pour le calendrier grégorien, on a :
1383 à 1699.
Do 1700 a 1709.
De 1800 à 1R99.
Pei9ooà Z099
J- = 22
a- = 23
X = 73
a: = 24
r= 2
r= 3
y= 4
y= 5
Par exemple, en 1882, on a jc = 23, j^ = 4 î puis on trouve
aizzr, ^=z2, c = 6, t/=: 12, c =: 6;
par conséquent, le jour de Pâques tombe le 12-I-6 — 9 ou le
9 avril.
Cette fête ne saurait arriver plus tôt que le 22 mars ni plus tard
que le 25 avril.
Ajoutons que les inégalités des mouvements vrais de la Lune et
du Soleil s'élèvent à une dizaine de degrés que la Lune ne parcourt
qu'en oJ,8; les phases de ces divers calendriers, réglés sur des
mouvements moyens, peuvent donc différer de près d'un jour des
phases réelles, sans compter les petites erreurs de l'intercalation.
3a8 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXIV.
CHAPITRE XXXIV.
ÉCLIPSES DE LUNE ET DE SOLEIL,
Période chaldéenne.
Les Anciens altachaicnt une grande importance à ces phéno-
mènes. Ils avaient réussi à les prédire avec assez d^exactilodef
grâce à une période découverte par les observateurs de Babvlone,
et ils trouvaient, dans le succès de ces prédictions, un moven de
frapper les esprits et de démontrer à tous la puissance et la sûreté
de leur science. Leurs observations ont même conservé de nos
jours une grande valeur, parce qu'une éclipse de Lune ou de Soleil,
de Soleil surtout, fixe les positions relatives des trois astres avec
une précision qu'on était loin d'atteindre dans les autres genres
d'observation. On se sert encore aujourd'hui, pour la théorie de
la Lune, des éclipses observées à Babylone il y a a5 siècles el
conservées dans VAlmageste,
Il n'était pas difficile de voir que les éclipses ne se produisent
qu'aux syzygies, lorsque la Lune se trouve en môme temps dans
l'écliptique ou très près de ce plan. Partout ailleurs, aux opposi-
tions, la Lune pleine passe au-dessus ou au-dessous du cône
d'ombre de la Terre ; aux conjonctions, le cône d'ombre que la Lune
nouvelle projette passe au-dessus ou au-dessous de notre globe. En
tenant un registre de ces phénomènes pendant des siècles, les an-
ciens finirent par remarquer que les éclipses (relativement à un
même nœud) meltaient un temps déterminé, environ i8 ans, à par^
courir Técliplique, et qu'au bout de ce temps (2a3 lunaisons^ elles
se reproduisaient dans le même ordre. C'était un moven de prédic-
tion, car ayant formé pendant 223 lunaisons consécutives le ta-
bleau de tous ces phénomènes, comprenant 4' éclipses de Soleil
el 29 de Lune, avec leurs caractères et leurs dates, il sufljsait
ÉCLIPSES DE LUNE ET DE SOLEIL. 829
d'ajouter 228 lunaisons, c'est-à-dire 18 ans 11 jours, à la date de
l'un d'eux pour retomber sur celle d'un phénomène semblable et
placé exactement de la même manière dans la période suivante.
C'est ainsi, du reste, qu'on étudie, encore aujourd'hui, la plupart
des phénomènes météorologiques dont on ignore la cause ou la
loi . Par exemple, on compulse les anciens registres d'observation pour
y chercher la période des grands hivers, celle des étés chauds et
secs, etc., dans l'espoir d'arriver à en prédire le retour. On n y a
guère réussi, parce que ces phénomènes-là sont bien plus com-
pliqués que les mouvements célestes.
Il est facile d'expliquer le succès des Chaldéens. Chaque éclipse
s'opère à la rencontre plus ou moins exacte de trois points circu-
lant autour de la Terre indépendamment l'un de l'autre, le centre
du Soleil, le centre de la Lune, le nœud ascendant de l'orbite
lunaire. La période de rencontre des deux premiers est de 29^,53060;
la période de rencontre des deux derniers est de 27J ,2 1 229 (p. 3o2).
Si le rapport de ces deux périodes était égal à celui de deux nombres
entiers assez simples, m et /z, au bout de m lunaisons ou de n révo-
lutions draconitiques tout se retrouverait dans le même ordre, du
moins en supposant les mouvements uniformes, et les relations de
position qui se présenteraient dans la seconde série seraient la
reproduction exacte de celles de la première. Si donc, dans la
première, on avait compté 4^ éclipses de Soleil et 29 de Lune,
plus ou moins complètes, on retrouverait dans la seconde série les
mêmes éclipses se succédant dans le même ordre, avec le même
caractère, à m lunaisons d'intervalle des premières.
Pour chercher ces deux nombres entiers, réduisons la frac-
2Q,53o6o -
tion -^ en traction continue.
27,21229
On trouve
I
i-f-
1
n H
I
2 -f-
I-f-
4
33o LIVRE VI. — CHAPITRE XXXIV.
^ , , . . 12 l3 38 5l 2^2
Les réduites successives sont — > — > ^-j j-y — «? ••••
II 12 37 47 î*^3
Arrêtons-nous à la dernière, parce qu'il se trouve qu'au bout de
223 lunaisons le nœud a presque fait le tour de récliplique. Pour
s'assurer du degré d'approximation, on n'a qu'à transformer ces
deux termes en jours :
223 lunaisons = 6585j,37,
242 mois draconitîques = 6585, 37.
C'est 18 ans 11 J (10» s'il y a eu 5 bissextiles). Au bout de ce
temps les trois mobiles reviennent sensiblement aux mêmes posi-
tions. On compte dans cette période ^i éclipses de Soleil et 29 de
Lune. Si une éclipse totale de Soleil, par exemple, a été enregistrée
à une certaine époque, il suffira d'ajouter à celte date 18 ans ii^
ou un multiple de cette période, pour retomber sur une autre
éclipse totale ('). C'est ainsi que Thaïes a dû procéder pour an-
noncer l'éclipsé totale de Tan 584 avant J.-C, éclipse dont les his-
toriens ont fait mention parce qu'elle a mis fin à la guerre des
Mèdes et des Perses.
On ne manquera pas de remarquer que cette période des éclipses
est uniquement basée sur les mouvements moyens du Soleil, delà
Lune et du nœud. Or nous avons vu que les inégalités de la Lune
et du nœud peuvent très bien s'élever à 8° ou 9**; celles du Soleil
vont à près de 3**. Il semble donc que la période chaldéenne ne
peut remettre ces trois mobiles en mêmes positions relatives qu à
10° près. S'il en était réellement ainsi, la régie qu'on en a déduite
pour prédire les éclipses devrait se trouver souvent en défaut, car
nous allons voir qu'un pareil écart serait capable d'empêcher une
éclipse de se reproduire, ou de transformer une éclipse totale en
une éclipse à peine perceptible. Cependant on sait par expérience
qu'elle est très exacte. Ainsi les éclipses totales, à durées excep-
tionnelles, de 1868 et de 1886 répondent parfaitement à Téclipse
de i85o, quand on ajoute à la date de celle-ci la période ou le
double de la période chaldéenne.
(') Ou du moins très considérable. Au reste, si leclipsc est totale pour quelque
région de la Terre, celle de la période suivante ne le sera |>as nécessairement
pour les mêmes points.
ÉCLIPSES DE LUNE ET DE SOLEIL. 33l
C'est que ce cycle tient plus qu'il ne promet. Nous avons vu
déjà que la révolution anomalistique de la Lune est de 27J,5545. Eh
bien, 289 de ces révolutions font encore 6585J, 5, ce qui ne dif-
fère de la période chaldéenne que de ~ de jour. Ainsi, à 18 ans i H
d'intervalle, le Soleil, la Lune, son nœud, son périgée, se retrouvent
aux mêmes points; le périgée du Soleilrevient au sien aune dizaine
de degrés près, ce qui est insignifiant ici. C'est ce singulier con-
cours de quatre mobiles, presque de cinq, qui fait le mérite de
cette curieuse et utile découverte des temps les plus anciens.
Limites des éclipses.
Pour savoir, indépendamment de cette période, si une éclipse se
produira ou non à une syzygie, il suffit de calculer pour cette
date la distance de la Lune à son nœud le plus voisin. S'il s'agit
d'une éclipse de Lune, l'éclipsé n'aura lieu que si L — N<[ 12**.
Pour une éclipse de Soleil, il faut que L — N soit <^iy^. Ces li-
mites montrent même pourquoi il y a plus d'éclipsés de Soleil que
de Lune dans la période précédente. Le rapport des nombres ||,
qui exprime leur fréquence relative, est bien celui de ces limites
la et 17, qui expriment leurs possibilités.
On arrive fort simplement à ces nombres en considérant la fi-
gure suivante, relative à une éclipse de Lune. Si l'on mène TB parai-
A Fi g. Ga.
V:
lèle à AC, l'angle / du cône d'ombre terrestre sera donné,
p' étant le rayon du Soleil et p celui de la Terre, par
'^P'-P ^
I
sin/=i =z sm - A' — sin?: ,
i3 i 2
d'où
La longueur A du cône d'ombre sera
TC = -^ = h;
sin/
332 LIVRE IV. — CHAPITBB XXXIV.
si /* est le rayon vecteur de la Lune, la section droite de ce côik,
dans Tendroit où la Lune le parcourra, sera
(A — r)sin/.
Pour qu'il y ait au moins contact entre la Lune et le c6w
d'ombre, il faut que la somme des demi-diamètres angulaires de
cette section et de la Lune, vues du point C, soit égale à la distance
des centres. Si la Lune ne fait que raser le cône d'ombre, celU
somme exprimera la distance du centre de la Lune à l'écliptique.
En la divisant parle rayon vecteur r, on aura le sinus de la latitude
de la Lune ou de 90° — p. Et comme
sin ( L — N ) m cet i col p,
on sera en état de calculer L — N.
Faisons ce calcul pour une éclipse de Lune dans les circonstances
les moins favorables, celles où la Lune est périgée et le Soleil apo-
gée. On prendra (p) pour unité. La valeur la plus faible de jA'esl
de i5'44"î par conséquent
La plus petite valeur de /' est 5y. Le rayon de la section du cône
d'ombre que la Lune traversera sera = o,t42. El comme
^ .12 j '
le rayon x de la Lune est de o,c>j3, on aura pour leur somme
i,oi5. Par conséquent colJ3 = — ^z — ^) et l'on trouve finalemenl
L — N= 1 1°47'> en prenant pour i sa plus petite valeur. Si donc la
Lune au moment de l'opposition est à 12^, ou plus, du nœud,
l'éclipsé est impossible. On trouverait de môme pour les éclipses
du Soleil la limite 17°.
Calcul d'une éclipse de Lune.
Les phases d'une éclipse de Lune se produisent au mémo in-
stant pour tous les observateurs; il n'y a pas lieu de tenir corapt'-
de leur position géographique. On s'en servirait même fort avanta-
geusement pour déterminer, sans calcul, les longitudes terrestres.
ÉCLIPSES DE LUNE ET DB SOLEIL. 333
comme par les éclipses des satellites de Jupiter, si les phases d'une
éclipse de Lune étaient susceptibles d'être observées avec précision.
Nous ferons d'abord abstraction de l'atmosphère.
Fig. 63
H>r
L'éclipsé partielle ou totalecommencera etfinira(yf^. 63)lorsque
la sphère L touchera extérieurement ou intérieurement le cône
d'ombre qu'elle traverse. A ces deux instants, le demi-diamètre appa-
rent^ D de L, vu du point C, sera égala LGT — /ou à/ — LGT.Il
faut donc exprimer ces angles ^ D et LCT en fonction du temps. Les
coordonnées de la Lune étant, à la date t^ TL= r, L et p, celles
du Soleil ST=/-' et Oi celles du sommet C seront TC et
Ô =0 — i8o*^. Gela posé, prenons des axes mobiles : la droite
TC pour axe des Xy une perpendiculaire à TC dans le plan de
l'écliptique pour les y^ et une normale à ce plan pour les z. Les
coordonnées rectilignes de la Lune, auxquelles on joindra leurs va-
riations horaires a, 6, c, seront, à la date t-\-^,
5 1= rcos p-f- a6, jc=:r sin^ ces L 4- ^6, / = rsinp sinL 4- c6.
Transportons l'origine en C et changeons le sens de Taxe des.r ;
les nouvelles coordonnées 5', x'y y seront
Z:^Zy J7'=zTC — Xy y'^zzy.
Soit d la distance variable CL ou s/z''^-^ x''^-\-y'^^ nous aurons
sin-Drz:-,, cosLCT=-7>
1 a ci
d'où
sm LL 1 = ~— •
ci
La relation susdite entre les angles LCT, ^D et/, c'est-à-dire
l'équation des éclipses
LCT— /=±iD
334 LIVRE VI. —CHAPITRE XXXIV.
deviendra, en prenant les sinus.
v/?^
./2 ^/
cos/— -T sin/= d: -.
ou, en élevant au carré.
On portera dans cette relation les valeurs de s! ^ ^^ >'', en fonction
du temps 6, ce qui donnera, pour chaque signe, une équation du
second degré en 6 dont les deux racines 6' et Ô'' résoudront la ques-
tion. Avec le signe — , par exemple, l'heure du premier contacl
intérieur, ou le commencement de l'éclipsé totale, sera /-hV;
le deuxième aura lieu à l'heure t -1-6''.
Si on voulait calculer l'instant où un cirque de la Lune pénètre
dans le cône d'ombre, il faudrait déduire, d'une carte de la Lune, le*
coordonnées z"^ x"^ ^'"dece point rapportées au centre de la Lune,
et résoudre l'équation
qui exprime que le point considéré se trouve sur le cône d'ombre.
En réalité, la lumière du Soleil n*est pas complètement inter-
ceptée dans une éclipse totale de Lune, en sorte que cet astre ne
disparaît pas tout à fait. L'interposition de notre atmosphère aug-
mente l'angle / du double de la réfraction horizontale ou d'en-
viron i*'. La longueur de ce cône d'ombre pure, calculée par
sin(/-+- !«)=: ^,
n'est que de 4^i tandis que la plus courte distance de la Lune à
la Terre va à 57. Aussi la Lune, même quand elle se trouve entière-
ment plongée dans l'ombre géométrique, est-elle encore leinle
d'une lueur rose, analogue aux couleurs de Taurorc. Cependant
l'atmosphère, qui fait ici l'effet d'une lentille convergente, joue
aussi le rôle d'un absorbant pour la lumière, dans les couches l>asses
surtout. L'ombre incomplète projetée sur la Lune est mal ter-
minée; et, grâce à celte circonstance sans doute, le cercle de
l'ombre parait plus grand de ^jy environ qu'il ne l'est en réalité;
ÉCLIPSES DE LUNE ET DE SOLEIL. 335
par suite, dans Je calcul toujours peu rigoureux de ces phénomènes,
les astronomes se croient obligés d'ajouter iS^' ou 16" à l'angle /
(^environ).
Éclipses totales de Soleil.
Ces beaux phénomènes sont bien autrement précis que les
précédents, parce que la Lune n'a pas d'atmosphère et que tout se
passe, à très peu près, comme s'il s'agissait du contact géométrique
de deux cercles. En même temps que le cône d'ombre projeté par
la Lune balaye la surface de la Terre, celle-ci tourne autour de
son axe PF : (Jig 64) pour déterminer les instants où l'un de
Fig. 64.
ses points, Paris par exemple, entre dans le cône d'ombre ou en
sort, il faut tenir compte à la fois de ces deux mouvements.
Déterminons d'abord la ligne des points où l'éclipsé paraît cen-
trale, c'est-à-dire des points où la droite SL perce l'ellipsoïde
terrestre,
A une date donnée, à l'heure sidérale H^, temps de Paris, le globe
est rencontre par SL en un point dont les coordonnées géocen-
triques seront p, ç etL. Rapportons co point à un système d'axes
mobiles, celui des x étant dirigé vers le point y, celui des y
(dans Téquateur) à 90° du premier dans le sens direct, et l'axe
des z étant la ligne des pôles. On aura, par la Connaissance des
Temps, à l'heure H^, pour le Soleil,
^' zi= r' coso', a?' =: r'sino'cosiR', /' = r'sinô'siniR',
et pour la Lune
^mrcoso, x-=zrsinùcosMy ^ = rsino siniR;
r et r devront être exprimés au moyen du rayon équatorial de la
Terre pris pour unité. Les équations de la droite SL seront, avec
336 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXIY.
les coordonnées courantes X, Y, Z,
^t
z' ^ X — x' ~~ y -—y
et celle de l'ellipsoïde terrestre
Z*
I — e'
4-X«4-Y»=l
Ces dernières équations fourniront les coordonnées î^, ;, t, du
point de rencontre. On aura les coordonnées géographiques du
point par
Ç=:pcoso, $ = psin©cos(L-4- Hp), tj =i p sino sin(L -H H;,'*.
car à rheure sidérale H^, temps de Paris, le méridien de Paris fail
l'angle H^ avec celui du point y, et le méridien du lieu fail
l'angle L -f- H^ avec ce mêmcméridien initial. Enfin, de la colalilude
géocentrique <p, on déduira la colatitude géographique \ par
langX =:(i — e')tang<p,
ou en retranchant i^ de l'angle o.
On recommencera le calcul pour d'autres heures H'^, H^,, ... : on
obtiendra ainsi les coordonnées d'une série de points situés sur la
courbe de centralité {voir la figure de la p. 34o).
Prédiction des contacts intérieurs en un lieu donné.
Lorsqu'on aura tracé la courbe de la centralité sur une carie,
on sera en état de juger, à quelques minutes près, des instanlâ
où se produiront les contacts intérieurs en un point quelconque
M, assez voisin de cette trajectoire pour que l'éclipsé y soit lolalc,
sinon centrale. Soit t la moyenne de ces instants; on prendra dans
les éphémérides, aux instants t -^ lo™, t -h lo"*, les coordonnées
M el 0 du Soleil et de la Lune et leurs demi-diamètres, en a\anl
soin de rapporter les o de la Lune au pied N de la grande nor-
ÉCLIPSES DE LUNE ET DE SOLEIL. 337
maie AN de robservateur (*). On calculera ensuite les azimuts
et les z de ces astres aux mêmes instants t — lo"* et t-\- lo™, de
manière à obtenir les variations horaires a, 6, c de leurs diffé-
rences. En sorte qu'à Tinstant ^ -f- 0 on aura pour les différences
d^azimut des distances zénithales et des demi-diamètres :
Il ne reste plus qu'à exprimer que la distance angulaire des deux
astres est égale à la somme ou à la différence de leurs demi-diamètres
apparents ^Ai, * A', -f- cO. C'est le problème dont nous avons déjà
donné la solution à propos du passage de Vénus (p. 21 5). On aura
donc la même équation
^^+c6y=(._.'-t-fcey4-(.
4- aô ) sin^sinV
(*) Soient M le lieu de robservateur, N le pied de la grande normale, L la Lune
située en dehors du plan PMN de la fig. 65, 6 sa distance polaire géocentriciuCi 6'
Fig. 65.
sa distance polaire vue du point N, -:: la petite parallaxe due au déplacement de O
en N, d et d' les distances OL et NL; on aura
d'sinir = ON sinS.
ON est égal à NecosX; d' ne diffère pas sensiblement de d; par conséquent,
-rc = PNccosXsinS,
P étant la parallaxe horizontale équatoriale de la Lune. Dès lors la distance
polaire rapportée au point N sera 6 — r, 6 étant la distance polaire de l'éphé-
méride.
Cela posé, on calculera, par les formules ordinaires, l'azimut A et la distance
zénithale vue du point N et, pour ramener celle-ci au point M, il sufûra de lui
ajouter la parallaxe p donnée par
__ NsinPsinz
^^ ~~ I — N sinP cos-3
IL ^2
338 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXIV.
Les deux racines de cette équation donneront les instants des
contacts intérieurs, les seuls qu'on observe avec exactitude.
Comme les z et les A ne varient pas, en général, proportionnelle-
ment au temps, on tiendra compte, si cela est nécessaire, des ternies
du second ordre en 0 en calculant non plus deux, mais trois posi-
tions des deux astres à des intervalles équidistants.
La même équation sert pour les contacts extérieurs en rempla-
çant la différence par la somme des rajons.
En dehors des phénomènes physiques si remarquables que pré-
sentent les éclipses, leur importance est bien diminuée par la facilité
qu^on a aujourd'hui de se procurer d'excellentes observations
méridiennes de ces deux astres. Mais, pour les temps anciens, les
éclipses seules fournissent des données précises sur la position
relative du Soleil et de la Lune et un contrôle précieux pour les
Tables de notre satellite. Une très faible erreur sur la position de ce
dernier astre déplacera notablement la ligne de centralité; si donc
l'histoire rapporte qu'à une certaine date une éclipse totale a été
observée en un certain lieu, il en résulte un document très précieux
pour fixer la position de la Lune, à cette date, par rapport au
Soleil, dont les coordonnées sont parfaitement déterminables. C'est
ainsi que les éclipses de Thaïes en — 584, ^^ Larissa en — 55o',
de Xerxès en — 479» d'Agalhocles en — 809, etc., jouent un grand
rôle dans l'étude de l'accélération séculaire du moyen mouvement
de la Lune.
Il nous reste à donner un détail qui est de nature a faciliter
l'observation : c'est la position des points du disque solaire où le>
contacts avec le disque de la Lune doivent s'effectuer. L'équation
des éclipses peut s'écrire, avec une arbitraire M, e/ étant la distance
angulaire des centres,
c^sinM=(A — A')sinl±-i (»), ^cosM = 5 — ;:'.
M sera l'angle que fait l'arc cl y de centre à centre, avec le vertical
du Soleil. Si on le calcule pour le moment du premier contact, on
(') On peut en effet remplacer, sans erreur sensible, dans réquation des cclips*?*
le facteur sio^ sin z' par sio' — ** .
ÉCLIPSES DE LUNE ET DE SOLEIL. SSq
saura que le point où le disque solaire sera touché par celui de la
Lune se trouve à M degrés à droite du vertical du Soleil, en les
comptant sur le disque lui-même autour du centre. Les mêmes
formules s'appliquent, avec des modifications fort simples, aux
contacts extérieurs.
Nous ne saurions insister davantage sur cette question; bornons-
nous à mettre sous les yeux du lecteur la planche ci- jointe (Ji g. 66),
qui représentait, dans la Connaissance des Temps de 1882, les
détails de Téclipse totale du 17 mai, calculés, pour toute la Terre,
par l'excellente méthode de Bessel, qu'il nous est impossible d'expo-
ser ici avec les détails qu'elle comporte.
Occultation d'une étoile par la Lune.
C'est évidemment le même problème, et nous lui donnerons la
même solution en considérant les coordonnées de l'un des astres
comme invariables et son demi-diamètre apparent comme nul.
Quelles que soient les coordonnées adoptées, l'équation finale
aura toujours la même forme ; la difficulté se réduit au calcul des
parallaxes, calcul plus simple pour le système des A, Z que pour
celui des iR, S ou desL, ^. Voici une autre méthode dans laquelle
nous emploierons les coordonnées rectilignes.
Fig. 67.
On calculera pour l'instant H, voisin du phénomène, les coor-
données équatoriales 5, x, y de la Lune et leurs variations ho-
II. 11.
34a LIVRE VI. — CHAPITRE XXXIY.
raires. iR et 8 étant les coordonnées de l'étoile, on en déduira par
cosazncoso, cos^ = sinocosiR, cosY = sino sin^R,
les angles a, p, y que la droite visuelle AE fait avec les axes. Dési-
gnons enfin parL, îp, p les coordonnées géocen triques de robservalcur
placé en A. L étant compté, comme l'heure sidérale H, à partir du
méridien de Paris, on en déduit les coordonnées rectangulaires *,,
i, T,. L'immersion de l'étoile derrière le disque de la Lune aura lien
à l'instant où le bord de cet astre touchera la droite AE, c'est-à-
dire où la distance du centre L à AE sera égale à 0,27264 (ici l'unité
est partout le rayon équatorial terrestre).
Celle condition s'écrit ainsi :
0,27264 =(c-;)«-+-{x-î)«-h(v-T,)«
— [(- — î)cosa-+-(x — Ç)cos?4-(/— T.)cos7]«.
Si l'on joint à ces termes la variation horaire de chacun d'eux
multipliée par l'inconnue 0, on aura une équation du second degré
dont les racines h' et V donneront, pour le lieu A, dont la longi-
tude est L :
Immersion à r -*- 6' h- L, heure du lica A,
Émersion à / -*- 6* -t- L.
On évitera rinlroduction de grands nombres en retranchant, des
coordonnées de la Lune, les projections sur les axes de la droite LB
menée, parallèlement à AE, jusqu'au point B où elle perce le plan
du parallèle terrestre de l'observateur A. LB sera connu par
Z — LB ces a ^ r z=r 5 CCS Q,
et les coordonnées du point B, qui remplacera dès lors le centre
de la Lune, seront
-' = ï, y' ^z y — LBcOs3, x' = x — LB COSY.
Le carré de la distance du point B à AE sera alors
^r--r,'-r-(v'-T.^î-[v.r'-î)cos3-T-(r'-T.)cosv]«,
qu'il faudra égaler à 0,27:164 .
ÉCLIPSE^ DE LUNE ET DE SOLEIL. 343
Ces phénomènes sont frappants. La disparition de Tétoile ou sa
réapparition sont instantanées et s'observent à moins de o%i.
Comme la Lune se meut à raison de o", 5 par seconde de temps,
une erreur de o', i produit ici une erreur de o", o5 sur les coor-
données de la Lune. Pour fixer les idées, supposons que la Lune
passe centralement sur une étoile; on pourra déduire son diamètre
angulaire des instants des deux contacts avec une très grande
précision. Si la Lune avait une atmosphère, cette durée serait
diminuée du quadruple de TefTet de la réfraction horizontale.
Celle-ci est de 33' pour la Terre. Une telle atmosphère produirait
sur la direction de l'étoile une déviation de 66'= 8960". Gomme il
n'y a pas plps de i" d'incertitude sur le diamètre de la Lune, on
est en droit de conclure, des occultations si fréquemment observées,
que l'atmosphère lunaire, si elle existait, réfracterait 8000 fois
moins la lumière que la nôtre. En la supposant constituée des
mêmes gaz, sa densité serait 8000 fois moindre.
Détermination des longitudes géographiques
par les observations lunaires.
Puisque la longitude d'un lieu par rapport à un autre est égale
à la différence des heures que l'on compte au même instant dans
ces deux lieux, la question se réduit à transmettre l'heure du pre-
mier au second et à noter la différence. Le mojen le plus parfait
pour cette transmission est d'employer la télégraphie électrique et
les câbles qui traversent aujourd'hui les continents ou les mers.
Désignons par B et A ces deux lieux, L Texcès de la longitude de
B sur celle de A, x le temps que l'électricité emploie pour franchir
cette distance. Si à l'heure H3 du premier on envoie un signal en
A, où on le reçoit à l'heure H^, les deux heures locales H3 et
Htf — X répondront au même instint, et l'on aura pour différence
des longitudes
Pour éliminer la durée Xj il suffît de renverser le courant élec-
trique et d'envoyer l'heure de A en B. Soient II', l'heure signalée
In A, H'^ rheure de B à l'instant où le signal H[^ lui parvient;
H'^ et H'^ — X seront contemporaines, et l'on aura
l^h;-x~ii',.
34-î LIVRE VI. — CHAPITRE XXXIV.
La demi-somme de ces deux déterminations donne L indépen-
damment de x; leur demi-difTérence donne x. Ainsi la comparai-
son de deux pendules réglées, Tune sur le temps moyen ou sidéral
de A, l'autre sur le temps moyen ou sidéral de B, donnera L à
quelques centièmes de seconde près.
Culminations lunaires.
Le ciel présente des signaux instantanés visibles à la fois sur
tout un hémisphère et servant, au même titre, à déterminer les
longitudes. La Lune, en effet, est comme Taigullle d'une horloge,
marquant sur les méridiens célestes les heures d'un temps absolu,
indépendant du mouvement diurne, le même pour tous les lieux
du monde. Si donc nous voulons comparer les heures (relatives au
mouvement diurne) que Ton compte au même instant absolu en
deux lieux de notre globe, il sufGt de prendre les heures où, en
ces deux points, on aura observé la Lune par la même ascension
droite.
La manière la plus exacte de déterminer Vj^ de la Lune en un
lieu quelconque est d'observer l'heure sidérale H de son passage
au méridien; on a alors iR = H. Supposons donc qu'en deux lieux
B et A on ait observé les heures H^ et H^ du passage de la Lune
au méridien. Désignant toujours par L l'excès de la longitude de
B sur celle de A, nous aurons, pour l'heure H^, ramenée au méri-
dien de B, Hfl — L, et pour l'intervalle de temps absolu compté
entre les deux observations,
H,-.(n,--L).
Dans cet intervalle de temps, 1'-^ de la Lune augmente (en dési-
gnant par m sa variation pour i*)de
m(Ha-IU4-L).
Or cette augmentation n'est autre chose que lia — H* (•)•
puisque H^ et Ha sont précisément les ascensions droites déter-
(' ) Nous supposons que B est la plus orientale des deux stations.
ÉCLIPSES DE LVNE ET DE SOLEIL. 345
minées en B et Â. Oa aura donc l'équation
m(H<, — Hft) + TOL = Ha — Hi,
d'oà
■■=<"'-"•> (^)
Si l'on représente par e l'erreur probable de l'observation du pas-
sage de la Lune au méridien, on aura pour l'erreur de la longitude
ainsi mesurée
rfL = ihev/
- / 1 — m
2
m
La variation moyenne de VM de la Lune est, à raison de 36o°
ou, en temps, de 864oo" pour 17^, 3, de — 0 par seconde. Le
facteur est donc égal à a6,3 en moyenne; par suite,
dhzn ±z 26,3 Ey/2.
Or e, dans les observations du passage de la Lune au méridien, est
de o%i à peu près. Ce genre d'observation donnera donc la longi-
tude à 3*, 7 près, mais on obtient plus de précision en réitérant ces
observations un grand nombre de fois. C'est par ce procédé que,
sur la demande du Bureau des Longitudes, des officiers de notre
marine ont déterminé, avec un plein succès, les longitudes d'un
certain nombre de points fondamentaux pour la navigation, dans
des régions fréquentées où n'aboutissent pas encore les câbles élec-
triques. Ils ont observé en chacun d'eux un grand nombre de
passages méridiens de la Lune et ont trouvé, dans les divers obser-
vatoires d'Europe et des États-Unis, les observations correspon-
dantes dont ils avaient besoin pour obtenir les différences de
longitude.
dJR
La variation de iR, -i--) que nous avons désignée par m,
n'est pas une constante; elle est donnée par la Connaissance
des Temps d'heure en heure. Il faut la calculer, pour une date
intermédiaire entre les observations extrêmes, et la multiplier par
l'intervalle de temps compris entre les observations pour obtenir
la différence JR' — JR. On tient compte par là des différences des
346 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXIV.
deux premiers ordres seulement. Quand rintervalle est considé-
rable, c'est-à-dire si la différence des longitudes est de plusieurs
heures, il vaut mieux opérer autrement. Avec les heures appro-
chées de Paris H^, H'^, on tire de la Connaissance des Temps
les iR correspondantes, et on a une valeur très exacte de m par
Lorsqu^on n'a pas d'observations correspondantes dans des
stations dont la longitude soit parfaitement connue (grands ob-
servatoires par exemple), la méthode ne cesse pas d'être applicable
pour cela. On riduit les observations méridiennes de la station de
manière à en tirer Y lf\ du centre de la Lune, puis on cherche dans
les éphémérides de la Lune {Connaissance des Temps) l'hearc
moyenne de Paris correspondante, c'est-à-dire H^,, Celle du lieu,
c'est-à-dire H, se déduit aisément des passages observés au méri-
dien. On aura donc L par la différence H — H^. Mais alors le
résultat est vicié par Terreur des Tables ou des éphémérides.
Détermination des longitudes terrestres par les éclipses.
L'équation des éclipses contient les coordonnées de la Lune et
celles du lieu de l'observateur. Si elles sont affectées d'erreurs, on
les introduira dans cette équation avec des indéterminées repré-
sentant les corrections qu'il faut leur appliquer. On écrira
donc z'-\-dz'y x' -\- dx\ y -\- ày y au lieu de z' , x\ >*', el
Ç-|-(?; = Ç — r^dl^j r, + (^r, = r, -h ÇJL, au lieu de \ et de t,.
Alors les deux phases d'une éclipse de Soleil ou d'étoile par la
Lune donneront, entre ces diverses indéterminées, deux équations
de condition, et si ces phénomènes ont été observés en des stations
assez distantes les unes des autres pour que les coefficients d'une
même inconnue dans ces équations diffèrent notablement les unes
des autres, on en déduira :
I® dL, correction à appliquer aux longitudes de ces stations
comptées à partir de Tune d'elles ;
0? dz\ dx', dy\ d'où dyR, do, dV, c'est-à-dire les corrections
des Tables de la Lune à cet instant.
LIVRE VII. — NAVIGATION. 347
LITRE VII.
NAVIGATION.
La Science de la navigation est très complexe; nous n'en trai-
tons ici que la partie qui a pour objet de déterminer, en mer, la po-
sition du navire et Tazimutde la route qu'il doit suiNTe pour arriver
à un point donné. Ce beau problème a deux solutions également
indispensables : l'estime et les observations astronomiques. Elles
ne s'appliquent pas seulement en mer, où l'observateur n*a recours
qu'aux astres ou bien à des points de repère qu'il se fait lui-même :
elles servent également au voyageur qui explore des terres in-
connues, et c'est sous cette seconde face que nous envisagerons ce
sujet en terminant.
L'estime a pour bul de mesurer directement et à tout instant la
vitesse et l'orientation de la route. Elle a pour instruments le
loch, la boussole et les cartes marines. A la rigueur, on fait route
avec l'estime seule, et c'est même là la seule ressource du naviga-
teur lorsque le ciel est masqué par des nuages. Les observations
astronomiques ont pour but d'obtenir à certains moments la posi-
tion du navire avec une précision supérieure, et de rectifier ainsi
l'accumulation dangereuse des erreurs inhérentes à l'autre procédé;
elles donnent à la navigation la sécurité et la célérité aujourd'hui
si nécessaires. C'est la plus belle application qui ait jamais été faite
des sciences aux grands intérêts des nations.
348
LIVRE VII. — CHAPITRE XXXV.
CHAPITRE XXXV.
NAVIGATION PAR ESTIME.
Mesure de la vitesse. — Loch et Ampoulette.
Le bateau de loch est une planche de bois en forme de secteur
circulaire, lestée en bas par une bordure de plomb, de manière i
se tenir verticalement dans l'eau. Une corde d'environ 3oo" c$l
h-
r »■
Fig. 68.
Fig. 69.
^.
f^K
attachée en ^ à cetle planche et s'enroule par l'autre bout sur on
tour portatif. Quand on veut mesurer la vitesse du navire (iu
moins une fois par heure), on jclte. le loch à la mer; on attend
qu'il soit assez éloigné pour être à l'abri des remous de rarrière;
alors le timonier chargé de l'opération prend en main la corde,
laquelle porte des nœuds espacés de i5"*,43» et compte, pendant
un laps de temps de 3o% les nœuds qui lilent entre ses doigrts.
Comme 3o' est la cent-vingtième partie d'une heure, comme i5".43
est la cent-vingtième partie du mille marin, le nombre des nœuds
donne celui des milles que le navire parcourt en une heure.
Pendant celle opération, il faut que le bateau de loch oppose
la plus grande résistance possible à la traction; par conséquent U
NAVIGATION PAR ESTIME. 349
planche doit se tenir perpendiculairement à la corde. Dans ce but,
on attache la ligne de loch non seulement au sommet a, mais
encore à deux points 6 et c de la base, au moyen de deux bouts
de corde réunis par une cheville qui entre à frottement dur dans
un petit cylindre de bois d. Au contraire, quand on haie à bord
le bateau de loch, celui-ci doit opposer le moins possible de
résistance ; c'est ce qu'on obtient en imprimant à la corde de loch
une forte secousse qui dégage la cheville d et la fait tomber avec
les deux cordelettes bd et crf. Alors le secteur est tiré par le som-
met seulement et se couche sur l'eau.
Pour compter les 3o* réglementaires, on se sert tout simple-
ment d'un sablier qui a cette durée. Il est évident qu'une montre
à secondes vaudrait beaucoup mieux. Une seconde d'erreur
dans cet antique système est très admissible. C'est déjà, de ce chef,
une incertitude de j^ sur le résultat. Des expériences comparatives
entre l'espace mesuré au loch, près d'un rivage, et l'espace déter-
miné sur le rivage par des relèvements exacts, ont engagé les na-
vigateurs à réduire de i5"*,43 à i4">8 l'espacement réglementaire
des nœuds. Il y a donc encore là quelque erreur de —j—r = -^ 6^~
viron. Enfin le timonier exerce sans doute sur la corde du loch,
sans le vouloir, une certaine traction qui raccourcit la mesure, tan-
dis que la courbure de la corde elle-même (plus dense que l'eau de
mer quand elle est imbibée) doit s'allonger un peu. D'après cela,
ce moyen un peu primitif de mesurer la vitesse, capable de
donner de bons résultats quand on l'applique avec soin, com-
porte trop souvent des erreurs d'environ -^^ surtout pendant la
Duit et par les gros temps.
A raison de dix nœuds par heure, un navire parcourt en vingt-
quatre heures a4o', ce qui donne i a' d'erreur par jour et i** d'erreur
pour l'estime au bout de cinq à six jours de mauvais temps. Aussi
a-tron cherché à substituer au loch d'autres appareils nommés
sillomètres. Ce sont des moulinets à ailettes de diverses formes
qui sont plongés dans l'eau, à l'arrière, et prennent une rotation
dont les tours s'enregistrent d'eux-mêmes par un système d'ai-
^illes et de cadrans, dans la chambre même du capitaine. On n'a
qu'à déterminer par expérience la vitesse qui répond au nombre
de tours enregistrés dans un temps donné. Malheureusement ces
35o LIVAB VII. — CHAPITRE XXXV.
appareils n'ont pas donné jusqu'ici de résultats satisfaisants; on
a conservé, en conséquence, l'ancien procédé qu'il serait bieo
facile d'améliorer.
On n'a pas remarqué que le loch ne donne pas seulement la
vitesse : il indique aussi la direction de la marche du navire, direc-
tion qui ne coïncide pas toujours avec celle de l'axe de celui-ci.
Lorsqu'on marche à la voile, combinée ou non avec la vapeur, l'ac-
tion du vent sur la voilure se décompose en deux parties : l'unCt
parallèle à l'axe du navire, qui produit un mouvement de pro-
gression en ce sens; l'autre, perpendiculaire à cet axe, qui déplace
peu à peu le navire parallèlement à lui-même. La route suivie est
Fig. 71.
la résultante de ces deux déplacements; elle fait avec l'axe du
navire un certain angle d^ et se dessine sur la mer par un lai^e
sillon que l'œil suit à une assez grande distance. La boussole ne
donnant que la direction de Taxe, il faut mesurer la dérive et ajouter
ce petit angle à l'azimut du navire pour avoir la route réelle. Pour
cela, on fixe à l'arrière un petit cercle en cuivre avec une alidade.
Le diamètre zéro coïncide avec l'axe du navire, tandis que Palidade
mobile est dirigée par l'observateur sur le milieu de la houache.
c'est-à-dire du sillon dont nous venons de parler. Soient AS
{ftg- 71 ) la direction du méridien, Ac celle de l'axe du navire, AH
le prolongement de la houache AH, cAII' sera la dérive r/, S AH'
Tanglc de route V, SAc Taziinut de Taxe ou A. On aura, si .XJIesl
à tribord comme dans la figure, V = A — d, et à bâbord V = A -h</-
Évidemment Tangle de route est donné immédiatement par la
ligne de loch, lors(jue celle-ci est fixée au navire et que le loch csl
à la remorque. Il suffit pour cela de faire une modification très
simple à son groemcnt. Supposons qu'on ait noué à la corde de
loch un des deux brins 6 ou c {Jîg. 68) et que la chevillelte soil
NAVIGATION PAR ESTIME. 35l
ex^clusivcment fixée à l'autre. Lorsque, après avoir mesuré la vi-
tesse à la manière ordinaire, on imprime une secousse à la corde
pour dégager la cheville, le loch, traîné par la tranche, continuera
à se tenir debout et se placera dans la direction de la moindre
résistance, c'est-à-dire dans le sens de la marche. On le maintiendra
ainsi à une distance de 3oo™ et l'on relèvera sa direction, soit au
compas, soit au sextant, ce qui vaut mieux, en rendant visible son
sommet au moyen d'une tige légère portant une carte blanche, comme
un jalon. Si l'on emploie le sextant, on mesurera la distance angulaire
du sommet du loch à un astre connu. On obtiendra ainsi l'angle
de route, dérive y comprise. Rien n'empêcherait d'opérer la
nuit; on rendrait visible le haut du loch en y attachant une très
petite lanterne, sauf à le mettre avec précaution à la mer au lieu
de l'y jeter.
Le même procédé fournirait, à la surface de la mer, une direc-
tion connue qui remplacera assez bien la ligne d'horizon si souvent
masquée par les brumes. La hauteur du signal placé au sommet du
loch au-dessus de la mer étant A, et H celle de l'œil de l'observa-
teur, l'inclinaison de cette ligne aura pour tangente —x ; elle
sera donc sensiblement de 3438' —5 • Sans doute l'agitation de
la mer fait varier à la fois H et /i, mais, en temps calme, l'oscillation
de la houle ne dépasse guère i", et ne produit qu'une variation,
de 1 1' dans la direction de cette ligne de visée. Cet effet sera même
considérablement réduit si l'on s'attache à observer la position
moyenne du point de mire éloigné.
Nous avons montré ailleurs qu'on peut tirer un autre parti du
bateau de loch en lui adjoignant une boussole qui, placée loin
de l'influence du fer du navire, donnera la direction de l'aiguille
aimantée et l'azimut magnétique vrai de la route suivie.
Boussole.
S*il n'y a pas de fer à bord, la boussole obéit à la seule action
directrice du globe. L'aiguille aimantée est placée dans une boite
cylindrique lestée, suspendue à la Cardan et fixée à l'arrière sous
Fœil du timonier. Au moyen d'une chape en pierre dure, elle
35a LIVRE VII. — CnAPITRB XXXV.
repose sur un pivot très aigu autour duquel elle tourne librement.
Elle-même porte deux pièces : d'abord un disque mince en mica
sur lequel est tracée la rose des vents ; ensuite un petit contre-poids
destiné à la faire tenir horizontalement. C'est un système sem-
blable à la boussole de l'arpenteur; seulement c'est ici raîguillect
non la boîte qui porte le limbe divisé, et l'alidade est remplacée
par une ligne de foi tracée très visiblement sur les parois de la
boîte, dans la direction de l'axe du navire. Comme cette boîlcel
la ligne de foi font corps avec le navire, tandis que Taiguille et son
cercle divisé sont entièrement libres, si le navire vient à tourner
horizontalement d'un certain angle, la ligne de foi tournera de cet
angle, tandis que l'aiguille et la rose des vents resteront immobiles
dans la direction que leur assigne la force directrice du globe. La
ligne de foi viendra se placer devant une certaine division de la
rose des vents et fera connaître ainsi l'azimut du navire, compté à
partir du méridien magnétique, si l'aiguille se tient réellement dans
ce plan-là.
Conformément à une vieille tradition, les azimuts se comptent
sur la boussole en deux sens opposés à partir de quatre divisions
cardinales S, O, N, E. Les azimuts sont désignés, non par des
nombres, mais par des noms propres, tels que nord-nord-est,
nord-quart-nord-ouest, etc. C'est ainsi que jusqu'à la fin du siècle
dernier les astronomes comptaient les longitudes écliptiques i
partir de douze origines distinctes, portant chacune un nom propre
et comprenant entre elles un signe ou So**. Cet antique système
était bon autrefois, lorsqu'on ne tenait compte que de quatre direc-
tions; il s'est appliqué sans trop d'efforts à huit, mais il est devenu
intolérable lorsqu'on a été obligé de recourir à seize et surtout à
trente-deux directions. Les trente-deux divisions actuelles de b
circonférence portent le nom de riimbs et valent 1 1® i5'. Le rumb
à son tour se subdivise en huitièmes, valant i^i^'it,".
Voici la figure actuelle de la rose des vents {Jig^ 7a).
On intercale ces huitièmes, par exemple entre SOqS et SO. en
disant : SOqSJ, SOqSj, SOqSf, la numération procédant alor»
du sud, soit vers l'ouest, soit vers Test. Dans la région opposée,
elle procédera du nord pour les huitièmes de quart. Lorsqu'on fait
un calcul d'azimut astronomique par nos formules, cet angle est
obtenu en degrés comptés dans un sens unique (de gauche à droite).
NAVt«ATION PAR ESTIME.
à partir d'nne origine unique (le sud). Grâce à ces simples conven-
tions, il n'y a jamais d'embarras, d'ambiguïté ni de trouble pour le
calculateur. Mais, lorsqu'on donne cet angle de route au timo-
Fig. ;i.
nier chargé de maintenir le cap du navire dans la direction corres-
pondante, il faut opérer une véritable conversion, à l'aide d'une
Fie 73-
table spéciale, pour traduire cet angle dans une langue baroque,
sous prétexte que le timonier n'est pas capable d'en comprendre
d'autre. Il serait bien plus simple de graduer la rose des vents,
354 LITRE TH. — CHAPITRE XXXV.
comme on le fait pour tous les instruments divisés, que tout le
monde, à terre, comprend et lit sans diilGculté. Voici quelle en
serait la disposition (^fig^ 73). Les divisions, il est vrai, sont de
io°, mais on en appréciera très bien les dixièmes par un exercicede
quelques jours. Le timonier trouvera plus facilement sur cette rose b
direction de 3o2°, par exemple, que sur la rose actuelle la direction
correspondante dont voici le calcul :
o
%
H
36o
Azimut 3o2
Angle compté du sud vers l'est 58
Sud-est 4^
ï?
qEst 1 1. 15'
A peu près \ i . 45
ce qui donne au compas la direction SEqE|.
L'aiguille aimantée dévie ordinairement du méridien astro-
nomique d'un angle o qu'on nomme la déclinaison. En outre, Tin-
fluence des fers du navire produit une autre déviation D, non plof
générale comme la première, mais toute spéciale à la direction ac-
tuelle du navire ('). Ces deux angles étant pris positivement dan
le sens où croissent les azimuts, on aura, entre l'azimut astrono-
mique A et l'azimut apparent M qu'on lit sur la boussole, la rela-
tion
A = M 4- D 4- 0.
Les marins ont des caries qui donnent la déclinai>on |>our
qucl(|ues lieux du globe. Ils ont des procédés particuliers pour dé-
terminer la déviation D relative à un cap donné M(*). A ces cond-
tions les indications du compas serviront à maintenir le cap du
navire dans l'angle de route voulu. Nous verrons, en outre, quelt>
observations astronomiques permettent de déterminer fréqueniraeDi
celte correction D4-0, qu'on nomme la variation,
La naviji^alion par estime consiste donc à maintenir, à l'aide d»
gouvernail et de la boussole placée sous les yeux du timonier, 1^
navire dans un azimut donné, en sorte que sa route coupe .s}a^
(') Voyez pour Téludc de la dévialion mon Astronomie nautique.
NAVIGATION PAR ESTIME. 355
cet angle-là tous les méridiens qu'il traverse successivement; il
faut en outre mesurer d'heure en heure sa vitesse à l'aide du
loch.
Loxodromie et problèmes de route.
Courbe tracée sur une sphère et coupant tous les méridiens
sous un angle constant que nous désignerons désormais par V.
Toute courbe sphérique passant par le point X, L, et coupant
le méridien de ce point sous un angle V, a pour équations diffé-
rentielles
(i) dscos\=zd'kf
(2) ds sin\ := — dhsin'ky
l'angle V étant compté, comme les azimuts, de la partie sud du
méridien vers l'ouest, et les longitudes vers l'est.
Lorsqu'il s'agit d'une loxodromie, l'angle V est constant pour
toute la courbe ; dès lors on a, en intégrant l'équation (i) de X à Vy
(3) 5cosY=X' — >.
Entre (i) et (a), éliminons dsy ce qui donne
(4) t/L=:-tangV-^,
^ ' ° sin A
d'où, en intégrant (*),
(5) U-L = --tangV(4:^langîX'-^tangiX),
Pour exprimer en minutes de cercle le deuxième membre et se
(') Quand s est le chemin parcouru pendant quelques heures ou môme une
journée, on peut intégrer plus simplement cette équation en calculant sïn'k pour
la région intermédiaire, c'est-à-dire entre les limites X et Vy et en considérant
sin comme constant. Il vient alors
(L'— L)sin r= — -î sinV.
2
C'est la formule dont se servent les marins pour calculer le chemin de chaque
jour en longitude.
6
LIVRE VII. — CHAPITRE XXXV.
servir de logarithmes ordinaires, il faut le multiplier par
O/OQ
-p! — = 79i5',7, facteur dont le logarithme est 3»8g849-
On nomme chemin en colatitude la quantité V — \=zs cosV,
et chemin en longitude la quantité
L' — L = — tang V(^tangiX' — ^tang^X).
On simplifîera le calcul de la deuxième formule en se ser>'aDt
de la Table des latitudes croissantes dont nous avons donné un
extrait à la page 354 du Tome I, sous la forme 791 5', 7 logcot--
Les problèmes de route sont : i® déterminer Tangle de roule
quUl faut suivre pour aller de A en B, les coordonnées de ces
points étant connues; 2" connaissant s et V, c'est-à-dire la lon-
gueur loxodromique 5 parcourue à partirdupoint A sous l'angle V,
déterminer les coordonnées )/, L' du point d'arrivée.
V^oici, comme exemple, le calcul de 5 et Vpour la route de Brest
à New- York :
Coordonnée
Coordonnées
OeBroU.
de Ne V York.
X = 40*37'
V = 49-7'
L = 353* 10'
L' = a83«4'
X' - X = 8*4o* = 5jk>'.
losjlauiî 5" À. . 9.66171
l^»tT 0,CK>>il
L' — L = — 69*30' = — 4170'.
logdiff 8,9^>95i
logconsl 3,8981»»
lo-, L— L).
•>.,8(>8oo
3,r>joi i
loglaogV 0,73214
1^1 dirtVrence a — /. a\ant le si:nie -i-, il en est de même de
w>\ , l\ir cv>u>ot|uonl
\
U^^ V\'> \
» » »
u'>: \ — K
79-58'
9.M110
j -1600
î.^^.<
^r474^
i9^>
Vuï>.. j sHir ,illcr vU- l>rv>: i Ncu-Yori, il faut sui%-re rarimut
PAR BSTIUB.
35?
loxodromique de 80°. On donnera donc l'ordre au limonier de
mettre le cap surl'OqSO, i°0 de la rose des vents. L'arc de loxo-
dromie à parcourir sera de agSS milles et, à raison de iH nœuds
par heure, le paquebot fera cette traversée en 9 jours et demi.
Uaage des cartes marines.
Ces problèmes se résolvent aussi graphiquement à l'aîde des
cartes marines dont nous avons donné ta théorie dans le Tome I.
On sait que les angles sont conservés sur ces cartes, et que les
arcs de loxodromie y sont figurés par des droites. On aura donc
immédiatement la roule de Brest à New- York en tirant une droite
d'un de ces points à l'autre, et en mesurant au rapporteur l'angle V
sous lequel cette droite coupe le méridien. Quant à la vraie lon-
gueur s de l'arc de loxodromie représenté sur la carie par la lon-
gueur dilatée ab {Jig- 74)t elle sera donnée par la construction
suivante.
,'
c
7
,J
Considérez qu'une portion a'b' de méridien, comprise entre les
parallèles X et V, est elle-même une loxodromie dilatée dans la
même proportion que toute autre loxodromie ab tracée entre les
mêmes parallèles; seulement, pour cette loxodromie particulière,
la carte donne immédiatement le rapport de dilatation.
En elTet, V se lit sur la graduation du méridien central, ainsi
que X; on a donc par V — X la vraie valeur de l'arc a'b' en parties
de ia circonférence. Prenez sur la graduation de l'équateur une
longueur égale à l'arc V — \ ainsi obtenu, et portez-la de a' en d
358 LIVRE VII. — CnAPITRB XXXV.
sur le méridien du point al\ puis, parle point d ^ menez cd parallèle
à bV \ ac sera la vraie grandeur de l'are de loxodromie représenté
en ab. Vous l'évaluerez en degrés et minutes en portant avec ud
compas la longueur ac sur la graduation de Téquateur.
Le problème inverse, étant donné sur la carte le point de départ
«, l'angle de route V et l'arc de loxodromie s que le navire vient
de parcourir, déterminer le point d'arrivée 6, se résout d'une
manière analogue. On prendra sur Téquateur un arc comprenant le
nombre de milles ou de minutes contenu dans 5, et on le portera en «c
sur une droite indéfinie tirée du point a sous l'azimut V. En la
projetant en aVsur le méridien central (qui porte les divisions), on
aura a'c' = s cos V=V — X. Évaluez a'c' en degrés et minutes en le
portant sur l'équateur; si vous retranchez ce nombre de degrt^s de V
vous aurez \, Or, sur la carte marine, le parallèle de colatitudeÀ
se trouve marqué en b' \ il sufiîra donc de mener b' b parallèle à de
pour obtenir en ab la représentation de s sur la carte et par suite
pour y marquer le point d'arrivée 6.
On a chaque jour des constructions de ce genre à faire sur la
carte pour y marquer le point d'arrivée, lequel devra scr\ir de
point de départ de la route à suivre ultérieurement. On comprend,
en effet, qu'il n'est pas toujours possible, à cause du vent, de la
dérive, etc., de suivre exactement la route prescrite. 11 faut donc
chaque jour faire le point, c'est-à-dire déterminer graphiquement
sur la carte la position du navire à une heure donnre.
Ces opérations commencent dès que le pilote a conduit le navire
en pleine mer en se guidant sur des bouées, des balises, des
phares, des repères familiers. La terre étant encore i*n vue,
le commandant, qui a repris la conduite de son navire, fait rele\er
des points connus sur la côte à Taide d'une boussole eniplo\êe
comme théodolite (compas de relèvement). Soient A et B deux de
ces points observés du navire C, par les azimuts V et W Les
azimutsdunavire,vudeces points, seront respectivement V -j- 180*,
V'-hi8o**. On trace deux droites sur la carte sous ces azimuts-là:
leur intersection en C donnera sur la carte la position du navire.
Tel sera le point de départ des opérations subséquentes.
On peut ainsi conduire par estime un navire jusqu'à rallerris-
sage. Toutefois les erreurs des évaluations des s et des V s'ac-
cumulent et finissent par atteindre un total fort dangereux. Si le
NAVIGATION PAR ESTIME. SSg
ciel reste couvert, si le navigateur forcé de renoncer aux observa-
tions astronomiques n'a, vers la fin de son voyage, que le résultat
de Testime journalière, il est tenu à beaucoup de prudence. Bien
avant le terme qu'il serait porté par l'estime à assigner à son
voyage, il fera faire de temps en temps des opérations de son-
dage (*) et enverra des vigies dans les mâts pour signaler la terre.
Lorsque la terre sera en vue, il se trouvera peut-être bien loin
du port. A l'aide de vues panoramiques des côtes, il tâchera de re-
connaître les signaux naturels qu'elles peuvent présenter, de manière
à déterminer la vraie position de son navire et se mettre en état
d'atterrir.
Dans les conditions ordinaires, on ne peut guère gouverner
qu'à 2** ou 3** près, et déterminer la vitesse linéaire qu'à j^,. Au
bout d'une dizaine de jours de navigation à la nœuds par heure,
on ne saura guère, par l'estime seule, autre chose que ceci : le navire
doit se trouver quelque part dans un cercle de 4° de rayon ayant
pour centre le point marqué sur la carte comme étant la dernière
position estimée.
(*) Les cartes à grand point que tout navire emporte pour les régions qu'il doit
visiter donnent l'hydrographie des côtes, c'est-à-dire les profondeurs de la mer
à plusieurs distances du rivage.
3Go LIVRE VII. — CHAPITRE XXXVI.
CHAPITRE XXXVI.
INSTRUMENTS DE LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE.
Elle a pour but de déterminer chaque jour la position exacte da
navire à Taide d'observations célestes, de manière à rectiGer l'es-
time et à éviter l'accumulation de ses erreurs. On navigue alors à
quelques minutes et non plus à quelques degrés près. Les instru-
ments qu'elle emploie sont le sextant, le chronomètre et la Co/i-
naissance des Temps publiée d'avance, chaque année, par le
Bureau des Longitudes. Les inconnues à déterminer par robsenra-
tion sont \ et L = H — H^, c'est-à-dire la colatitude, l'heure du
lieu et celle de Paris au même instant. L'estime ne sert plus qu*i
fournir chaque jour des valeurs approchées des inconnues A et L,
ou plutôt le chemin fait à partir de la dernière détermination as-
tronomique. Nous aurons, par rapport à l'heure de Paris H^, à
exposer deux méthodes : i" celle des chronomètres ou montres ma-
rines qu'on règle sur l'heure de Paris avant le départ, et qu'on sup-
pose devoir marquer ensuite celle heure pendant tout le vovage;
2® la méthode plus sûre des distances lunaires dans laquelle les posi-
tions observées de la Lune, comparées avec les positions calculées
pour l'heure de Paris dans la Connaissance des Temps» donnent
toujours H^ avec certitude.
Le sextant.
Ix)rsqu'un rayon de lumière tombe sur un miroir, il est réfléchi
en faisant un angle de réflexion égal à l'angle d'incidence. Si l'on
fait tourner le miroir d'un certain angle, le ravon réfléchi change
de direction et tourne d'un angle double. On s'est ser\'i de celte
propriété pour construire des instruments destinés à mesurer les
INSTRUMENTS DE LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE. 36l
angles entre deux objets, Pun vu directement par la lunette,
l'autre vu par la même lunette, mais par réflexion sur un miroir
placé sur le trajet des premiers rayons et ne couvrant que la
moitié de Tobjectif. Ces instruments étaient inapplicables en mer,
car le moindre mouvement du navire,' en déplaçant le miroir, fai-
sait dévier d'un angle double les rayons réfléchis, et empêchait
ainsi la superposition des images des deux objets. Mais, si au lieu
d'une seule réflexion on en emploie deux, les choses changent
complètement; la direction d'un rayon doublement réfléchi devient
indépendante de la position des deux miroirs; pourvu que Tanglede
ceux-ci ne change pas, on peut faire tourner leur ensemble sans
que le rayon émergent, après deux réflexions, change le moins du
monde de direction. Un instrument fondé sur ce principe aura
donc l'avantage de n'avoir pas besoin d'une installation fixe.
Dans Xdijig, yS, où il s'agit de la mesure de l'angle AOB, le
rayon AO est doublement réfléchi par les deux miroirs M, m et
se trouve ainsi amené dans la direction mO, Menons les normales
Ï^ • ^
ig. 7a.
MO' et mO'aux deux miroirs; la première sera la bissectrice de
l'angle AMm, la seconde celle de l'angle Mm O. Le triangle MmO'
donne
le triangle MmO donne
2a = 0 4-2^;
donc O = 2O'. Si l'angle O' des deux miroirs reste constant, de
quelque manière qu'on présente leur système au rayon AO, la di-
rection du rayon émergent, après deux réflexions, sera BO ou une
parallèle à cette droite.
Pour construire sur ce principe un instrument de mesure angu-
laire, il suffit de placer une lunette sur le trajet 0/nB, de manière
- CHAPITBE XXXTI.
à viser directement l'objet B, vu par-dessus le miroir m (') etâ
l'aide d'une partie de l'objectif, puis de faire varier l'aogle des
deux miroirs de manière à amener, par deux réflexions, les rayons
venus de l'objet A dans la direction B/»0. L'image de cet objet
sera vue dans la lunette par l'autre moitié de l'objectif. LorMjiw
les deux images se trouveront en coïncidence, l'angle des deux di-
rections AO et BO sera égal au double de l'angle des deux mi-
Cela posé, montons les deux miroirs et la lunette sur un châssit
portant un arc de cercle divisé et. au centre de ce cercle, un pivoi
autour duquel le miroir M puisse tourner, entraînant a\ec lui une
alidade à vemier. tandis que le petit miroir reste invariabtemeot
fixe au cbâssis : on aura le sextant, inventé d'al'ord par Newloa.
puis par GodtWv. de Pcnn^vlvanie, et enfin par lladlev.
L jn^lo actuel des deux mirvïirs est donné par la lecture de U
livÎMii» qui njv;!,| i h d-reviion de l'alidade: il se lit sur W
INSTRUMENTS DE LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE. 363
limbe divisé ; en le doublant, on a Tangle des deux directions AO
etBO.
Cet admirable instrument est applicable à la mer; car, si le
roulis ou le tangage déplace les images des deux astres dans la lu-
nette que Tobservateur tient, il ne les séparera pas lorsqu'elles au-
ront été amenées à la coïncidence; elles ne feront que se mouvoir
ensemble dans le champ de la vision.
L'origine de la graduation du limbe devrait êlre le point où se
place l'alidade quand les deux miroirs sont parallèles. Pour déter-
miner ce point, on dirige l'instrument sur un objet très éloigné, le
Soleil par exemple. On en voit deux images, l'une directe, Tautre
par double réflexion. On amène la seconde à coïncider avec la pre-
mière : la division u où s'arrête alors le zéro de l'alidade est l'ori-
gine des angles formés par les deux miroirs. Il faut donc retran-
cher 'j de toute lecture du limbe correspondant à un angle mesuré.
Le mieux, quand on opère sur le Soleil, est de mettre les deux
images en contact par leurs bords voisins, puis par leurs bords
opposés, et de prendre la moyenne des indications du vernier.
Comme vérification, la demi-difl*érence des deux lectures doit
donner le diamètre angulaire du Soleil.
Pour éviter de doubler les lectures du limbe^ on divise celui-ci
en demi-degrés et on les numérote comme des degrés entiers.
Rectification du sextant.
Pour que le théorème d'Optique mentionné plus haut se trouve
réalisé, il faut que la double réflexion s'opère dans un plan per-
pendiculaire aux deux miroirs. De là cette triple condition :
chaque miroir doit être perpendiculaire au plan de Tinstrument;
l'axe optique de la lunette doit être parallèle à ce plan.
I** Perpendicularité du grand miroir. — En regardant par
réflexion dans le grand miroir le limbe de l'instrument, l'œil étant
placé très près du plan de ce limbe, on verra en même temps une
portion de ce limbe directement, et cette même partie par ré-
flexion. Si la partie réfléchie n'est pas sur le prolongement de la
première, il y a un défaut de perpendicularité que l'on corrige à
l'aide des vis propres du grand miroir.
364 LIVRE VII. — CHAPITRE XXXVI.
Ce procédé, fort rapide, n'est pas rigoureux, parce que Fonl
doit se placer au-dessus du plan du limbe et ne le voit pas ainsi,
par réflexion, dans un plan exactement perpendiculaire au grand
miroir. Il faut donc élever le plan du limbe à la hauteur de Topil.
On y parvient à Taide de petites équerres égales nommées viseurs,
qu'on place sur le limbe de part et d'autre de Talidade, et d n
troisième viseur qui détermine la position de l'œil. L'opération se
fait d'ailleurs comme précédemment; il faut que l'arête supéri^me
du viseur réfléchi soit sur le prolongement de Taréte de celui qn'on
voit directement.
2* Perpendiculariié du petit miroir. — Si celui-ci n'est pas
perpendiculaire au plan du limbe, on ne pourra pas amener le
grand miroir, bien rectifié, au paralléUsme avec le premier. Quand
on [>ointera la lunette sur le Soleil, il nV aura pas moyen d*cn
faire coïncider les deux images. Il faudra toucher aux vis de rappel
du petit miroir en même temps qu'à celle de Talidade, de manière
à obtenir cette coïncidence.
3"* Les angles doivent être mesurés dans un plan perpendici-
laire aux miroirs et par suite parallèle au plan du limbe ; il fait
donc rendre Taxe optique de la lunette parallèle à ce plan. L'in-
strument étast fixé horizontalement sur une table, on visera, le lonç
du plan du limbe, Farête rectiligne d'un mur éloigné, et Ton
re^rdera ensuite par la lunette pour voir si cette arête se troou
entre les deux fils du réticule placé au foyer de l'objectif de la lu-
nette. Dans le cas contraire, on déplacera cette plaque à l'aide
d une \is sj^éciale jusqu'à ce que celle arête soit au milieu des fik-
Au tond« Taxe optique ne joue pas ici le même rôle que dans \t>
autres instruments de mesure. La croisée des fils des lunettes or-
dinaires est remplacée, dans celle du sextant, pair deux fils paral-
lèles, assex écartés, entre lesquels doivent être maintenues le*
imap^s: nuis celles-ci peuvent occuper toutes les positions dans
la Ivàude limitée par ces fils.
Nous ne jxiHerons pas du prismatisme des miroirs. Il est ladk
de s'assurer que les miroirs ont leur> faces parallèles en v regar-
dant, a\ec une lunette, un astre par réflexion. Si le miroir est prr*-
mativjue, on \erra deux images, et alors il faudra refuser le miroir.
De même, les \emrs obscurcissants qu'oo interpose sur le trajet des
raxons du Soleil p«>ttr affaiblir son éclat et le rendre comparable à
INSTRUMENTS DE LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE. 365
celui de la Lune dans la mesure des distances lunaires, ou à celui
de l'horizon de la mer quand on mesure une hauteur, doivent être
rebutés si leurs faces ne sont pas parallèles.
Mesure des hauteurs angulaires.
Le sextant sert à mesurer la distance angulaire de deux points
quelconques ; mais son application principale en mer est la mesure
des hauteurs comptées à partir de la ligne d'horizon. L'observateur,
tenant le limbe de l'instrument dans le vertical de l'astre, pointe la
lunette sur la ligne d'horizon ; puis, en faisant tourner l'alidade, et
par conséquent le grand miroir, il amène l'image deux fois réfléchie
de l'astre dans le champ de la lunette. S'il s'agit du Soleil ou de la
Lune, il établit le contact du bord supérieur ou du bord inférieur
avec la ligne d'horizon. La division du limbe à laquelle s'arrête le
zéro de Talidade donne, sauf correction pour le point de parallé-
lisme des miroirs, la hauteur angulaire du bord observé au-dessus
de l'horizon de la mer. Pour avoir la hauteur vraie, comptée à
partir du plan horizontal de l'observateur, il faut retrancher la dé-
pression, élément réduit en Tables qu'on trouvera plus loin. Le
complément de cette hauteur vraie est la distance zénithale.
Hauteurs observées à terre.
La mesure des hauteurs angulaires, à terre, exige l'emploi d'un
horizon artificiel sur lequel on observe le Soleil par réflexion avec
la lunette, tandis qu'on amène l'image directe dans le champ par
M
double réflexion. On obtient ainsi le double de la hauteur de l'astre
observé, ainsi qu'on le voit en jetant un coup d'œil sur la y?^. 77.
366 LIVEE vil. — CHAPITEE XXXVI.
Le miroir est, d^ordinaire, un plan de verre noir qu*on place sur on
support et qu'on rend bien horizontal à Taide d^un niveau. Il vaut
mieux recourir à un bain de mercure. On emploie ponr cela une
simple cuvette sphérique très peu courbe, en cuivre argenté, dans
laquelle on verse le mercure. Ce liquide mouille les |>arois de celte
sorte de vase, et, si on lui donne tout juste la profondeur nécessaire
pour éviter les effets de la capillarité, sa surface sera peu sensible
aux petits mouvements de l'air. Lorsqu'on est forcé de le recouvrir
d'une glace, il faut faire deux obser\^ations de hauteur en donnant
à la glace deux positions symétriques, c'est-à-dire en la tournant
dans son plan de 1 80°, pour que la moyenne des deux hauteurs soil
indé|>endante du défaut de parallélisme des faces de ladite glace.
Degré de précision d'une mesure an sextant.
Supposons un sextant bien divisé et exempt d'erreur d'excen-
tricité, des miroirs bien plans, à faces bien parallèles, des verres
obscurcissants irréprochables. 1® Il faudra le rectifier par une série
d'opérations qui laisseront quelques défauts. De là une première
source d'erreurs très petites dont les mesures seront affectées plu>
ou moins, suivant les cas. 2^11 faudra déterminer le point de parallé-
lisme des miroirs, point qui sert d'origine aux divisions du limite.
Cette opération comporte une nouvelle erreur fort petite, mais n«>D
nulle en gZ-nt-ral. Il y aura encore : 3* l'erreur de pointé ; 4" l erreur
due à rinclinaison dont nous venons de parler; 5° l'erreur de leclure
du vernier. qui donne les n»', mais sur lequel on appréci*^ fort bien
les j "; 6* rerroiirde la d/pression. Admettons, pour fixer \r> idée^.
que toutes ces erreurs soient de j' et qu'elles aient bien le carac-
tère d'erreurs aociilonlellos. Alors Terreur probable d'une me>ur'
de hault'ur au sextant, avoc un bon instrument et dans des iiro»n-
slancos favoraLKs, sera ir^ 5-XÔ=zi 12". 4 ou irzo'.a.
Si !e> errours svstématiaues sont réellement négliireables. It»>
obser\alion> n ttanl plus exposées qu'à des erreurs accid^nlclli'*
depoinlô et do lecture, on p3r\ientà réduire notablement l'orrear
susdite rn recommençant la même mesure m fois de suite, avec le
même soin, et en prenant la moyenne des résultats. L'erreur pro-
INSTRUMENTS DE LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE. SGj
bablc de cette moyenne sera ± -7=* Avec quatre mesures seule-
ment, on réduirait l'erreur à o', i (*).
A terre, on obtient naturellement plus d'exactitude; en outre,
comme on mesure le double de la hauteur, l'erreur probable de la
hauteur simple sera réduite de moitié. L'erreur probable d'une
mesure double étant de 7'' à 8", on parvient à réduire cette erreur à
2." ou 3'' par un nombre modéré d'observations.
Il faut pourtant reconnaître au sextant un vice réel ; c'est que
son limbe ne s'étend pas à une circonférence entière. Il n'est pas
possible d'éliminer l'erreur d'excentricité et une partie des erreurs
de division par l'emploi de deux verniers opposés (t. I, p. 82). Les
dilatations doivent en altérer plus ou moins la figure. Le cercle à
réflexion de Borda lui est donc bien supérieur quand il s'agit de
mesures délicates. On préfère néanmoins le sextant, parce que la ma-
nœuvre en est plus simple; il est moins lourd et coûte moins cher.
Dépression de l'horizon de la mer.
Nous avons vu (t. I, p. 325) que la dépression géométrique a
pour valeur approchée
c? = 2o6265'
/2/i
en nommant /i l'altitude de l'œil au-dessus du niveau de la mer
et r le rayon de la Terre. La réfraction géodésique élève un peu
cette ligne d'horizon. Pour en tenir compte, il faut multiplier l'ex-
pression précédente par i / j m étant égal à 8,2.
On obtient ainsi le tableau suivant, où Ton peut prendre, à
vue, la dépression qui convient i\ la hauteur de Tœil de l'observa-
teur.
(') Pour peu que la mer soit agitée et l'horizon mal Icrmint', cette erreur pro-
bablc devient beaucoup plus grande. La distance angulaire de deux astres s'obtient,
dans tous les cas, avec plus d'exactitude que les hauteurs : le pointé est bien plus
précis, parce que la ligne d'horizon n'intervient plus.
368 LIVRE VII. — CHAPITEB XXXVI.
Ifantenr DéproMloD MpreMloa
de rœil. 'géomélrlqna. ré«ll«.
1 1.56 1.48
2 2.44 2.33
3 3.20 3. 8
4 3.5i 3.37
5 4.19 4. 2
6.. 4-43 4*3^
7 5. 6 4.47
8 5.27 5. 6
9 5.47 5.25
10 6. 6 5.43
20 8.37 8. 4
3o 10.33 9.53
40 12. II 11.25
5o i3.38 12.46
100 19.16 18. 3
Chronomètres.
Les chronomètres ont même rouage que les montres ordinaires;
ils n'en diffèrent que par les dimensions et réchappemenl. Les
dimensions sont beaucoup plus grandes; destinés à être toujours
maintenus à plat, leur boîte en cuivre cylindrique est lestée de
plomb et reliée à une boîte extérieure carrée, en acajou, par une
suspension à la Cardan, comme celle des boussoles. Elles échap-
pent ainsi aux grands mouvements du roulis ou du langage, et par
suite aux inégalités de marche que les horlogers connaissent sous
le nom de variation du plat au pendu. Au lieu de Téchappe-
ment à cylindre des montres vulgaires ou de l'échappement à ancre
des bonnes montres, ils ont un système qui laisse presque con-
stamment libre rosclllation du régulateur. Celui-ci se compote d'un
balancier et d'un ressort, comme dans les montres; mais le balan-
cier est compensé par les variations de température, et le ressort
réglant est, non un spiral plat, mais un ressort en forme d'hélice.
Quant à la force motrice, c'est toujours un ressort $|>iral en-
fermé dans un barillet; celui-ci communique avec le rouage par
l'intermédiaire d\inc chaîne d'acier et d'une fusée destinée à com-
penser la variation continuelle de force d'un ressort qui se
détend.
INSTRUMENTS DE LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE. 869
Échappement libre à ressort.
En supposant que les oscillations du balancier autour de son
axe soient bien isochrones lorsqu'il est libre, réchappement doit
être conçu de manière que le balancier, passant par sa position
d'équilibre avec son maximum de vitesse, dégage une dent de la
roue d'échappement, en levant un petit arrêt qui reviendra de lui-
même à sa place. La roue d'échappement devenue libre tournera,
sous l'action du moteur transmise parle rouage, de l'angle compris
entre deux dents, et, la dent suivante rencontrant le petit arrêt, le
rouage s'arrêtera de nouveau.
ha Jiff, 78 représente le moment où la dent rf, qui bute contre
Fig. 78.
^0^
l'arrêt flr, va être dégagée par l'action du régulateur, dont l'oscil-
lation s'accomplit actuellement dans le sens de la flèche. L'arrêt a
est une petite pierre fine enchâssée dans un long ressort cf. Ce
ressort est poussé vers le bas par un doigt b fixé à l'arbre du balan-
cier; il entraîne l'arrêt a et dégage ainsi la dent d de la roue
d'échappement, qui commence à tourner. Mais, lorsque le doigt b
s'est éloigné, le ressort revient aussitôt en place et l'arrêt a est
choqué par la dent suivante d\ qui se trouve arrêtée à son tour.
Il ne faut pas "que, dans la seconde période de l'oscillation (de
sens contraire à la flèche), le doigt b du balancier rencontre la
résistance du ressort cf buté en a. Pour cela, on recourbe celui-
ci vers son extrémité c et on le recouvre d'un ressort beaucoup
plus faible (//', qui dépasse un peu le premier. Quand 6 vient dans
le sens de la flèche, il agit sur ce petit ressort, qui appuie sur le grand
et l'entraîne; quand b agit dans le sens inverse, il ne rencontre
II. 24
370 LITRE VII. — GHAPITa'B XXXT1.
que la très faible résistance du petit ressort d f ; il le soulève sans
déranger Tarrét.
Ainsi une dent de la roue d'échappement passe à chaque oscil-
lation complète du balancier, et presque aussitôt la dent suivante
vient buter, avec un petit bruit sec, contre l'arrêt a.
L'échappement doit remplir une seconde fonction, celle de res-
tituer au balancier la force vive qu'il perd à chaque instant par les
diverses résistances qu'il éprouve, de manière à entretenir son
mouvement oscillatoire. Pour cela, on fixe, sur un disque porté par
'axe du balancier {^fig> 79) dans le plan même de la roue d'échap-
pement, un petit taquet e en pierre dure destiné à recevoir le choc
de la troisième dent d" au moment où, la dent d étant dégagée, la
roue d'échappement se met à tourner.
Lorsque 6, qui commence à agir sur la détente, aura tourné du
petit angle nécessaire pour rendre libre la dent rf, le petit taquet e
aura dépassé la dent d' et recevra un choc de cette dent au mo-
ment où, la roue d'échappement étant devenue libre, la dent <f
se trouvera animée d'une \itesse linéaire plus grande que celle
de e. A tout autre moment, la roue d'échappement étant fixée dans
la position même de la figure, le taquet e, dont l'extrémité décrit
une circonférence qui mord sur celle de l'extrémité des dents,
passera librement entre les dents placées en d! et df ,
On voit que, si le chronomètre vient à s'arrêter, dans le cas,
par cxoniple, où Ton aurait oublié de le remonter, il ne se remettra
pas do lui-même en marche, comme les montres ordinaires, après
avoir été remonté. Il faut, pour mettre le balancier en mouvement,
INSTRUMENTS DE LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE.
3?I
obtenir un premier départ de l'arrêt a. Pour cela, on prend la
boîte du chronomètre entre les mains et on lui imprime, avec pré-
caution toutefois, un mouvement brusque de rotation, suflisant
pour dégager la dent rf.
Évidemment la régularité de la marche exige Pisochronisnie des
oscillations du balancier. Comme ces oscillations varient d'ampli-
tude, par suite des résistances variables avec le temps du rouage et
des pivots qui diminuent peu à peu l'action de la force motrice,
il faut que cet isochronisme ait lieu quelle que soit Tarn pli tude
des oscillations. Heureusement il y a deux manières de réaliser cet
Fi g. 80.
isochronisme. La première a été découverte par Pierre Leroy,
célèbre horloger français. Il a constalé qu'avec un ressort donné,
en forme d'hélice cylindrique, on peut toujours, en le diminuant
peu à peu de longueur, rencontrer à chaque spire une longueur
telle que les grandes oscillations aient même durée que les petites.
La seconde manière de réaliser l'isochronismc sans toucher à
la longueur du ressort est due à M. Phillips, professeur de Méca-
nique à l'École Polytechnique. Elle consiste à donner au ressort,
dans les deux parties où il dévie de la forme hélicoïdale pour aller
s'encastrer en haut dans le pont du balancier, en bas dans le corps
du balancier lui-même, certaines formes géométriques que l'ana-
lyse fait connaître et que l'art réalise avec une grande perfection.
Quand ces courbes terminales sont bien exécutées, les réactions
que les parties encastrées exercent sur la lame se réduisent à un
couple, et la figure du ressort, hélicoïdale à l'état de repos, reste
encore hélicoïdale dans ses contractions et dilatations successives
à l'état du mouvement. Le centre de gravité du spiral oscillant ne
cesse pas de coïncider avec son axe. Enfin les réactions latérales
des pivots sont nulles; en d'autres termes, les pivots n'ont aucune
3jl LITEB Tll. — CBAPITEB XXXTI.
tendance à exercer une pression latérale contre lears supports.
Tous les chronomètres construits diaprés ces principes ont une
marche régulière.
Réglage des chronomètres.
Un chronomèire doit battre à très peu près 864oo* par jour
solaire moyen. S'il en bat 86400 — niy m est le retard diurne ou
la marche diurne du chronomètre. Cette marche m, positive ou
uégalive, doit toujours être réduite à un petit nombre de secondes.
Pour obtenir ce résultat dans une horloge, on fait varier peu à
peu la longueur / du pendule. En eflety la durée t d'une oscillation
d'un pendule de longueur / est, en secondes de temps moven,
Vy
g étant rintensité de la pesanteur au lieu considéré. Or 7t est un
nombre constant; g ne varie pas tant que le pendule reste au
même lieu : il suffît donc d'agir sur /, de le raccourcir si l'horloge
retarde, de l'allonger un peu si elle avance, jusqu'à ce qu'enfin m
soit réduit au point jugé convenable. Cette opération est si simple,
qu'il n'est pas besoin d'un horloger pour l'exécuter.
Quant aux chronomètres, la durée d'une oscillation est
''V Ë'
formule où /représente la longueur du spiral, E son moment d'élas-
ticité, I le moment d'inertie du balancier. Dans les montres ordi-
naires se trouve une raquette qui permet d'allonger ou de raccourcir
quelque peu le spiral, et par suite de faire varier / de manière à
produire le même effet que sur le pendule. On parvient ainsi à
régler une montre ordinaire et à réduire sa marche diurne au taux
convenable. Mais, en agissant de même sur le spiral hélicoïdal d'un
clironoinèlrc, on altérerait, comme on l'a vu plus haut, Tisochro-
nismc de ses oscillations; c'est donc sur le facteur I, moraenl
d'inei'lie du balancier, qu'il faut opérer pour en faire varier quelque
peu la durée. A cet effet, la barrette du balancier porte à ses deux
INSTRUMENTS DE LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE. 373
bouts des vis C et D à têtes très massives {Jig* 80). En les faisant
tourner délicatement à la fois (pour ne pas troubler l'équilibre du
balancier), de manière aies rapprocher, par exemple, du centre des
oscillations, I diminue et par suite la durée de Toscillation devient
moindre. On réussit par là, au moyen de tâtonnements d'une grande
délicatesse qui ne peuvent être confiés qu'à un homme de l'art, à an-
nuler ou du moins à réduire la marche d'un chronomètre. Un astro-
nome règle sa pendule quand il lui plaît; un marin ne doit jamais
toucher à son chronomètre, excepté pour le remonter.
Influence de la température. — Compensation.
Mais ce réglage des pendules ou des montres ne compte que
pour la température à laquelle on a opéré. A d'autres températures,
les chronomètres changent de marche comme les pendules, mais en
vertu de causes bien différentes. Pour une horloge, lorsque la tem-
pérature augmente, /augmente aussi ; coniine c'est la seule quantité
influencée, il suffit d'annuler l'effet de la température par l'artifice
bien connu de la grille compensatrice. On rend ainsi / invariable
à toute température. Dès lors une liorloge dont le pendule est muni
de cet appareil correcteur conserve la même marche l'hiver comme
Tété, ou du moins ne varie plus qu'en vertu de causes tout à fait
étrangères à la température. Il en est tout autrement des chrono-
mètres: les trois facteurs /, I, E varient à la fois avec la tempéra-
ture; / s'allonge quand celle-ci augmente; I augmente aussi,
puisque les masses qui composent le balancier s'écartent du centre
d'oscillation, et E, qui représente ici la force réglante et joue le
même rôle que g dans les horloges, diminue. Il n'y a donc plus
aucune analogie entre les montres et les horloges lorsqu'il s'agit de
la compensation.
L'effet le plus considérable vient de l'élasticité du ressort, c'est-
à-dire de la> force régulatrice; son moment diminue à peu près
de ^^ pour 1° d'élévation de température. Comme E figure au
dénominateur sous un radical dans l'expression précédente, l'aug-
mentation de durée d'une oscillation sera, de ce chef, de j^ ; et
comme il y a 86400 oscillations par jour exécutées sous l'action de
cette force* le retard diurne dû à un seul degré d'augmentation de
374 LITEB VII. — CHAPITJiB XXXTI.
température sera d^iine dizaine de secondes. Il s'en faat de beaa-
coup que la variation correspondante de 7 ou de I produise an effet
pareil. C'est donc la diminution de E qu'il faut compenser avint
tout, en diminuant le moment d'inertie dans une proportion bien
plus grande que TeOet directement exercé sur le balancier par la
dilatation de son anneau. On nV parviendrait pas en opposant
dilatation à dilatation comme dans la grille compensatrice des
pendules : il faut recourir à une combinaison encore plus sensible
à Faction de la chaleur. On Ta trouvée dans les lames formées de
deux métaux soudes et inégalement dilatables; ces lames se coar-
bent iortement sous la moindre impression de chaleur, au point
qu'on en a fait des thermomètres d^une sensibilité extrême.
L'anneau du balancier est coupé en deux points opposés A et B,
près de la barrette à laquelle sont fixées les extrémités des deux
demi-anneaux (///r- 79)- H est formé de deux lames courbes soudées,
l'une extérieure en laiton, l'autre intérieure en acier, cl portant
vers les extrémités libres deux petites masses m et ut'. Lorsque h
température croit, la courbure de ces lames augmente et les masses
/w, m' se rapprochent très sensiblement du centre. Le moment
d'inertie diminue ainsi bien plus qu'il ne le faudrait pour compenser
la dilatation de la barrette. Comme ces masses peuvent pisser cka*
cune le long du demi-anneau qui la porte, l'horloger cherche, par
un tâtonnement excessivement délicat, la position où il doit fixer
ces masses pour compenser les variations des facteurs / et I, el
surtout celle doE. Il opère successivement à deux températures très
diirt'Tcnles, o" et 3o" par exemple, et déplace les masses compensa-
trices jusqu'à ce qu'il ail obtenu la même marche dans les denx
cas.
Si Ton connaissait exactement la loi suivant laquelle E varie
avec la température, on chercherait la forme qu'il faudrait donner
au balancier pour compenser exactement les variations de E. Il
sudirait, en effet, que les petits changements Al el AE prodoits
par un même accroissement de température fussent proportionnels
à I et à E. Le chronomètre, une fois compensé à deux tempéra-
tures extrêmes, le serait aussi pour toutes les températures inter-
médiaires. Malheureusement celte proportionnalité n'exi<lc pas
ou ne se réalise qu'accidentellement; il en résulte qu^entre o** elîo*
le chronomètre prendra en général du retard; au delà de o* o«
INSTRUMENTA DE LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE. 875
de 3o^ il prendra de ravance, ou réciproquement. La compensa-
tion la mieux exécutée de cette manière laisse donc subsister une
partie de Tinfluence de la chaleur que les horlogers appellent
l'errewr^econe/aere^erreurdontles marins doivent tenircompte avec
le plus grand soin s41s veulent tirer bon parti de leurs chrono-
mètres. Par ce qui précède, on voit clairement que cette erreur
secondaire offre un caractère régulier; c'est une fonction plus ou
moins simple de grandeurs physiques susceptibles de mesure. Il
est vrai que la Mécanique et l'Analyse ne sont pas en état aujour-
d'hui d'en déterminer la forme a priori, en considérant la figure
des pièces, leurs dilatations, les variations de leur élasticité ; mais
nous étudierons cette loi par la voie de l'expérience, méthode
dont ce Cours présente plusieurs exemples.
Le chronomètre doit être débarrassé de son enveloppe et placé
dans une étuve dont on fait varier à volonté la température.
Lorsque la température de la première épreuve, o" par exemple,
est bien établie et maintenue constante pendant un temps suffi-
sant, on détermine la marche diurne du chronomètre en le com-
parant à une pendule astronomique à plusieurs heures d'intervalle.
On porte ensuite l'étuve à une température plus élevée, mais
très graduellement, car une variation brusque aurait pour effet
d'altérer la trempe ou l'élasticité du spiral. On détermine encore
la marche à cette température par de nouvelles comparaisons
avec la pendule de l'observatoire. En opérant ainsi successivement
à des températures bien connues, de o*' à 3o" par exemple, on
parcourt toute l'échelle des températures auxquelles l'instrument
sera exposé dans le cours d'une campagne ordinaire. On s'assure
d'ailleurs, en revenant aux températures initiales, que le chrono-
mètre reprend bien les marches déjà observées, en sorte que le
phénomène qu'on étudie n'est pas troublé par des influences étran-
gères.
Cela posé, pour découvrir la loi de ces variations, il suffit de
construire la courbe des marches, en prenant pour abscisses les
températures 0 et les marches m pour ordonnées. On obtient ainsi
un certain nombre de points par lesquels on fera passer une ligne
courbe, en s'attachant, non pas seulement à la continuité du trait,
mais aussi à celle de la courbure. La figure de cette courbe sera la
traduction géométrique de la loi cherchée. L'équation de cette
376 LITEB TH. — CHAPITEE XXXVI*
courbe, si l'on parvient à en découvrir l'espèce, sera rexpressîon
analytique de la loi.
On trouvera dans mon Astronomie nautique des tracés empiri-
ques de ces courbes pour des chronomètres différents. Ce sont de
véritables paraboles ayant leur axe perpendiculaire à la ligne des
abscisses. M. Lieussou, ingénieur hydrographe, à qui nous devons
cette importante découverte, a trouvé effectivement cette figure
parabolique dans les courbes de marche de tous les chronomètres
qu'il a étudiés. Or Téquation des paraboles, ainsi placées par
rapport aux coordonnées m et 6, est de la forme
ou bien
iii = a4-c(d — -)*,
équation qui se confond avec la première si Ton pose
a ^ 2 -h CT*, b^= — 2 CT.
La loi de l'erreur peut donc être énoncée ainsi : Tinfluence de 11
chaleur sur la marche d'un chronomètre est proportionnelle ta
carré de sa tem|>érature, comptée à partir d'un certain degré do
thermomètre. M. Lieussou a donné à ce degré le nom, peu usité
aujourd'hui, de température de réglage. Depuis lors, celte loi a
été vérifiée en tous pavs pour tous les chronomètres convenable-
ment étudiés; elle est universellement adoptée dans la pratique.
Outre l'influence de la température, les chronomètres sont
soumis à des causes diverses d'irrégularités dont les effets très com-
pliqués se développent avec le temps. Telles sont l'épaississemeot
des huiles, l'usure des pivots, les secousses, les mouvements gvTi-
toires imprimés au navire par le choc des lames, les trépidations
du propulseur, etc. Ces causes échappent à toute analyse; c'est à
elles que sont dues les anomalies que présentent souvent la marche
des meilleurs chronomètres et même leur arrêt.
Condnita des chronomètres i la mer.
Us doivent être enfermés dans une armoire à Tabri des Tariationi
INSTRUMENTS DE LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE. 3yj
notables de température. L'ofllicier chargé des montres les remonte
chaque jour à 9^, lit le thermomètre de l'armoire et calcule, pour
chaque chronomètre, la marche diurne parla formule
Avant le départ, on a déterminé, par des observations astronomi-
ques ou par le télégraphe, le retard e du chronomètre sur Theure
de Paris à une certaine date. Chaque jour on ajoute à ce retard la
marche diurne m, en sorte que, au bout de t jours après la date
susdite, le retard du chronomètre sera e + m 4- /w' + m"-4- . . . . On
sera donc en état de calculer ce retard pour une heure quelconque
d'un jour donné.
Sur les navires de l'État on embarque plusieurs chronomètres,
afin d'obtenir par leur accord ou leur désaccord un certain con-
trôle de leur marche et parer ainsi, jusqu'à un certain point, aux
chances de dérangement. Cependant ce procédé, bien préférable
à l'emploi d'un seul chronomètre, ne donne pas une garantie suf-
fisante pour peu que la traversée se prolonge au delà d'une certaine
limite. Il faut que le navigateur soit en état de se passer de ses
chronomètres et de déterminer l'heure de Paris par des observations
astronomiques.
La Connaissance des Temps.
Les Tables astronomiques du Soleil, des Planètes et de la Lune,
dues principalement aux travaux des astronomes et des géomètres
français, permettent de calculer, pour un instant quelconque, dans
les siècles passés ou dans les siècles à venir, les coordonnées de
ces astres. Mais ces calculs sont si longs, surtout quand il s'agit
de la Lune, que l'usage habituel de ces Tables serait absolument
impraticable pour les marins. Depuis deux siècles, époque où la
grande navigation a pris son essor, l'État a compris qu'il fallait faire
calculer d'aVance, pour les marins, les voyageurs et les astronomes,
des éphémérides donnant les positions du Soleil, de la Lune et des
principales planètes, de jour en jour, à une certaine heure (midi)
en temps moyen de Paris, de manière qu'on en pût tirer à vue, ou
par une simple partie proportionnelle, les coordonnées de ces
astres à une heure et pour un méridien quelconques. C'est dans ce
^jt LITEB Tri. — CSAPITftB XXXTI.
bai que le Bureau des Loagîtodes a été chargé de publier chaque
aunée. au moins deux ans d^avanee, la Connaissance iies Temps.
Elle donne pour chaque midi, temps moTen de Paris, les coor-
données éclîpliques el éqnalorîales du Soleil et des planètes.
Quant à la Lane. la rapidité et les inégalités de ses mouvements
sont telles qu'il a fallu resserrer beaucoup cet iptervalle. La Co/i-
naissance des Temps donne les coordonnées de la Lune d'heure
en heure, d*nn bout à Tautre de rannée, et de trois heures en
trois heures ses distances angulaires au Soleil, aux planètes \'isibles
et aux plus beUes étoiles. Einfin les coordonnées, les positions de
trois cents étoiles fondamentales sont calculées de dix en dix
jours.
La Connaissance des Temps publie en oulre les éclipses de
Lune et de Soleil^ les occultations des étoiles par la Lune et les
éclipses des satellites de Jupiter. On t trouve des Tables de réfrac-
tion, de parallaxe, et les positions géographiques les plus exactes
des principales villes et ports des deux hémisphères. On y ajoute
une instruction détaillée, pour les calculs d*ailieurs fort simples
qu'il faut exécuter lorsqu*on doit faire emploi de cette éphéméride.
Les navigateurs emportent avec eux le volume de la Connais-
sance des Temps dont ils auront besoin. Ils y puisent les coor-
données des astres qu'ils observent joumelleraent pour déterminer
leur position. Celles du Soleil sont exactes^ à la seconde près. Celles
des planètes n'ont pas tout à fait la même précision, mais les
erreurs des Tables ou des éphémérides ne dépassent guère 5^ ou 6*.
Quant à la Lune, les Tables de Hansen, qui ont remplacé celles de
Damoiseau, sont actuellement en erreur d'un quart de minute, el
cette erreur ira en croissant ; mais on leur applique une correction
empirique en attendant qu'elles soient remplacées par les Tables
purement théoriques de Delauna-. . Les données de la Connaissance
des Temps ré[>ondent ainsi à toutes les exigences de la pratique.
Finalement il faut considérer les coordonnées des astres, telles
qu'on les déduit, à vue ou par interpolation, de la Connaissance
des Temps, comme des données exactes; il n'y a donc lieu de se
préoccuper que des erreurs beaucoup plus fortes qui peuvent
affecter les observations.
>••••
PROBLÈMES DE LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE. 879
CHAPITRE XXXVII.
PROBLÈMES DE LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE.
Ils se réduisent à ces termes : déterminer, à un instant donné, par
les astres, la colatitude X, la longitude L, Tazimut A.
Comme L := H — H^, si l'heure de Paris est donnée par les
chronomètres avec une précision suffisante, le problème se ramène,
pour la longitude, à déterminer Theure du bord H.
Dans les formules de transformation (t. I, p. 5g),
(a) cos3=:cosXcos5 4- sinX sinocos.fl,
(5) sin^ cosA i=sinX coso — cosX sin8 cos AI,
(c) sin^ sinA = sin8 sin^ïî,
on voit figurer les trois inconnues X, H et A avec la donnée o
qu'on prend dans la Connaissance des Temps pour la date de
l'observation, et la distance zénithale z que l'on mesure. En
effet, s'il s'agit d'une étoile. Al = Hj -H iR; et s'il s'agit du So-
leil, M]= H^ = h -f- e. Or iR, ascension droite de l'étoile, ou e,
équation du temps, se trouvent dans la Connaissance des Temps,
et, si l'on doit passer par l'heure sidérale H,, le même recueil
donne le moyen bien simple d'en conclure l'heure H de temps
moyen.
Le problème se trouvera donc pleinement résolu par de simples
mesures de distances zénithales pour l'heure et la colatitude. Quant
à l'azimut d'un objet terrestre quelconque, il suffira de mesurer
la distance angulaire du Soleil à l'objet, à un instant donné, et de
déduire des formules (b) et (c) l'azimut du Soleil à cet instant.
On a vu (t. P*',p. i25)que,pourobtenir la colatitude indépendam-
ment de l'heure, et avec toute l'exactitude que comportent les
observations de distance zénithale, il iaut observer le Soleil tcès
380 LIVBB YII. — CHAPITBB XXXTII.
près du méridien, et que, pour obtenir l'heure indépendamment de
l'erreur à craindre sur la colatitude, il faut observer Taslre choisi
très près de Tazimut de 90° ou de 270**. De là la pratique adoptée par
les navigateurs : elle consiste à mesurer la distance zénithale do
Soleil à rinstant de sa culmination pour en déduire X, et à Tob
serrer le même jour, le matin ou le soir, aussi loin que possible
du méridien, pour obtenir l'heure.
Culmination.
C'est le point le plus élevé du parallèle diurne décrit par le
Soleil. Ce point serait dans le méridien du lieu si le o du Soleil
était invariable et si le navire ne faisait pas de route en colatitude;
mais ces deux circonstances ne donnent lieu qu'à des correctioos
très faibles, que nous négligerons d'abord. Voici en quoi consiste
Tobser^ation de midi. On commence robser\'ation avec le sextant
un peu avant midi: en d'autres termes, onamèneFimage doublement
réfléchie du Soleil en contact avec Thorizouparson bord inférieur;
puis, comme le Soleil continue à monter quelque peu, les deux
images se séparent. On rétablit le contact à Faide de la vis micro-
métrique, et on saisit bien aisément le moment où il se maintient
de lui-même sans qu*il soit besoin d*agir sur la vis : cVst celui
où la hauteur angulaire de Fastre atteint son maximum. On lit alors
sur Finstrument la hauteur h du bord observé. En désignant par
p,/>, ^ A la réfraction, la parallaxe et le demi-diamètre du SoleiK
on a, pour la distance zénithale méridienne,
CH>* — /* -r- p —p -r- i A = J«,
et on en conclut a par
m'
Cette formule répond à tous les cas, c*est-à-dire à toutes les
positions où Fobservateur peut se trouver sur le globe terrestre,
pourvu qu*on donne à z^ le signe + si Fon a observé au sud et le
signe — si Fon a observé au nord (t. I, p. ia5).
Inutile d'ajouter que, si un obstacle quelconque faisait manquer
PROBLEMES DE LA, NAVIGATION ASTRONOMIQUE. 38l
l'observation de midi, on la remplacerait par des observations cir-
cumméridiennes (t. I, p. i33).
Détermination de Thenre et de la longitude.
Le soir on mesure la dislance zénithale du Soleil à l'heure H^
du chronomètre. Soient z cette distance zénithale corrigée de la
réfraction et de la parallaxe, \ la colatitude obtenue en ajoutant, à
celle qu'on a observée à midi, le chemin parcouru dans le sens du
méridien. La même relation (a), résolue par rapport à iR, donnera
l'angle horaire du Soleil, c'est-à-dire l'heure solaire vraie. On
aura ainsi
sin J (-3 — 0 -hX) sin^(w H- o — X) = sinXsino sin'iiïï.
DciH = H„on conclut l'heure moyenne H par H = H^ — e, e étant
l'équation du temps fournie par l'éphéméride, et de H on conclut
la longitude par L = H — H^, H^ étant l'heure marquée par le
chronomètre.
Ona vu (t.I, p. 1 26) que l'erreur àcraindresurXaurad'autantmoins
d'influence sur ÏM conclu que l'observation aura été faite plus près
de l'azimut de 90** ou de 270°. On appréciera cette influence et celle
de l'erreur commise dans la mesure de z par la relation différentielle
, . , _- ClZ cl A
~ sinA tangA
Cette relation montre que, pour les mêmes erreurs dz et d\ et
les mêmes circonstances d'observation, c'est-à-dire à égalité d'azi-
mut, la précision de l'heure ainsi obtenue décroît avec la cola-
titude.
Azimut. Orientation.
Soient V l'angle de route, c'est-à-dire l'azimut où se trouve le cap
du navire, (A) la diflcrcnce d'azimut entre celte direcllonet celledu
Soleil, et A l'azimut du Soleil au même instant. On aura V = (A) -\~ A.
Si donc à un instant donné, II heure du lieu, on mesure Tangle (A)
à l'aide de la boussole de relèvement, fonctionnant comme théo-
38s LITKB Tir. — CBAPITRB XXXTII.
dolite, îl suffira, pour avoir V, d'ajouter à (A) Tazimut actuel du
Soleil. De H on conclut Tangle horaire M = H.,, puis on calcule A
par la formule résultant de la division de (6) par (c)
colAsiniH= — sinXcoto H-cosXcos^H.
Tariation du compas.
Si au même instant on lit, sur la boussole de Thabitacle, Tazimut
magnétique M' de la route sui\îe, et que Ton désigne par S la
déclinaison de Taiguille aimantée et par D la déviation due aux fers
du navire, on aura
M'4-D-h-S = V=Ah-(A),
relation qui fera connaître la variation D -f- 3, et même la déviation D
si S est connu pour le lieu de Tobservation.
Discussion de cette méthode.
Elle ne portera que sur Tobservation de la culmination du Soleil
ou de la Lune. Ce moyen de déterminer la colatitude est précieux
en voyage, parce qu'il n'exige même pas de montre. Si l'astre
obser\'é était une étoile, l'instant de la culmination coïnciderait
avec celui du passage au méridien. Il en est autrement lorsque la
distance polaire o varie avec le temps et quand l'observateur est
place sur un navire en pleine marche. Différentions l'équation (a)
par rapport à toutes les quantités qu'elle renferme en les considé-
rant comme des fonctions du temps :
siïïz -7- =(sin coso — CCS A sinocos.fl) -7-
cit ^ dt
do
4-(cosXsino — sinXcosScoSiH) -7-
-h sm A sin 0 sm Ai —7- •
at
A l'instant de la culmination, z atteint sa valeur maximum : par
conséquent -7^ = o. D'autre part,iH étant très petit, on remplacera
PROBLEMES DE LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE. 383
cosM par i et siniH par ôtôq)' ^^ exprimant Tangle M en minutes
d'arc. On a ainsi
d\ dZ
sinosinX a M
Il faudra perler celle expression dans celle de la réduction au
méridien (t. I, p. 128 et i33), ce qui donne, en remarquant que
sin(8 — X)= sin^;,» est bien peu différent de sin^^ ^) el en
représentant par R le dernier facteur de la précédente formule,
3438' sînX sin8,,j
2 sm^
Le calcul de K ne présente aucune difficulté. Les variations qu'il
comprend étant sensiblement constantes pour une heure entière,
on remplacera— ) par exemple, par — > en faisant A^ = i^ ou i5°
ou 900', et en mettant pour A5 la variation horaire de 8. De même
-jT sera égal au quotient du nombre de milles parcourus en une
heure par le vaisseau, dans le sens du méridien, divisé par 900'.
Quant à -rr-^ on a, s'il s'agit du Soleil,
iH = II/,H-L — e, d'où A^=i:AlIp4- AL — Ae,
expression où l'on remplacera AH^ par 900'.
S'il s'agissait de la Lune, on aurait
par suite
A^ = Mhp -H AL — A^.
Il est aisé de s'assurer que la correction qui en résulterait ne s'élè-
vera pas à 2', dans les circonstances les plus défavorables. On a
donc raison de la négliger à la mer. Pour des observations soi-
gnéesy faites à terre, il faudrait tenir compte de -7-
S84 LIVRE TII. — CHAPITRE XXXTII.
Détermination simnltanée de Theure et de la colatitnde.
Problème de Donves. Solution de Lalande.
La pratique précédente suppose un cîel découvert juste à Tin-
stant favorable. S'il en était autrement, on obtiendrait encore rheure
et la colatitude à Taide de deux distances zénithales mesurées k
des instants quelconques de la journée. C'est un problème fort
simple, dont un navigateur hollandais, nommé Douwes, a donné
autrefois une solution satisfaisante.
Soient z et z les distances zénithales du Soleil mesurées aux
heures H;, et H^ du chronomètre (H^ — e et H), — e' seront les
heures vraies en temps de Paris), o et o' les distances polaires,
Xi et L| les coordonnées estimées du navire à l'instant de la pre-
mière observation, enfin Aa et AL les changements en colatitude
et en longitude qui se sont opérés dans rinter\alle des deux obser-
vations. Si M représente Tangle horaire inconnu du Soleil au
premier instant. Tangle horaire au deuxième sera
JI-^i5iH; — e'-r-AL) — i5(Hp — e>,
ou .^^ -r- a, en désignant par a une quantité immédiatement calcu-
lable, et on aura les deux équations
oo> z' i^ co< 1 À — aV ^ co< w' — sin ^ À — A). ) siii o' cos {Al -r- 2 ),
entre les inconnues \ et M.
rS\ni> verrons plus loin «]ue la première équation représente, sur
la sphère, un cerele de ra\on r. que la deuxième est un second
cercle île ravon ^ l«':;èremenl d- formé. Ces deux courlu*> se cou-
perv^nl on deux poinl<, ce qui conslilue doux solutions. Mais il o'v
aura pvîs à lusilor entre K s deux valeurs qu'on en pourrait tiror
pour Jl, puisque nous a\ons déjà, par Testime, une solution ap-
pn.>ch e y, et l.,. d'où Von déviuit JI, 1= H., — e -^ L, .
Le plus simple esî de resoudrt* ces équations par les méthodes
d*appn ximaliou qu'on enseigne en Algèbre. Nous sui\Tons en cela
la voie tracée par Lalande. Des deux coordonnées que fournil
PROBLèMES DE LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE. 385
Tcslime, la plus sûre est ordinairement X|. Portons-en la valeur
dans les deux équations et désignons par M2, M'^ les valeurs qu'on
en déduira pour Tangle horaire. Si Xi se trouvait être juste, ces
deux valeurs du premier angle horaire seraient égales, c'est-à-dire
qu'on trouverait
mais, en général, ces deux équations donneront, par ce premier
essai, deux valeurs différentes. Désignons par â\ la petite correction
qu'il faut appliquer à )w|. Si Ton augmente "ki de dX, M2 augmentera
de -7— T r (t. I, p. 126), et M'2 de -:— 7;^ -T-n r,' O^ aura
sinXtangA^ ^ ^' sin(A h- AX)langA'
donc, pour déterminer la correction inconnue dX, l'équation de
condition
sinXtangA sin(X -+- AX)langA'
La correction d\ étant obtenue, les éléments relatifs à la première
observation seront X = Xi -f- dX, M = M2 H — :— r r ^ d'où ré-
sinXlangA
suite immédiatement la longitude L.
La formation de cette équation de condition exige le calcul des
deux azimuts par les formules rappelées plus haut. On y emploie
des tables à trois décimales.
Si l'on trouvait ainsi pour (?Aune valeur un peu forte, il y aurait
iieude craindre queles termes du deuxième ordre, omis dans le déve-
loppement de iîf, ne fussent pas négligeables (*). On regarderait alors
le calcul effectué comme une première approximation. En le recom-
mençant avec la valeur beaucoup plus exacte X^i -f- d\ on obtien-
drait, cette fois, une approximation bien suffisante.
(') La variation de^, correspondant à une variation dX de X, peutôtre en effet
développée en série suivant les puissances croissantes de dX. Le premier terme est
-r-T r ^X ; on admet ici que c^X est assez petit pour que les termes suivants
smXungA ^ r r 1
en (^X)', (dX)^... soient négligeables. Dans le cas contraire, on opère, comme
il est dit plus haut, par approximations successives.
il. 25
386 LIVRE VII. ~ CBAPITRB XXXTIl.
Influence des erreurs d'obserration.
Dans l'équation finale
Lsid(a -i- AA)langA smAtaDgAJ '
le second membre est affecté des erreurs commises sur les mesures
de z et de y. Pour que ces erreurs inQuent le moins possible sur
la correction conclue d\^ il faut agencer les observations de mi-
nière à rendre son coefficient aussi grand que possible. De là la
règle qui prescrit d*obser>'er dans deux directions azimutales fu-
sant entre elles un angle bien ouvert, et aussi près que possible
de 90^ {*y
On a retourné ce problème de toutes les façons sans réussir à
trouver de solution meilleure que celle de Lalande.
Droites et cercles de hauteur.
Nous avons vu qu*à Taide des cartes marines on substitue, as
calcul, des constructions graphiques fort simples pour résoudre les
divers problèmes de routes. On a cherché à en faire autant pour
les problèmes astronomiques. Cest à quoi l'on parvient aisémeot
en recourant à des cartes sl-^réographîques qui permettent de con-
struire avec la règle et le compas tous les problèmes de la Trigo-
nométrie sphêrique. Mais, comme ces projections ne sont guèrr
en usage à bord, on désirait utiliser les cartes de route ordi-
naires. Voici ce qui a mis les chercheurs sur la voie, il v a une
quarantaine d'années.
Le capitaine Sumner se trouvait, en iSSj. près de la côte dlr-
lande .à destinalîon de G^ennock^• sans avoir pu faire d'observa-
tion astronomique depuis qu'il avait dépassé le méridien de 3 i8*3o .
Dans la nuit du ij* décembre, le vent avant passé au sud-est
et Testime donnant 4^>o milles du phare de Tuscan« avec la terre
* Ea <ff<(. en m<^U(«4At ÙÀ, k f^ctccr «Se OÀ rxrriemt à
%ukK stnAsiaA'
PROBLÈMES DE LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE.
387
sous le vent, il gouverna est-nord-est, serrant le vent le plus pos-
sible. Quand le jour parut, rien n'était encore en vue. Vers io^3o™
seulement, le commandant put prendre une hauteur du Soleil.
Avec le chronomètre (un bon instrument), il calcula sa longitude
et trouva 339^4^' 9 mais, comme il avait fait près de 700 milles
sans une seule observation, la colatitude employée dans le
calcul de l'heure ne méritait aucune confiance. Pour apprécier
l'effet d'une erreur possible en colatitude, il calcula encore deux
autres longitudes, en partant chaque fois d'une colatitude de 10'
moins grande. Les trois points ainsi obtenus ayant été marqués
sur la Carte, Sumner remarqua qu'ils se trouvaient sur une même
droite dirigée est-nord-est et aboutissant au bateau-phare de Small,
et comme son vaisseau devait se trouver sur cette droite (bien en-
tendu dans la supposition d'une erreur nulle pour le chronomètre),
la route est-nord-est fut maintenue, et le capitaine Sumner eut la
satisfaction de se voir bientôt en vue du phare de Small.
La ligne à laquelle appartenaient ces trois points n'était pas ri-
goureusement une droite, mais l'élément à peu près linéaire d'un
cercle de tous les points duquel des observateurs auraient vu le
Soleil, au même instant, par la même distance zénithale que le
Fig. 81,
capitaine américain. En effet, considérons l'observateur situé en A
et mesurant, à l'heure moyenne H^, la distance zénithale ZAS = z
du Soleil. Menons la droite SC qui joint le Soleil au centre de la
Terre et qui rencontre le globe en s. L'angle ZCS sera la distance
388 LITRE TH. — CHAFITRB XXXTIl.
zénithale géocentriqne ou z. Cela posé, faisons toamer la figure
autour de la droite CS. Le point A décrira sur le globe un petit
cercle dont le pAle sera s, et dont le rajon s A aéra Tare qui mesure
l 'angle z.
Il est aisé de déterminer les coordonnées du point 5, point où
le rayon vecteur CS du Soleil perce la surface terrestre à l'heure H^.
D'abord sa colatitude Ps est é\'idemment égale à la distance
polaire 8 de Tastre. Ensuite l'angle horaire du Soleil à Paris
étant H^ — e, cet angle est égal à l'angle compris, sur le globe
terrestre, entre le méridien de Paris et celui du point 5. Comme
les longitudes géographiques se comptent, à partir du méridien de
Paris, en sens inverse des iH, 36o® — (H^ — e) sera celle du points.
Vous voyez qu'il est facile de marquer ce point sur une carte, et,
si elle est stéréographique, de construire le cercle de rayon z dont
le centre (sur la sphère) est en 5. Dire qu'à Theure H^ de Paris,
ou H^H-L d'un certain lieu, le Soleil avait pour distance zéni-
thale Zy c'est dire que l'observateur se trouvait quelque part sur
ce cercle. Une seule observation ne donne rien de plus.
On ne saurait tracer ce cercle sur une projection de Mercator;
sa transformée est bien trop compliquée. On peut du moins le
construire par points à l'aide de son équation.
Soient X et L les coordonnées inconnues Je l'observateur A;
l'angle horaire du Soleil à l'instant H^ sera Hp — e + L. On aura
donc l'équation
ces z = ces X CCS 0 H- sin X sin 0 ces ( H^ - - e -+- L ).
Elle s'appliquera à tous les points de la ciix^onférence susdite,
pourvu qu'on y regarde X et L comme des coordonnées courantes.
Cela posé, donnez à ). une série de valeurs arbitraires, distantes de
10' en 10', à commencer par la colatitude approchée que fournil
l'eslime, et calculez les L correspondants à l'aide de celte équation.
Les points ainsi déterminés et portés sur la carte marine seront
sur la courbe qui y représente le cercle susdit, et, comme il s'agit
cTune courbe à grand rayon, de 3o, 4o, 5o, . . . degrés, cette
petite portion de courbe se confondra sensiblement avec la tan-
j;enleAB (^/t£^' 82).
Pour tracer cette tangente sur la carte, deux points, calculés
PROBLÈMES DB LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE. SSq
comme nous venons de le dire, suffiront. Elle porte le nom de
droite de hauteur. Le navire doit se trouver quelque part sur cette
portion de droite un peu prolongée des deux bouts.
Il est facile de voir qu'elle sera perpendiculaire à la direction
Fif;. Sî.
azimutale où l'on a observé le Soleil. Cette direction est en effet A5
{fig* 8i)> trace horizontale du vertical du Soleil et rayon du cercle de
hauteur. Par conséquent, si on a déterminé Pazimut du Soleil (au
compas de relèvement fonctionnant, non plus comme théodolite,
mais comme une boussole dont on connaîtrait bien la variation), on
pourra se contenter de calculer un point de la droite de hauteur et
de mener, par ce point, une droite perpendiculaire à cette direction
azimutale.
Si, quelque temps après, à l'heure H' , le navire ayant fait le
chemin bX en colatitude et AL en longitude, on observe de nou-
veau le Soleil par la distance zénithale :;', on aura pareillement
ces;;' ^ cosXcosû' -\- sin Xsin8'cos(H^ — e' H- L),
X et L étant encore, sur la carte, les coordonnées courantes d'un
second cercle de hauteur. Remplaçons-le pareillement par une
droite de hauteur CD. Dès lors, à l'heure H^, le navire a dû
se trouver quelque part sur AB; à l'heure H' sur CD, et dans l'in-
tervalle il a décrit à la surface du globe une petite droite 5, sous
l'angle de route V, éléments qu'on déduit de A)., AL et de la colati-
tude de l'estime X, par les formules (p. SSy)
5cosV = AX,
5 sin V m — aL sin X.
La question est donc ramenée à ce petit problème de Géométrie :
3go LIVRE TH. — chapitre xxxvii.
mener entre les deux droites AB, CD, sous un angle donné V (avec
les méridiens de la carte), une droite EF de longueur s. Les points
E, F seront les positions du navire aux heures H^, H'p (').
On a varié ces constructions de toutes les manières ; mais comme,
après tout, elles exigent presque autant de calculs que la méthode
de Lalande, outre des constructions graphiques plus ou moins
embarrassantes y nous ne comprenons pas que les marins attachent
tant d'importance à ce qu'ils appellent les nouvelles méthodes.
Au fond, les droites de hauteur ne sauraient avoir d'utilité que dans
le cas particulier où s'est trouvé le capitaine Sumner, celui où Ton
doit atterrir avec des observations astronomiques incomplètes.
(^) Il esta remarquer que la seconde équation de la p. 384» relative à la méthode
de Lalande, ne se confond pas avec celle de la p. 889 et ne représente pas un cerck
sur la sphère quand l'observateur s'est déplacé.
■•••■
DÉTERMINATION DES LONGITUDES EN MER. SqI
CHAPITRE XXXVIII.
DÉTERMINATION DES LONGITUDES EN MER
Heure de Paris par le relèvement de points terrestres connus.
Lorsqu'on fait relâche dans un port dont la situation géogra-
phique est bien connue, le navigateur s'empresse d'en profiter
pour rectifier ses chronomètres. Par des observations de hauteur
du Soleil pribcs à terre, à l'aide d'un horizon artificiel, il détermine
l'heure locale avec précision et par suite l'heure de Paris. En la
comparant avec celle que donnent ses chronomètres, il obtient la
correction qu'il faut leur appliquer dans le reste du voj^age.
Lors même qu'on ne fait que passer à proximité d'un point
connu, il est facile de déterminer, par des relèvements au compas,
la position exacte du navire et sa longitude. Des hauteurs du Soleil
prises immédiatement après, à bord, donnent le même résultat que
si l'on avait opéré à Terre.
On voit combien il est utile de fixer très exactement, surtout en
longitude, la position de ces points qui se trouvent en vue sur
les trajets les plus fréquentés. Le Bureau des Longitudes a fait dé-
terminer avec précision, par des observations astronomiques, la
longitude de certains points principaux. Le transport des chrono-
liiètres, à partir de ces points, le long d'une côte étendue, donne
ensuite leur différence de longitude avec une foule de points moins
importants. On parvient ainsi à multiplier les données géographiques
qui peuvent être utiles aux navigateurs.
Aujourd'hui l'on possède, dans les câbles sous-marins qui unis-
sent les uns aux autres les centres commerciaux, un moyen de dé-
terminer les longitudes avec une précision bien supérieure à ce que
donnent les meilleures observations de la Lune. Dans peu d'années,
le réseau des stations utiles sera ainsi complété, au grand bénéfice
de la Navigation et de la Géographie.
392 LIVBB VII. — CHAPITBB XXXTIII.
Heure de Paris par les distances lunaires.
L^élément géographique le plus difficile à obtenir, loin des côtes,
c^estla longitude, parce qu'elle implique la connaissance de Theure
de Paris. Les deux seuls moyens applicables en ce cas sont les
chronomètres et les distances lunaires. Celles-ci sont la ressource
dernière du marin , la seule sur laquelle il puisse compter abso-
lument.
La Connaissance des Temps donne, pour tous les jours de
Tannée, de 3 heures en 3 heures du méridien de Paris, la distance
de la Lune au Soleil, aux planètes et aux étoiles visibles en même
temps qu'elle. 11 suffît de jeter les yeux sur l'un de ces tableaux
pour comprendre la méthode dont il s'agit. Ainsi, le 12 mai 1880,
on a :
Heure Distance
de Paris. de la C a^u O-
h o , g
o 35 . 1 1 . 36
3 36.32.3o
6 37.53.Î17
9 39.14.^7
I >. 40.35. 3 1
lî 41. 56. 38
18 43.17.48
21 4 4 • ^9 . 3
Si, le même jour, on mesure en un lieu quelconque, au sextant,
la dislance de la Lune au Soleil à ô^'o^o* heure locale, et qu*OD
trouve 39° 14' 27", on en conclura que Theure correspondante de
Paris était 9**o"o'. La longitude de la station était donc ai*'o"o*.
L'exactitude de ce procédé est fondée sur la rapidité des mouve-
ments de la Lune. Le tabicau-ci-dessus montre que, de 6^ à 9^,1*
distance des deux astres varie de i^ai^o", ce qui fait ^ seconde
d'arc par seconde de temps. Si donc la distance mesurée est en
erreur de 0^,5^ Thcure de Paris conclue sera en erreur de i*. En
mer, dans des circonstances favorables, on mesure ces distances à
o',i ou à 6" près : riieure de Paris peut donc être obtenue parce
procédé a 1 a' près.
DÉTERMINATION DES LONGITUDES EN MER. '6^'S
I*
Si Ton évalue la longitude conclue en arc, le rapport -^-^ de-
0)0
vient — ^=3o à peu près. Ainsi toute erreur sur la distance
observée produit une erreur trente fois plus forte sur la longi-
tude.
Observation des distances lunaires.
L'observateur, maintenant le sextant dans le plan des deux astres,
pointe sur Tun d'eux avec la lunette et amène dans le champ l'image
doublement réfléchie de l'autre. Les deux images étant placées entre
les fils parallèles au limbe, on met les deux disques en contact par
leurs bords et Ton note l'heure. Il y a là une condition essentielle :
c'est d'affaiblir Timage la plus brillante par l'interposition de verres
obscurcissants, de manière à les ramener toutes deux à la même in-
tensité. Alors le contact des deux bords du Soleil et de la Lune
s'effectue avec une véritable précision. Si au lieu du sextant on
emploie le cercle de Borda, la mesure de la distance sera indépen-
dante de toute excentricité; par des observations croisées, on éli-
mine l'erreur d'origine des divisions, c'est-à-dire du point de pa-
rallélisme des miroirs; par la répétition, on supprime les erreurs
de division et l'on atténue celle du pointé. Néanmoins, c'est là la
plus diflicile de toutes les observations astronomiques ; il faut une
adresse particulière et une grande habitude pour maintenir les
deux astres dans le champ de la lunette, malgré les oscillations du
navire.
Théoriquement, la seule difficulté de cette méthode consiste en
ce que les distances lunaires, observées à la surface de la Terre, ne
sont pas directement comparables à celles de la Connaissance des
Temps qui sont calculées pour le centre de notre globe. Il faut
donc les ramener à ce point par un chaugement d'origine dans les
coordonnées, et en tenant compte de la réfraction. En outre, l'ob-
servation donne la distance des bords, tandis que la Connaissance
des Temps donne celle des centres. De là une nouvelle réduction,
qui consiste à ajouter, à la distance des bords, les demi-diamètres
apparents des deux astres, en tenant compte de l'effet particulier
de la réfraction.
Soient donc Df cette distance des centres observée d'un point M
394 LITBE VII. — CHAPITBB XXXTIII.
de la surface du globe, 5, elz\ les disUnces zénilhales apparentes
des deux aslres S, el L, telles qu'on les observerait du même poinl
M, (A) leur différence d'azimut, Z le zénith en M, el construisons le
triangle sphérique Z S| L,, dont les sommets seront les projections
Fig. 83.
UoriaÀ>n^
des deux astres et du zénith sur la sphère céleste. Si l'on passe du
point M au point O, situé (en supposant la Terre sphérique) sur la
verticale MZ, les aslres ne sortiront pas de leurs verticaux primi-
tifs ZML|, ZMS|, et se projetteront seulement en d'autres points L
et S sur les côtés ZL{, ZS| de ce triangle. Leur distance L| Si, vue
du point M, que nous désignerons par D^ deviendra la distance LS
vue du centre de la Terre, distance que nous désignerons par D.
Dans le premier cas, les côtés ZL|, ZS| du premier triangle seront
les distances zénithales apparentes des deux astres, affectées de la
réfraction; dans le second triangle, les côtés ZL, ZS en seront les
distances vraies et géocen triques. Ces deux triangles, qui ont
l'angle (A) commun, nous donnent
(i) cosDi =1 cosc,cos3', -+- sin j, sinc'j cos(A),
(2) cos D = cosc cosc' -T-sin-3 sin3'cos(A).
Les distances zénithales w, d^ z^^ z\ sont connues; il suffira
donc d'éliminer cos(A) entre ces deux équations pour avoir D,
c'est-à-dire la distance géocentrique dès deux astres, celle qu*OD
doit comparer aux distances calculées d'avance dans la Connais-
sance des Temps pour obtenir l'heure de Paris.
Evidemment la difficulté de ces calculs ne git pas dans la combi-
naison des équations (i) et (2), encore plus faciles à résoudre que
DÉTERMINATION DES LONGITUDES EN MER. 3g5
celles du problème de Douces, mais dans le détail des correetions
de réfraction et de parallaxe qu'il faut appliquer ici. Nous allons
voir, en effet, que ces corrections doivent être obtenues avec plus
de précision qu'on n'en apporte d'ordinaire dans les calculs
d'Astronomie nautique, et qu'on ne saurait se dispenser d'y
tenir compte de l'aplatissement du globe terrestre.
Conditions d'exactitude.
Notre attention doit se porter en premier lieu sur Terreur com-
mise dans la mesure de D< . En différentiant (i) et (2) par rapport à
D, D< et (A), puis, en divisant les résultats membre à membre, on
trouve
,-^ sînxTsin:;' sinDi „,
dDzzz -. : — - . ' t/D,.
sini^jSin^f sinD
Pour le Soleil, dont la parallaxe est très faible, la réfraction l'em-
porte sur la parallaxe; aussi avons-nous placé S au-dessous de S|
dans la figure précédente ( c'est l'inverse pour la Lune). Le rap-
port-T — - est donc >• i, mais à peine différent de l'unité. De 10**
d 70° de distance zénithale, il varie de 1, 000254 à 1,000257.
Le rapport analogue pour la Lune est plus petit que i, et varie de
i à 0,082. Il en est de même de . ^: sa variation est encore plus
faible. Concluons de là qu'une petite erreur <iD<, commise dans la
mesure de la distance apparente, se reportera avec son signe et
presque sans altération (^tout au plus de un ou deux centièmes)
sur la distance conclue D. Si donc on négligeait, au commencement
du calcul, d'apporter quelque petite correction à D| , il serait per-
mis de l'appliquer après coup à D.
Considérons en second lieu les erreurs des distances zénithales ;
pour cela, exprimons D — D< en fonction des différences z — 5|,
y — zf^, et, pour abréger, désignons-les par les lettres j:, a, a'.
Remplaçons, dans l'équalion (2), D, 5, 5'parD<-+-j:,5|-ha,;;^-f-a';
développons les sinus et cosinus en traitant j:, a, a! comme de
petites quantités dont les cosinus peuvent être remplacés par i et
396 LIVRE VII. — CHAPITRE XXXVIII.
les sinus par les arcs correspondants. Il viendra ainsi
cosDi — j;sinDi=(cos-5| — o[sin^i)(cosy, — a'sin^i)
(sin5| -h acos2|)(sin3'^ -+- a'cos5j)co5(A).
Eflectuons les multiplications en omettant les carrés et les produits
deux à deux de x, a, et!. Après avoir supprimé les termes qui se
détruisent en vertu «le l'équation (1), on aura
a7sinDj = a[sin5|COS-5j — cos^tsin^'i cos( A)]
4-a'[sins'j cos5| — cosCj sin5|Cos(A)].
Or le triangle ZS< L| donne
sinD,cosS| r= sin^,cos>s', — cos-Sisin<5', cos(A),
sinD]SinLi -=2 sinz\ cos^i — coâ>Sj sin^|COs(A).
La relation précédente se réduit donc à
x-=ioL cosS| -h a' cosLi-
Ainsi la réduction x de la distance apparente à la distance géo-
centrique dépend uniquement de a et de a', c'est-à-dire des correc-
tions de réfraction et de parallaxe z — 2|, 2' — z\y et elle est
moindre que leur somme. Toute erreur sur z et Zt à la fois,
ou sur z' et z\ , sera sans influence, à moins qu'elle ne soit asseï
grande pour fausser notablement les angles L| et S|, ce qui esl
inadmissible. Il faut donc calculer avec soin les corrections susdites
de réfraction et de parallaxe, et ne pas oublier que toute erreur
finale commise sur D se reportera sur la longitude conclue avec le
facteur ^7, s'il s'agit d'une distance de la Lune à une étoile, et le
facteur 29 ou 3o, s'il s'agit d'une distance luni-solaire.
Cette même relation conduit à deux autres conséquences impor-
tantes. La première est qu'il n'est pas nécessaire de mesurer les di-
stances zénithales apparentes z^ et z\ des deux astres : il sufiil de les
calculer avec les éléments de l'estime ( à moins que le Soleil ne soil
bien placé pour donner l'heure du bord). Lorsqu'on se décide à les
observer, il faut qu'elles répondent à l'instant où l'on mesure U
distance D,,^ Trois observateurs sont alors nécessaires pour délcr-
DÉTERMINATION DES LONGITUDES EN MER. 897
minery en même temps, la distance et les hauteurs. S'il n'y a
qu'un seul observateur, il devra mesurer les hauteurs une première
fois, puis la distance, enfin les deux hauteurs une seconde fois, afin
que la moyenne des hauteurs soit sensiblement contemporaine de
la distance.
Effet de la réfraction sur les disques du Soleil et de la Lune.
La réfraction élève Tastre dans l'angle dièdre formé par les deux
verticaux qui le comprennent. Elle diminue ainsi le diamètre hori-
zontal d'une très petite quantité que nous négligerons. Mais, par
la différence des réfractions qui répondent au centre et aux bords,
elle aplatit un peu le disque dans le sens vertical et lui donne une
figure elliptique. 11 est facile de tirer des tables de réfraction la
quantité e dont le demi-diamètre vertical est ainsi diminué, et l'on
aura, à très peu près, pour le demi-diamètre situé dans la direction
de la ligne des centres S|L|, sur laquelle nous admettrons que le
contact des disques apparents s'opère,
J A| — e cos'Si.
S| est l'angle du triangle ZS|L|, qu'on obtiendra par la formule
cosz\ =:cos5ic6sA| -h sîn^| sin A| cosSi^
en calculant à trois décimales.
Dans l'exemple suivant :
iîi = 77042', y» = 45025', A, = 380 42'.
On a de plus
iA,z=i5'5i%4, e=6%i,
|A;=I4'54^8, e' = o%5.
D'après cela, le calcul des rayons réfractés se réduit à
loge 0,736 loge'... 9,726
logcos*Si 9,886 log cos* L| 9,555
0,672 9,281
Nombre 4', 7 Nombre o',2
JAi i5\5i,4 iA; 1^54% 8
I A' réfracté ... 0.46,7 | a; réfracté .. . i4'54',6
398 LIVRE VII. — CHAPITEB XXXVIII.
Ce sont là les demi-diamètres qu^il faut ajouter à la distance
observée des bords pour avoir celle des centres.
Résolution des équations du problème.
En premier lieu, il est bien aisé de traiter directement ces équa-
tions en passant des logarithmes aux nombres et réciproquement.
De (i) on tire la valeur de log cos(A) qu^on porte dans (2), et Ton
obtient ainsi log cos D et par suite D. En calculant à sept déci-
males, on aura D à la seconde près, à moins que D ne soit très pelit,
cas exclu d^ avance.
En second lieu, on peut rendre (i) et (2) calculables par loga-
rithmes en posant ^1 — z\ = ^i, z — ^ =: p ; elles prennent alors
la forme
sin J(D, — p,)sinJ(D, H- Pi)= sine, sin^, sin* ( — ) >
sin } (D - ?) sin » (D4- p) = sin z sine' sin» {^\ .
Divisons membre à membre; il vient
sin|(D — P) sini(D -h p)= sin^^D — sin'lp
sine sine'
= .in - .in -' sini(D. -?.)sin i(D. + ,3,>.
On introduit un angle auxiliaire ^ ^n posant
sine sine'
sin' 1 ? tang' <? = -j— -j— ^ sin i(D, - ?, ) sin 1 ( D, -f- ?, ),
alll ^j 3111 .M I
et Ton a finalement
sin J D =r sin J p sec 7.
C'est la formule de Borda. En voici l'application à l'exemple
suivant :
1880, mai 12, par L = 21**, X == 45**, à 6** temps moyen du
navire, la distance des bords du Soleil et de la Lune était de
SS'^ii'Sj''. La mesure des distances zénithales apparentes a donné
DÉTERMIXATION DES LONGITUDES EN MER. 899
S, = 77«4l'37^z; = 45*^25' 29^ (bar. 0^,76; therm. 4- io«). Cal-
culer la longitude.
Pour l'heure de Paris approchée, Hp = 9^, la Connaissance des
Temps donne
iA'= 14^45% 1, P=54'2%9
On en déduit les distances zénithales géocentriqucs :
Soleil.
Lune.
^t 77-41.37
P - 8,6
p H- ^.11 ,5
z 77.45.50
z\ 45 '25. 29
p' — 38.34,5 (»)
p' ■+■ 59,2
^' 44.47.54
Calcul de la distance apparente des centres.
Dist. des bords 38.11,3-
{ A| réfracté '5.47
^ A' réfracté 14. 55
D] distance des centres 38 . 4^ . 1 9
Formule de Borda.
^i 77.41.37
z\ 45.25.?9
p, 32. iG. 8
D| 38.42.19
D| — Pi 6. 26. II
Dj-f-P' 70.58.27
i(Dj— pi) 3.i3. 5,5
î(Pi-+-P,) 35.29.13,5
z 77.45.50
^' 44.47.54
p 32.57.56
ÎP 16.28. 58
logsinjp 9)4529009
logsin'lP 8, 9058018
(') C'est pour le calcul exact de cette parallaxe qu*il faut tenir compte de
l'aplatissement du globe terrestre (p. 288).
400 LIVRE VII. — CUAPITEB XXXTIII.
Formule de Borda,
logsin^ 9,9900201
logsin;;' 9,84795io
CMogsinzi 0,0100957
CMogsin^'j o, i473>94
9,9953862
log sini(D, — ?,) 8,749^613 logséc5> o,o73i5oi
logsin|(Di-+-?0 9, 7638168 logsinl? 9,4529009
CMogsin^? « ,0951982 logsinj D 9,526o5io
loglangîo 9,6026625 |D i9*.37'. ii'.î
loglango. 9,8oi33i2 D 39*. U'.m', \
o * 32*i9'46',i
Interpolation.
Diff — 4,6 ^diCr ' ^
h ■ » o 6628
Hp 8.59.49,8 log4',6
H 6. o. o
L 20 . 0.10
1,0093
Nombre 10^,2
Voyages d'exploration terrestre.
Les procédés sont ici les mêmes qu'en mer, ainsi que les instru-
ments. A la rigueur il suflîrail d'emporter un petit sextant avec
une petite coupe presque plate de cuivre argenté et une petite
Gole de mercure, une boussole de poche, un chronomètre de |>oclie,
un baromètre de poche, un ruban métrique et un carnet.
On vovage aussi par estime : le loch est remplacé par le temps
employé à parcourir les distances avec une vitesse supposée con-
stante et connue, celle de la marche au pas ou Tallure ordinaire
des montures. La boussole donne les directions et permet de re-
lever, de diverses stations, les points les plus remarquables en vue
Le vovageur terrestre, comme le navigateur, détermine de temps
en temps la colalitude en observant le Soleil à midi, ou quelque
étoile à sa culmination pendant la nuit. Il détermine l'heure par
une dislance zénithale, et la longitude par une distance lunaîrr
TOTAGBS d'explorations TERRESTRES 4oi
OU, si la lunette de voyage est assez puissante, par les éclipses des
satellites de Jupiter ou les occultations d'étoiles par la Lune.
On rectifiera de temps en temps la boussole en comparant
Tazimut magnétique d'un point de Thorizon avec son azimut
astronomique. Pour cela il suffira, si l'heure et la colatitude sont
connues, de mesurer au sextant Tangle compris entre l'objet et le
centre du Soleil, et de réduire cet angle à l'horizon.
Le baromètre donnera un nivellement, bien imparfait sans doute,
faute d'observations correspondantes en un point connu ; mais, si
l'on voyage dans les pays chauds, où les variations de la pression
atmosphérique ne sont pas aussi marquées que chez nous, l'erreur
ne sera pas considérable, surtout si l'on a soin d'éviter les mo-
ments de perturbation brusque de l'atmosphère et de noter les
heures pour être en état de tenir compte de la variation diurne.
Enfin on consignera sur le journal de voyage, à côté des obser-
vations astronomiques, des directions suivies, etc., on notera,
dis-je, les accidents de terrain et on y tracera autant que possibhr
des croquis panoramiques de l'horizon.
Le mieux serait sans doute de calculer immédiatement les obser-
vations, à l'aide de feuilles détachées de la Connaissance des
Temps pour l'année courante et d'une petite Table de logarithmes.
Cela n'est pas toujours possible; mais alors on s'astreindra à con-
signer sur le registre toutes les circonstances qui seront de nature
à aider plus tard le calculateur.
Dans certains cas, lorsqu'on tient à bien déterminer certains
points, on effectue au sextant une sorte de triangulation qu'il faut
appuyer sur une base. On mesure la base avec des règles qu'on
étalonne au moyen du ruban métrique. On a même réussi à s'en
procurer d'assez longues, de 3ooo"^ par exemple, par la vitesse du
son. On fait tirer un coup de fusil à l'une des extrémités; à l'autre
l'observateur note, sur sa montre à secondes, l'instant où il voit la
flamme et l'instant où le son lui parvient.
Dans une excursion rapide, les points déterminés astronomique-
ment ne se présenteront sans doute qu'à de grandes distances. C'est
par l'estime seulement, c'est-à-dire par des journées de marche
et des directions observées à la boussole, que l'on devra remplir les
intervalles. Chaque itinéraire partiel, partant d'un point connu A
ifiS' 84)»<^o"ipoi'^6^6s erreurs assez fortes qui se décèlent lorsqu'on
II.' aG
402 LIVRE VII. — CHAPITRE XXXVIII.
le reporte sur le papier, par Pimpossibilîté de cadrer avec le poioi
d'arrivée B, que je supposerai aussi bien déterminé que le premier.
Il faut opérer là une sorte de compensation des erreurs. Le pla*
simple procédé consiste à diviser l'itinéraire AB en deux partie-
équivalentes comme exactitude, et à reporter chaque tronçon sur
IVWWV. k'.\\VV>' vvvv^v»
la carte, en partant des deux extrémités bien détciminées. On ob-
tiendra ainsi, pour le milieu de la route, deux déterminations dis-
cordantes C, D, entre lesquelles on prendra un milieu. Il ne restera
plus qu'à dessiner de nouveau les deux trajets de manière à les
faire passer par ce troisième point, en altérant le moins possible les
distances et les directions.
Si l'expédition dispose de plus de temps et de ressources, je
conseillerai de substituer au sextant le petit théodolite de vovage de
M. d'Abbadie (voir la /?g^. 85).
Avec un pareil instrument on peut entreprendre des opérations
de Géodésie expédilive en tout semblables à celles qui ont permis
à notre célèbre Vovageur de faire, à lui seul, en quelques années, une
(>arte remarquablement exacte de Tempire abyssinien. Au lieo
d'un simple itinéraire dont les directions ne se relient que par des
azimuts observés à la boussole, le théodolite permet de procéder
par une véritable triangulation, accompagnée de la détermination
des azimuts des cotés principaux et d'un nivellement géodésique.
Les dimensions de l'ellipsoïde terrestre étant parfaitement connues,
toute mesure de base, sauf pour les détails, serait superflue. H
voTAOEg D 'exploration terbbbtue. ^oi
suffît d'avoir un certain nombre de points bien déterminés par
leurs deux coordonnées géographiques.
Tig. 85.
L'emploi du théodolite est infiniment plus commode que celui du
sextant. Les angles sont tout réduits à l'horizon; la direction du
méridien et l'heure peuvent être obtenues par la méthode si avan-
tageuse des hauteurs correspondantes; l'opérateur est autant que
possible à l'abri des accidents de son chronomètre.
M. d'Abbadie fait même remarquer avec raison qu'il est très
facile de se passer de la montre, qu'un accident de route peut
mettre hors d'état de servir, et d'obtenir néanmoins une colatitude
exacte par des observations circu m méridien nés, pourvu qu'à
chaque mesure de distance zénithale de l'astre observé on lise
l'azimut correspondant sur le limbe horizontal. Supposons que
l'origine des azimuts ait été déterminée d'avance par la méthode
des hauteurs correspondantes. L'équation
cosS = cosXcosj — sinXsin^cosA
donnera la réduction au méridien par la formule exacte
sini(=-=,„}^
4o4 LIVRE VII. — CHAPITRE XXXVIII.
oUi quand A est petit et exprimé en minutes d'arc, par la formule
approchée
I sînX sîn^ A'
'm
1 sinS 3438'
J'ajouterai que, même sans montre, il n'est pas impossible d'ob-
tenir la longitude par l'azimut de la Lune ou par une éclipse de
satellite de Jupiter. Considérons ces deux cas et supposons que
l'observateur, après avoir disposé son théodolite, observe à l'aide
d'une autre lunette portative plus puissante que celle de cet in-
strument une éclipse de ce genre, ou même une occultation
d'étoile. Au moment où l'astre observé disparaît, il compte zéro:
puis, mentalement ou à haute voix, il continue à compter en cadence
1 , a, 3, . • . , jusqu'à ce qu'il ait pointé la lunette du théodolite sur
l'étoile choisie pour donner l'heure par sa distance zénithale. Il
sufBra de retrancher de cette heure le nombre de secondes
écoulées entre les deux observations. Un observateur exercé
parviendrait ainsi à compter assez régulièrement pour ne pas se
tromper d'une demi-seconde sur une minute entière. L'instrument
le plus commode dans un voyage terrestre est donc le petit théo-
dolite. Nous recommanderons seulement à l'observateur d'abriter
l'instrument, le niveau surtout, au moyen d'une boîte en carton
blanc lorsqu'il opère sous les rayons du Soleil.
Le seul désavantage, celui de ne pouvoir mesurer les distances
lunaires pour la détermination des longitudes, sera amplement
compensé par l'emploi d'une autre méthode, celle des ascensioD<»
droites absolues qu'on obtiendra par l'observation des hauteurs
correspondantes de la Lune, alternant avec celles de quelque^
étoiles voisines.
Le seul défaut de l'instrument de M. d'Abbadie consiste dan»
la suppression qu*il a cru devoir y faire des vis de rectiGcation des
niveaux. Il serait bon de les replacer, d'autant que ces vis-là, re-
tenues par des ressorts antagonistes, ne risquent pas, comme
les autres, de se desserrer et de se perdre en voyage.
TABLEAU DU SYSTÈME SOLAIRE
ET
TABLES NUMÉRIQUES.
TAB LEAU DES PRINCIPAUX ÉLÉMENTS DU SYSTÈME SOLAIRE.
I. — Grandet planètet.
Époque : i" janvier i85o (*).
ROM.
HOTE!!
mouTein«nt
diarae.
DURÉE
de la réToInlloQ
stdérale.
DISTAJICB
moyenne
•u Soleil
EXCERTBI-
CITÉ.
Mercure
Vénus
La Terre
14732,4194
5767,6698
3548,1927
i886,5i84
299,1284
120,4547
42,23lO
2i,535o
87,9^258
224,700787
365,256374 (';
686,979646
4332,588171
10759,236360
3o688, 39036
60181, ii3i6
0,3870987
0,7233322
I ,0000000
1,5236913
5,202800
9, 538861
19,18329
3o,o55o8
0 , 2o56o48
0,0068433
0,0167701
0,0932611
0,0482519
0,056071 3
0,0463402
0,0089646
Mars
Jupiter
Saturne
Uranus
Neptune
NOII.
LO!tGITl'DE
du
périhélie.
LOXGITODB
moyeane
•a i*'JanTle i8so
à Btdl moyen.
LOïlGITUDE
nœnd
atcendanl.
ISCLlMAISOIf.
Mercure
Vénus
75. 7.14
129.27.15
100.21.22
333.17.54
11.54.58
90. 6.38
170.50. 7
45.59.43
327.15.20
245.33.15
100.46.44
83.4o.3i
160. I.IO
14.52.28
29.17.51
334.33.29
y 1 H
46.33. 9
75.19.52
0. 0. 0
. 48.23.53
98.56.17
112.20.53
73.13.54
l3o. 6.23
7. 0. 8
3.23.35
La Terre
0. 0. 0
Mars
Jupiter
Saturne
Uranus
Neptune
i.5i. 2
1.18.41
2.29.40
0.46.20
1.47. 2
HOll (*).
Soleil
Mercure .
Vénus —
La Terre.
Mars. .. .
Jupiter . .
Saturne .
Uranus . .
Neptune .
8E!(S
de la
roUtloD.
Direct.
Id.
Id.
Id.
Id.
Id.
Id.
Rétrograde.
Id.
DURÉE
delà
rolatloo.
h m •
25. 0. o
0.24. I
0.23.25
0.23.56
0.24.37
o. 9.5i
o. 10. i4
?
?
DIAMÈTRE.
108, 56
0,37
1,00
I
0,53
11,06
9,3o
3,86
3,80
MASSE.
3240000
0,06
Ow9
I
0,11
3o8,99
9»'9^
i3,52
22,53
DF.!(81TÉ.
0,25
0,81
1
0,71
0,24
o,i3
0,23
o,4i
pbsà:<tbcii
«la
•ur(ace.
27,63
0,44
0,80
1
0,38
2,25
0,89
0,91
1,56
(I) Durée de l'année tropique . 365j,24aai66. — (a) Les nombres ce Tableau répondent à la parallasr
du Soleil €',86, adoptée dans V Annuaire du Bureau des Longitudes.
\*) t'après Ic3 Tables de M. leVrrrlrr.
4o8
PAINCIPÀUX ÉLÉMENTS DU ST8TÈ1IB 80LAIAB.
n. — Extrait éa Catalogne dat patitat plasétaa drcolaat astra laa arfeittt
da Mars at da Ji^îtar.
1 Céres
2 PalIasC;..
3 JanoB
4 VesU
8 Flore (»)...
80 Sapho
86 Sémélé |
96 Églé I
1S3 Hilda(')...
183 Istrîa (•)•••:
217 Eadore
250 > I
■OTCS
VCMMl
tflWM.
77>»78oo
:«8,9H58
814,0766
977.6698
1086, 33io
1019,7815
647.964»
666,3189
43i,38o3
756,38
665.^
9^2.89
4»ta
rcf*l«tiMi
sMènl*.
i68i4«4
1685,337
1591,988
i335,6oi
1193,006
1*70,861
3000,111
1945,306
2869,933
«7i3.43
1946,63
i36o,o8
wrtÂTUX
S«l«il.
3,767365
3,77i568
3. 66^356
3, 361618
3,301 387
a»^«47
3,1067^3
3,049718
3,953381
3,80337
3,o5iii
3,40339
E1kGC!iTmlCnt.
0,0763067
0,3384718
0,3578570
0,0884191
0,1567041
0,3001047
o, 3163683
0.1404769
o, 1721306
o,353oii
0,340769
0,394513
til La ptm» iiaaéi iadiraiioa ~ •*> La plu pefii« distaare as S«lc<l — a La H**
as S«l«il — <i) La H«* fTa34« «imiriril* — j La p^m cMrt* 4ista»c« a la Tem.
I
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1 Ore>-.
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3 Junon .
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86 S^mêlè.
96 Ê?lé...
153 Hilda..
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• 17 Eudorc.
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355. 18.16
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307. 9.58
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I
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SATELLITE DE LA TERRE.
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122.50.55
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Diamètre .
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Densité.. .
Pesanteur
27,321661
0,273
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o,6i5
0,174
SATELLITES DE MARS.
Équinoxe et écliptique moyens de 1878,0.* Époque 1877, août 28,0.
PHOBOS.
DEIMOS.
î,
0 1
319.41,6
82.5t,6
4.13,9
26.17,2
o,o32o8
2,771
0,318924
0 t
38. 18,7
N
85.34,4
357.58,4
25.^7.2
0,00074
6,021
0
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1
e
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T
1.26243
SATELLITES DE JUPITER.
Équinoxe et écliptique moyens de i85o,o. Époque i85o, janvier 0,0.
L
N
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m en parties de la
masse de Jupiter. .
I.
54
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1,7691378
0,000016877
II.
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336.55. 16
//
1.38.57
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J»43q
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0,000023227
III.
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37. 7.33
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235. 18.32
I .59.53
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I 5,057
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0,000088437
IV.
164.12.59
344.56.46
202.40. 56
1.57. o
0,007243
26,486
16,6890185
0,00004 2 '175
SATELLITES DE SATUR.NE.
Equinoxe moyen. . . .
Époque
L.
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1857,0
1857 janv. 0,0
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E!(CCLADE.
1807,0
1857 janv. 0,0
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»
3,99
1,370217
TUÉTIS.
1857,0
1857 janv. 0,0
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280.28,5
167.37,3
30l •29.'7
28.10.4
0,01086
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1,887804
D10:«ÉB.
1857,0
1857 janv. 0,0
114. 39. 3
167.37,3
33t. 20, T
20.10,4
o,oo3io
6,35
2,736916
\t)a Ml ««priDié en rayons équatoriaux de la planèle, T an Joura.
4io
PRINCIPAUX ÉLÉMENTS DU STSTÈMB SOLAIRE.
SATELLITES DE SATURNE.
BOÉA.
TITAX.
BYPÉRIOX.
txruKT.
Équinoxe moyen
ÉDoaue
1857,0
1807 jaov. 0,6
1857,0
1857 janv. 0,0
1875,0
1875 août 34,0
1807,0
1867 janv. 0,0
M^^V\^\M\,
L
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167.58,6
89. 8,3
27.36,6
0,027937
20,49
1 5, 945403
0 1
161. 10,3
167.51,6
357. 5,9
38.10,3
0,135
34,81
31 ,3ii3
0 ,
78. 7.»
143. 1,3
N
o
306.18.*:
1
18.37,9
0,028443
59,64
79,33936
e
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T
ANNEAUX DE SATURNE.
Époque 1880,0.
N ^ i67'>55'6', i - 38«io'i7', T r-. io''33-i5'.
RayoQ iotérieur dut*' anoeau 1 , 482
Rayon extérieur » 1,916
Hayon intérieur du 3* anneau 1 ,962
Rayon extérieur • 2,339
SATELLITES d'uRANUS (RÉTROGRADES).
Équinoxe et écliplique moyens de i85o,o. Époque 1871, décembre 3i,o.
L..
N.
CI . .
!.. .
e.. .
a . .
T.
▲ RIEL.
i53. I
167.20
196.26
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33,60
13/463269
SATELLITE DE NEPTUNE (RÉTROGRADE).
Équinoxe moyen de 1874,0. Époque 1874, janvier 0,0.
COUéTES PÉRIODIQUES DONT LE RETOUR A ÉTÉ ORSBRVÉ. 4' >
IV. — Comètes périodiques dont le retonr a été observé.
1
2
3
4
5
6
8
9
NOMS
des comètes.
Encke
Tempel . .
BrorseD .
Winneckc
Tempel. . .
D'Arrest . .
\Biéla (») .
Biéla (') .
Faye
Tuttle
10 iHallej
JHalley ( ;..
ÉPOQUB
p
du passage au périhélie.
1878.
Mai 30.. ,
h m
10.33
1878.
1879.
Sept. 7 . . .
Mars 3". .
5.54
2. 0
1880.
Dec. 4....
8.i5
1879.
Mai 6 . . .
33.45
1877.
Mai 10 . .
8. 8
1852.
1852.
1881.
Sept. 33..
Sept. 32..
Janv. 3>.
17.14
33. 5i
16. 7
1871.
Nov. 3o .
33.30
1835.
Nov. i5..
o.i5
1910.
Mai a4 . .
. 8.53
DISTAMCE
périhélie.
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1,339549
0,589892
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1,769381
i,3i8o88
0,860161
0,860592
1 ,738140
i.o3oii
0,58895
0,587098
DISTANCE
aphélie.
4,087937
4)663725
5,612868
5,573387
4,820993
5,764689
6,167319
6,19687',
5,970090
10,4829',
35,4ii2i
35,223817
EXCEIfTRr
CITÉ.
0,8491669
0,5537271
0,8097968
0,7406075
0,^4630/107
0,6278048
0,7552007
0,7551187
0,5490171
0,8210540
0,9672807
0,9617332
îl^.
1
2
3
4
5
6
8
9
10
LO^tClTCDB
du
périhélie.
158.19.41
3o6. 7.. ^2
116. i5. 3
276.43.22
238.ii.3o
319. 9.15
109. 5.20 (')
io8.58.i7(')
50.48.47
116. 4*36
3o4. 31.42
3o5.33. i4
I
LONGITUDE
du nœud
ascendant.
334.39.10
121. 0.47
101.19.16
11 i.3i. 5
78.45.37
146. 9.28
245.49.34
245.58.29
209.35.25
269.17.12
55.io.i5
58.10.33
INCLI.NAISOR.
i3. 6.40
12.46. 2
29.23. 10
11.16.45
9.46.32
15.43. 9
12.33.28
i2.33.5o
1 1.19.40
54 . 1 7 . o
17. 44*53
17.46.51
DORÉE
ÉQl^lNOXB
de la
moyen.
révolution
sidérale.
ans
1878,1
3,287
1878,2
5,200
1878,2
5,462
1880,9
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1879,0
5,982
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1881,0
7,566
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D.
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D.
D.
D.
R.
R.
(I) t*' noyau, plus horéal.
( a ) a* noyau, plus austral .
(3) D'après les calculs de II. de Pontécoulant.
4ia
PEINCIPAUX éLéMBNTS DU STSTàMB 80LÂIBB.
V. — Catalogne des orbites des comHes obsexrées jusqu'en iSSi.
vr
1
2
3
4
5
6
7
8
de l'apparition.
371 ar. J.-C.
.37
13
66 ap. J.C.
14.
.78
ai8
FASSACB
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périMIla.
9
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12
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17
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18
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22
1066
23
1092
24
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25
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26
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35, 39, probablement des appariUons de la comète de Halley. — 34, appan-
tion de la comète de Hallej.
I
CATALOODK GÉNÉKAI. DUS COMÈTES. 4l3
- CaUlogs* dsi orbitas dai eomètai obierréei jniqn'an iSSa. (Siiii«.)
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mité de Hilley, — 5o, orbite fort inccrtaioe. — 67, orbite fort ioccrlaine ;
pourrait itre ideolique svec iBSi H ou avec .843 I, 1880 II.
l4 PKINCIPADl AlÉKBKTS OC STSTBME SOLAIBK.
V. — CaUlftgve dai orbiUi dn comètM ototarréM josqi'aa iS8i. (Saite.)
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> II M avec iSSi tl. — fui. U ptu< çnnit
peut-être identique avei- 1819 .1. prn<^
101, ■'rrlonrpréJit de U comilt
'Ilipiîi'inM.
CATALOGUE CÉNÉRAL DES COMÈTES. 4lS
V. — Catalogne dsi orl)itsi des comAtas obiarrées jniqu'en 1SS3. (Suite.)
1783
,784 I
178', II
178(1 II
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F-vicr , 87. ,4
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nue de la comiiie de Biéla. — nr, pr-riode 5.9 an». — m-j, 117, orbites
elliptiques. — .13, l'p. 1-irbiies peut-être liyperUolique», ij'I, runiLli! de
d'Angos, très inrtrliim^. 56, 1 apparition de la cûniùtc<l'l£ockc, 3i,
i" apparition de la comète de Tutlle. — i3<>, période ^n ans. — i38, appa-
PBIXCIPACX ÉLBMKKTS PD BTSTÉIIK BOLAISB
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d'Encke. — 3 ft, retour de la comâte (te Iliéla; i44, son dernier rcti
observé. — 3 9, coinètede Brnrsen. 310, période 73 ans. ^i, [wri,
.3,8 ans. — 3i3, période .joo itii, — 339, période 75 ans. — 3 3 8, ■"' rct^
prédit de la comité de Faye. — iSg, coméic de d'Arresl. — il5, période
«o an». - 311, 117, ll'i, 117, 338, 335, 336, 3'|0, orbiics elliptiques.
GATALOOUE GÉNÉRAL DBS COVATIS- {ai
V. — CaUlogns dei oiftiUi dei comitei obierréei jnsqa'en i88î. (Suite.)
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V. — CaUlogne dsi orbital dM egmitei otMarréet luqa'sa iS8i. <Saite.)
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CATALOfilJE GISNiRAL DES COHAtBS. {ai
V. — Catalogne d«i oititai det comitei obiervéai juqii'aii iSSi. ( Suiie. )
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1873 IV
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le. — 336, retour de la comètr de d'Arresl.
347, grande comète, orbile ellipUquc. — 3îi, 3^7, Sii, 339, 349 orbites ellipt.
4*22
PRINCIPAUX ÉLÉMENTS DU SYSTÈME SOLAIRE.
V. — Catalogue des orbites des comètes observées iusqu'en i88a. (Suite.)
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
3G0
361
362
363
364
ANNÉE
de rapparltlon
88o It
88o V
88o VI
88i 1
88i II
88i III
88 1
88 1
IV
V
88i VI
88i VII
88 1 VIII
8Ha 1
88a II
88i III
882 IV
PASSAGE
an
pérIhHie.
•* novembre
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lo novembre.
•.<3 janvier . . .
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65.54
274.12
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344.25
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MAISON. ! périhélie
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5.23
50.48
60.41
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62.26
39.44
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67.12
12.53
35. 1 1
73.47
38. 5
28. 5o
83.49
1,0669
0,3867
0,6741
1,7331
0,5905
0,7345
0,6337
0,7256
0,4492
0,3430
1,9260
0,0608
0,0078
0,0093
0.9548
SENS
da
moire-
ment.
D
R
I)
D
D
D
R
D
R
D
R
D
R
R
R
35o, retour de la comète de Tempel-Swift. — 353, retour de la comète
de Faye. — 357, période 8,8 ans. — 359, retour de la comète d'Encke. —
362, grande comète, orbite peut-être elliptique; 363, compagnonde la grande
comète 1882, orbite très incertaine. — 355, orbite elliptique.
ETOILES PILANTES.
4a3
VI. — Principaux essaims d'étoiles filantes (*) provenant de la décomposition
de comètes périodiques.
DATE
do rtppaiition.
COOBDON11ÉE8
du point radiant.
COMÈTE PÉRIODIQUE
oorrespondanto.
Janvier a-3
0 0
JR = a38 6 = 45
Avril ia-i3
273 65
Avril i9-a3
Id
a67 55
a38 93
aa5 38
ao4 108
I de 1861.
Id
Id
Juillet aG-ag
34a ia4
Août 9-14 (Perséidcs)
Id
43 33
345 40
agi 38
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m de 186a.
Id
Id
Octobre i9-a5
Id
74 65
95 75
lia 61
Id.
Novembre i3-i4 (Léon ides).
Id.
i48 66
53 58
279 3}
I de 1866.
Id.
Novembre a7-a9
aS 45
Comète de Biéla.
Décembre 6-i3
io5 . 60
»49 49
Id.
(I) D'aprto V annuaire du Bureau des Longitudes.
M
CALCUL DBS 0RBITB8 DES COMETES.
Tables pour le calcnl des orbites des comètes.
Table 1
pour transformer les heures, minutes et secondes
en parties décimales du jour.
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PARTIES DÉCIMALES.
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0,007638
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0,015972
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MIXCTES.
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0,009027
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0,01 180 3
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34
35
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0,017361
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0,018750
0,019444
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0,021527
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0,027777
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PAftTIES IMËCIMALIS
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o,o38888
0.039583
0.0 10277
0,0409-2
0.0 J1666
TABLES NUMERIQUES.
,2J
SECONDES
PARTIES DÉCIMALES.
SECONDES
21
22
23
^4
25
26
27
28
PARTIES DÉaMALES.
SECONDES
i'
43
14
PARTIES DÉCIMALES.
0,0004745370
0,000486111 1
0,0004976851
0,0005092592
0,000 5 208333
0,0005324074
0,0005439814
o,ooo5555555
I
2
3
4
0,00001 15740
0,000023l48l
0,0000347222
0,0000462962
0,0000578703
0,0000694444
0,0000810185
0,000092599.5
0,0001041666
0,0001157407
0,0001273148
0,0001 388888
0, 00024 3o55)
0,0002546296
0,0002662037
0,0002777777
5
6
8
0,0002893518
0,0003009259
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0,0003240740
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0,000347^222
0,0003587962
0,0003703703
0,0005671296 ■
0 ,ooa5787o37
0 ,0005902777
0,000601 85 18
i3
i4
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0,0001 504629
0,0001620370
0,0001736111
o,oooi85i85i
o,ooo3S 19444
0,00039351 85
0,0004050925
0,0004166666
53
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55
56
58
^^9
60
0,0006134259
0 ,0006250000
o,ooo636574o
0,0006481481
0 ,0006597222
0,0006712962
0 ,0006828703
0,0006944444
17
i8
19
20
0.0001967592
0,0002083333
0,0002199074
o,ooo23i48i4
37
38
39
40
0,0004282407
0,0004398148
0, 000451 3888
0,0004629629
Nota. Ces fractions décimales sont périodiques : le dernier chiffre constitue
seul la période pour les heures et minutes; les trois derniers pour les secondes.
4^6 CONVERSION DES HEURES EN PARTIES DÉCIMALES DU JOUR.
Table II
pour transformer les parties décimales da jour en heures,
minutes et secondes.
DÉCIM.
II. M.
DÉCIM.
0,1
2 . 24
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2
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Table III.
Nombre de jours écoulés depuis le commencement de l'année jusqu'au
commencement de chaque mois.
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Table IV, d*£ncke,
pour résoudre l'équation de Lambert.
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3.82643
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CALCUL DBS ORBITES PABABOLIQUBS.
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6229
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6258
6263
6267
6273
6278
6282
6288
6293
6298
63o2
63o8
63i2
63i8
6323
TABLE DE BARKER.
433
V.
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28
434
CALCUL DBS OBBITES PARABOLIQUES.
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28.22399
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28.5o3i9
28.57318
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2.2322915
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2.2358563
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443
V.
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446
CALCUL DBS OBBITKS PAEABOLIQCES.
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TABLE DE BAEKEE.
447
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448
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REDUCTION DE LA PARABOLE A L ELLIPSE.
Table VI.
Réduction de la parabole à l'ellipse d'après la formule de Laplace, p. 453.
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9, 0334066
9,0235262
9,oi2663i
58
59
60
9, 0004 38 5
8,9870494
8,9722926
DIFrÉEC5CE>.
73902
67013
60097
535ai
46989
41782
32947
27835
21639
16220
88ga
2483
3963
io535
17067
24196
3io5o
38296
45788
53574
61692
70221
79195
88707
9«8ii
10962 I
121216
1 33891
«17^69
1 62ru>6
FORMULE DE LAPLACE.
453
ANOMALIE
Traie
dans
la
parabole.
SiD J7
log -,
I — e
râleurs nr^gallTea
de X.
o
6i
62
63
8, 9560319
8,9381089
8,9i8334>.
64
65
66
8,8964784
8,8722718
8,8453243
67
68
69
«,8i523o7
8,7814045
8,7430915
70
72
8,6992637
8,648586o
8 , 58865(> f
73
74
75
«,5164892
8,4265248
8,3o85oi5
76
77
78
8,1393994
7 , 853 I 5o6
5,5557522
valeurs positires
de X.
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
9»
9J
7,8545992
8,1627423
8,3453635
8,4765616
8,5795804
8,6647511
8,7375928
8,8013950
8,8582807
8,9^9^978
8,9562141
9,0000000
94
96
9,o4o23o8
9,0778275
9 , Il 3 1 5o2
9,1464844
9 , I 780800
9,2081237
DIFFÉRENCES.
179230
197747
218558
242066
269475
300936
338262
383 i3o
438278
506877
599359
721609
899644
1180233
1691021
2862488
22973984
3o8i43i
I 8262 I 2
1311981
io3oi88
851707
7284 I 7
638022
568857
514171
465 i63
437859
4o23o8
375967
353227
333342
3 I 5956
300437
286604
ANOMALE
Traie.
dans
la
parabole.
o
, S10J7
log -,
1 — e
valeurs posttlTes.
de X.
97
98
99
100
101
102
io3
104
io5
106
107
108
109
110
Il I
112
ii3
114
ii5
116
117
118
i'9
\'XO
121
122
123
124
125
126
127
128
129
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
i3o
i3i
l32
9
9
9
236784 1
2639337
2905020
3157827
3401401
36365o4
3863846
4084068
4298261
45o3o66
4705309
4904881
5096004
52835 18
5466856
5646287
5822147
5994662
6163911
6330598
6494474
6655851
68 1 4862
6971983
7127074
7280393
7432136
7582430
7731455
7879336
8026250
8172284
83176^0
846244 3
8606825
875096'!
DIFPÉBENCES.
271496
265683
252807
243574
235 io3
227342
220222
214193
2o48o5
202243
99^7^^
91123
8751 {
83338
79^31
75860
725 1 5
69249
66687
63876
6x377
5901 1
57121
55091
53319
51743
50294
49025
47881
46914
46034
45356
448o3
4 {382
44139
44017
454
RÉDUCTION DE LA PARABOLE A l'eLLIPSE.
ANOMALIE
Traie .
dan*
la
parabole.
i33
i34
i35
i36
i37
i38
i39
i4o
142
143
144
145
i46
147
i48
149
i5o
I il
i53
i5i
1)6
log
smx
I — e
Taleor* positires
de X.
9,8894981
9» 90^8999
9, 9183216
9,9327738
9,9472754
9,9fi'844i
9» 9764879
9,9912327
0,0060936
0,0210892
o,o3625o8
o,o5i5636
0,0670866
0,0828292
0,0988173
o , il 60776
o,i3i58i8
0,1486729
0,1667915
0,1833433
0,2016718
0,^,201 562
0,2392874
0,2690123
DIFFÉIEXCES.
144018
144216
144523
146016
146687
146438
147448
148609
149966
i5i6i6
i63i28
166230
167426
1 6988 I
162603
166042
169911
172186
176618
182285
185834
l 'J I 322
197249
203796
AlfOHALIE
^rale.
dans
la
parabole.
.Vnomalic vraie dans rellip.^^c = anomal
sinj7 =-Jj^tang^ç'[ 4 — 3 ces'
57
68
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
7<
72
73
74
7^
76
77
78
79
80
, sin X
logj— ^,
Taleors po«ltivn.
de X.
DirPÉBE!CCCS.
0,2793918
0,3004961
0,3224016
0,3462001
0,3689948
0,3938963
0,4200698
0,4476541
O, 47685^1
0,6068601
0,6400001
0,5767686
0,6164261
0,6676891
o,7o3o4i2
0,7668129
0,814349»
0,8817661
0,9613443
I ,0686773
1,1837679
I ,3G 10391
I ,661 1767
-I
2iio33
219064
227986
237947
24901)
261735
276843
292000
3ooo6o
33i4oo
367684
386666
4^ I 640
464 >2I
627717
585362
i»74i7o
79^7^2
972330
126190^»
17727» 2
3oo 1 3"6
le
vraie dans la parabole -r- jr.
V — 6 cos* J f] ^i - e).
PIN DE LA DEUXIÈME PARTIR.
TABLE DES MATIÈRES
DE LA DEUXIEME PARTIE.
Paffet.
Avertissement v
Symboles et Conventions vu
Introduction ix
Livre premier. — Théorie du Soleil i
Cdapitre I. — Première idée du mouvement annuel du Soleil 4
Orbite annuelle du Soleil 4
Vicissitudes locales des saisons et des jours 6
Période des saisons; année tropique. Institution du calendrier 8
CuAPiTRE IL — Astronomie solaire des Anciens 1 1
Calendriers i4
Cadrans solaires i5
Cadran équalorial i6
Cadran polaire i6
Cadran vertical 17
Cadran vertical déclinant 18
Montre des bergers 19
Projection gnomonique ao
Mouvement du Soleil dans son orbite 3i
Hypothèse de l'excentrique 23
Détermination de l'excentricité et de la longitude du périgée a5
Chapitre lll. — Étude du mouvement annuel du Soleil par les Modernes. a8
Diamètre apparent du Soleil 38
Parallaxe du Soleil 3o
Coordonnées écliptiques Sa
Détermination de l'obliquité co 34
Détermination du point y 35
Détermination simultanée de l'obliquité et du point vcrnal 37
Détermination d'un équinoxe 38
Année tropique Sg
Jours solaires vrais et moyens 4<>
Année sidérale 4 >
456 TABLE DES MATIERES.
Cbapitrb IV. — Les deux premières lois de Kepler 4^
Étude du mouvement du Soleil dans son orbite 4^
Problème de Kepler 47
Développement en série de la longitude et du rayon vecteur So
Correction des éléments de l'orbite solaire S3
Chapitrb V. — Institution du temps moyen. Tables du Soleil â3
Passage de Theure moyenne à l'heure sidérale 58
Tracé d'une méridienne de temps moyen sur un cadran Sg
Première idée des Tables du Soleil 6o
Coordonnées rectilignes ^i
Coordonnées héliocentriqucs de la Terre 66
Livre deuxième. — Les planètes ■ • 67
Chapitre VI. — Mouvement des planètes autour du Soleil 68
Oppositions et conjonctions 69
Révolutions synodiques 71
Révolutions sidérales 71
Etude du mouvement héliocentrique 7>
Position du plan de l'orbite 7S
Chapitre VII. — Les planètes vues de la Terre 77
Parallaxe annuelle en tenant compte de l'inclinaison 77
Phases des planètes 71^
Distance des planètes au Soleil 81
Sur les stations et rétrogradations des planètes 84
Chapitre VIII. — Théorie et Tables du mouvement elliptique 87
Véritable marche suivie par Kepler 87
Troisième loi de Kepler ^\i
Tables et éphcmérides des planètes ci
Correction des cléments elliptiques t»3
Variations séculaires des orbites des planètes 9^
Satellites q/ij
Chapitre IX. — Dernier mot sur le système du monde des Anciens u»»»
Livre troisième. — Introduction de la Mécanique dans rAstronomie . 107
Chapitre X. — Interprétation mécanique des lois expérimentales de
Kepler, — Partie synthétique i^i}
l^i de la force attractive du Soleil 109
Signification mérani<iue des constantes de Kepler 110
L'attraction aj;it sur toutes les parties du corps attiré no
L'attraction est proportionnelle à la masse du corps attirant... m
Attraction des sphères homogènes 1 1 a
Knoncé nouveau de la troisième loi de Kepler 11^
Loi de la force déduite de la nature géométrique de Torbite 114
TABLE DES MATIÈRES. 4^7
Page
Étant données la vitesse et la direction du mobile, déterminer sa tra-
jectoire 117
Autres orbiies y 1 iH
Chapitre XI. — Intégration des équations différentielles du mouvement, 121
Chapitre XII. — Perturbations du mouvement elliptique 1 27
Équations diflférentielles du mouvement troublé 182
Influence d'un milieu résistant i3o
Variations séculaires des éléments i3i
Inégalités périodiques 1 33
Chapitre XIII. — Cmractères de l'attraction newtonienne i35
La loi de l'attraction n*est pas susceptible de modification i3j
L'attraction est indépendante de Tétat physique ou chimique des corps. 137
La propagation de l'attraction est instantanée 137
L'attraction des corps célestes est identique avec la pesanteur 137
Critique du mot attraction 1.^0
Calcul définitif de la masse de la Terre l 'l i
Chapitre XIV. — Pesanteur à la surface des astres; origine de leur
chaleur et de leur lumière i43
Pesanteur à la surface du Soleil et des planètes i43
Limites de Taplatissement i43
Chute des corps sur le Soleil i\t\
Origine de la chaleur et de la lumière du Soleil i45
Origine de la chaleur centrale de la Terre 147
#
Etoiles filantes et aérolithes. 148
Livre quatrième. -- Calcul de Torbite d*ane planète on d'une comète
nouvellement découverte r5i
Chapitre XV. — Méthode de Laplace i53
Calculs préparatoires i55
Formation de l'équation en p i56
Calcul des éléments de l'orbite . . i58
Chapitre XVI. — Du mouvement dans la parabole 160
Problème de Kepler dans la parabole 160
Table de Barker 161
Etant donnés deux points et le foyer d'une parabole, calculer les éléments
de cette trajectoire 161
Formule de Lambert 162
Table de Encke 164
Chapitre XVII. — Méthode d'Olbers i65
Équations relatives au plan de l'orbite .... i65
Substitution du rapport des temps à celui des aires triangulaires. 167
Formules finales et tâtonnements 168
4^3 TABLE DES MATIÈRES.
Calcul des élémenls de l'orbite i-;©
Portée des résultats i-i
Kmploi du catalogue des comètes 171
l'exemple numérique 17}
Chapitre XVIII. — Calcul de l'orbite de la comète de 1769 171
Observations . . ..... 174
Lieux de la Terre ( Connaissance des Temps) .... 174
Calcul de M. • 174
Calcul des rayons vecteurs 175
Calcul de la corde t 176
Approximations successives . . 17^
Calcul des éléments .... .... 179
i" Coordonnées hélioccntriques 179
2« Calcul de N 179
Calcul de i et de o 180
Utilité des éphémérides des comètes nouvelles ". ibo
Chapitre XIX. — Correction des premiers éléments ... 182
Corrections de parallaxe et d'aberration 1^1
Correction des premiers éléments de l'orbite 1%
Chapitre XX. — Figure des comètes. Force répulsive i^-
Examen des effets dus à la seule attraction 1^
Impossibilité d'expliquer les queues par la seule attraction 190
Caractères de la force répulsive «91
Explication proposée par Ncwlou 19^
Introduction de la force répulsive dans les équations différentielles du
mouvement ir/j
La répulsion parall être due à l'incandescence du Soleil 196
Chapitre XXI. — Recherche d'astres inconnus 19^
Procédés de recherche pour les comètes «y»
Petites planètes entre Mars et Jupiter i9>
Planètes intra-mercurielle.H 199
Satellite de Sirius >o«>
Découverte de Neptune "^"^
Première idée du problème »i«i
Travaux de M. Adams 7««j
Travaux de Le Verrier >04
Conséquences de cette découverte «o-S
Livre cinquième. — Parallaxe du Soleil, précession, natation et
aberration jo;
Chapitre XXII. — Dimensions absolues du système solaire. Parailajcr
du Soleil ^>^
Mesure directe de la parallaxe du Soleil ^oq
Parallaxe de Mars 110
TABLE DES MATIÈRES. 4^9
Parallaxe de Vénus . aia
Prédiction d'un passage de Vénus ai4
Calcul des observations aiS
Déformations optiques à l'instant des contacts ai6
Parallaxe conclue pour le Soleil 218
Déterminations fournies par la Mécanique céleste 319
Méthodes physiques par la vitesse de la lumière 221
Résumé et conclusion ... 221
Chapitre XXIII. — Effets du déplacement séculaire de Vécliptique sur les
coordonnées des astres 223
Chapitie XXIV. — Effets du lent déplacement de Véquateur 226
Découverte de CCS déplacements par Hipparque 226
Précession des é(|uinoxes d'après Hipparque 229
La précession d'après Copernic 23o
Explication mécani(]ue de la précession 280
Expériences sur la composition des rotations 282
Action du Soleil et delà Lune sur le renflement équatorial 234
Chapitre XXV. — Précession l uni-solaire et précession générale 288
Coordonnées équatoriales 289
Exemples numériques. 241
Chapitre XXVI. — Natation 244
Chapitre XXVII. — Effets divers des variations séculaires 248
Variabilité de l'année tropique 248
Influence de la nutation sur le jour sidéral 249
Masse de la Lune et aplatissement du globe terrestre 260
Température moyenne du globe et variation des saisons 261
Influence de la précession sur l'aspect du ciel étoile 256
Efl'ets de la précession sur les signes du Zodiaque 256
Application à la Chronologie 267
Chapitre XXVIIL — Aberration 269
Origine de ce mot 259
Vitesse de la lumière par l'observation des éclipses des satellites de
Jupiter 'àf)i
Effets astronomiques de la propagation successive de la lumière 2'>8
Aberration des fixes expliquée par Bradiey 264
Expression théorique de l'aberration 267
Aberration pour les coordonnées équatoriales 268
Aberration diurne •.»69
Aberration en longitude du Soleil 270
Détermination par les étoiles de la constante de raberration 271
Vitesse de la lumière mesurée par les Physiciens 272
Chapitre XXIX. — Catalogues d'étoiles 276
46o TABLE DES MATIÈRES.
Catalogues d'étoiles '^
CaUlogne de 8870 étoiles de rAssociation Briunnîque ^7
Formation d*an catalogue d*étoilcs ^T*
Ce que donnent les mouvements propres des étoiles ^79
Litre sixième. — La Lnne ***
Chafitee XXX. — Phases de la Lune et observation méridiennes - a8|
Phases, lunaison ^-l
Distance, parallaxe ^^
Diamètre apparent, diamètre iiiicaiio - ^7
Observations méridiennes ^^
Corrections instrumentales ^^
CoAPiTiB XXXI. — Éléments de Vorbite lunaire. Leurs variations ^9^
Durée de la révolution ^9^
Mesure directe de la parallaxe ^7
Détermination théorique de cette ronslaïuc *9*
Position du plan de l'orbite ^99
Coordonnées de la Lune au commencement de iî«>i ^<*^
Action perturbatrice du Soleil ^^
Déplacements imprimés à la ligne des nœuds ^^
Inclinaison de l'orbile lunaire ^^*^
Hypothèse géologique de la chaleur centrale ^**
Variation du périgée et de l'excentricité ^*7
Cbafitbb XXXII. — Principales inégalités. Tables de la Lune 3io
Eveclion 3io
Variation, é(iuation annuelle ~^» •
Equation séculaire du moyen mouvement '>•»
Tables de la Lune exclusivement basées sur la théorie de l'attraction. . . 3ii
Parallaxe du Soleil et aplatissement du glol)e terrestre déduits dc^
inégalités lunaires ^>«'j
Calcul de l'inêgalit'.' mensuelle de la Terre ^17
Masse de la Lune 5j«»
Rotation ilc la Lunt ^^i
f-iiAPiTBE XXXIII. — Applications dis,^rses de la théorie de la Lit ne 3i3
Calenilricrs lunaires 32^
Nombre d'or 333
Fête de Pâques 3y>
Cdapitrk XXXIV. — Éclipses de Lune et de Soleil 3jS
3->S
Période rhaldéennc
Limites des éclipses ,\3i
Calcul d'une éclipse de Lune 31?
Éclipses totales du Soleil 53S
Prédiction des contacts intérieurs en un lieu donné 336
TAULE DBS MATIÈRES. 46l
Patet.
Occultation d'une étoile par la Lune 339
Détermination des longitudes géographiques par les observations lunaires. 3/|3
Culminations lunaires 344
Détermination des longitudes terrestres par les éclipses 346
Livre septième. — Navigation 347
Chapitrb XXXV. — Navigation par estime 348
Mesure de la vitesse. — Loch et ampouictte 348
Boussole 35i
Loxodromie et problèmes de roule 355
Usage des cartes marines 357
Chapitre XXXVL — Instruments de la navigation astronomique 36o
Le sextant 36a
Rectification du sextant 363
Mesure des hauteurs angulaires 365
Hauteurs observées à terre 365
Degré de précision d'une mesure au sextant 366
Dépression de l'horizon de la mer 367
Chronomètres 368
Echappement libre à ressort 369
Réglage des chronomètres 37a
Influence de la température. — Compensation 378
Conduite des chronomètres à la mer 376
La Connaissance des Temps 377
Chapitre XXXVH. — Problèmes de la navigation astronomique 379
Culmination 38o
Détermination de l'heure et de la longitude 38i
Azimut. Orientation 38i
Variation du compas 38a
Discussion de cette méthode 38a
Détermination simultanée de l'heure et de la colatitude. Problème de
Douwes. Solution de Lalande 38'|
Influence des erreurs d'observation 386
Droites et cercles de hauteur 386
Chapitre XXXVIH. — Détermination des longitudes en mer 391
Heure de Paris par le relèvement de points terrestres connus 391
Heure de Paris par les distances lunaires 39a
Observation des distances lunaires 393
Conditions d'exactitude 395
Effet de la réfraction sur les disques du Soleil et de la Lune 397
Résolution des équations du problème 398
Calcul de la distance apparente des centres ^199
Formule de Borda 499
Voyages d'exploration terrestre 4**o
462 ERBATA.
T4BLEAD DES PRINCIPAUX ÉLÉMENTS DU STSTÀMB SOLAIRE 4<»
I. — Grandes planètes 4<»7
II. — Extrait du catalogue des petites planètes circulant entre les orbites
de Mars et de Jupiter ^oS
in. — Satellites Joy
IV. — Comètes périodiques dont le retour a été observv* 41 1
V. — Catalogue des orbites des comètes observées jusqu'en 188a ^u
VI. — Principaux essaims d'étoiles filantes provenant de la décomposition
des comètes périodiques 4 -''^
Tables pour le calcul des orbites des comètes \i\
Table I pour transformer les heures, minutes et secondes en parties déci-
males du jour ^34
Tablb II pour transformer les parties décimales du jour en heures, minutes
et secondes \-i*i
TvBLE III. Nombre de jours écoulés depuis le commencement de Tannée
jusqu'au commencement de chaque mois 4^^
Table IV, d'Encke, pour résoudre Téquation de Lambert 4-»7
Table V, de Barker, pour le calcul des orbites paraboliques 'i*«j
Table VI. Réduction de la parabole à l'ellipse, d'après la formule de Laplace. 4^'
Table des matières i >>
Errata 4^^-
ERRATA DU PREMIER VOLUME.
PAK^ft. LlgllCi.
5G 19, Qo et 21 Divisez les trois sinus respectivement par sin 6, sin^'.^ii.t
63 dernières Au lieu de cotC et cotH, écrire cote' et cot^'.
69 i3 et 28 Supprimez le signe —.
90 2 eu rcmontaul.. {note) Au lieu de ?, lisez 2 p.
108 4 en remonlani.. Au lieu de n verniers, lisez m vernicrs.
ii5 7 en remontant.. Au lieu de / = 1 et / = /,, lisez / — /, et / = i.
'ï7 ^ Au lieu de e~ , lisez e .
' »8 5 Au lieu de i — a, lisez j — a.
191 II, 22 et 24 Au lieu de 39', lisez 29'.
'9^ ^ Au lieu de (p. 202), lisez (p. 2« 8).
^'^ ^ Supprimer le signe — à la limite inférieure de rintcgr^h-
224 8 en remontant. Vu lieu de yT, lisez \/t,.
^^9 '" ^" lieu de 21 ,5, lisez 99 ,8, et supprimez et au-dessus.
2 '43 7 en remontant.. Au lieu de 3o, lisez 3'|'.
^^*^ " ^u lieu de o,oooo8G, lisez o,ooooo8^i.
271 dernière Mettre le sijjnc ^ entre -, et ^-' •
a' siii A'
ERRATA. (63
PafM. Lignes.
296 23 Remplacez o ,0 par un tiret.
3i2 II en remontant. Au lieu de 5i4i743^, lisez 5i3i758.
328 5 Mettez a = 6378393"; c» = 0,0068395.
328 i5 L'exposant est •
328 17 L'exposant est — I.
ERRATA DU DEUXIÈME VOLUME.
Pages. Lignes.
7 i3 Au lieu de I, lisez — 1.
8 2 Au lieu de 6, lisez 90».
37 3 en remontant.. Remplacez cosL et sinL par sinL et cosL.
38 9 et 8 en remont. Au lieu de 21 et 22 mars, lisez 22 et 23 mars.
46 9 Au lieu de — > lisez —7 •
/• r^
53 6 en remontant.. Au lieu de 2esinmde, lisez 2sinmde.
78 20 Au lieu de r, lisez r,.
88 18 Au lieu de sin p, lisez coséc p.
92 3 en remontant.. Au lieu de sinN(4' — N), lisez sin^(.(^ — N).
9'i 2 Au lieu de -h coiiàif lisez — colidi-
II 5 figure Au lieu de V, lisez 9.
117 20,21,22 Au heu de -^ï lisez —-•
a r
i53 4 en remontant.. Au lieu de d'^t* lisez -r~r d^..
^ p •^' sin'p, "^^
162 10 Mettre au dénominateur le signe + iiu lieu du signe — .
162 dernière. Au lieu du facteur -J, lisez |.
168 18 Le signe du dernier ternie doit être — .
168 21 Au premier terme, au lieu de p,, lisez ^1.
168 21 Au deuxième terme, au lieu de L„ lisez L\.
168 23 Au lieu de $ — Ô ', lisez $' — $ .
174 i3 Deuxième colonne, au lieu de p'i, lisez p,.
174 i4 Première colonne, au lieu de L'i — 5 , lisez L, — 5 *.
i83 5 Remplacer sin Ë par cosE et/? sin X sin iil par
/?(sin6cos — cos8sinXcosifI).
i83 6 Remplacer cosE par sinE et le dernier membre pur
— /? sinXsinifl.
214 7 Au lieu de (aft'), lisez (iflô)*.
21^ 6 en remontant... Au lieu de p. 838, lisez p. 338.
223 figure Au lieu de it, lisez i.
233, 234 figures Changer de sens les flèches inférieures.
237 2 et 4 en remont... Au lieu de 22* et de o*,37, lisez 23» et jo", 37.
i()4 K H RATA.
I>air«t8. Lignes
23<) G Au lieu de ^ -T- ..., li^z ? ~ •••
•ihij 19 et 260, ligne 5. Supprimez le signe — au second membre.
W D
267 10, i3, i4 Au lieu de -=-» lisez ^«
271 3 en remontant... LiseztangX = tang Scosifl.
272 2 Supprimez le signe — au second membre.
274 i4» 34, 25 Remplacez sécp et sécS par rosée fi et cosécô.
275 16 Au lieu de -h 20', 'jj5, lisez — 20', 4 'i^'
275 20 Au lieu de m H- /isin.il cotS, lisez (m + ^ sin^4lcoto)£<
277 10 et II Dans/isin(.il + G) et Acos(^fl -f- G) rcmplacezG par H.
333 16 Au lieu de L, lisez L — ô •
379 10 Changer les signes du deuxième membre.
38i 8 Au lieu de -il, lisez AL
384 ii 2 en remontant. Mettez cos8' au lieu de cos^' dans le second membre.
FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.
C574 PAHIS. — IMPIiniLRlE DE OALTIIIKH-VILLARS, OtMl UKâ Al'GL'STINS, 55.
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